গ্রাফগুলি যেখানে প্রতিটি ন্যূনতম বিভাজক একটি স্বতন্ত্র সেট

Question

পটভূমি: যাক একটি undirected গ্রাফ দুটি ছেদচিহ্ন হতে জি = ( ভী , ই ) । ভার্টেক্স সেট এস ⊆ ভি হ'ল একটি ইউ , ভি- সিপেটর যদি আপনি এবং ভি জি - এস এর বিভিন্ন সংযুক্ত উপাদানগুলির সাথে সম্পর্কিত হন । একটি কোন উপসেট যদি তোমার দর্শন লগ করা , বনাম -separator এস একটি হল তোমার দর্শন লগ করা , বনাম -separator তারপর S একটি সংক্ষিপ্ত তোমার দর্শন লগ করা , $u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$-separator। একটি প্রান্তবিন্দু সেট একটি (ন্যূনতম) বিভাজক যদি ছেদচিহ্ন অস্তিত্ব নেই তোমার দর্শন লগ করা , v যেমন যে এস এ (ন্যূনতম) হল তোমার দর্শন লগ করা , বনাম -separator।$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

জি। ডেরাকের একটি সুপরিচিত উপপাদ্য বলে যে একটি গ্রাফের দৈর্ঘ্যের কমপক্ষে চারটি (ত্রিভুজিত বা কর্ডাল গ্রাফ নামে পরিচিত) এর কোনও প্রবর্তিত চক্র থাকে না এবং কেবল যদি তার প্রতিটি ন্যূনতম বিভাজক একটি চক্র হয়। এটি আরও সুপরিচিত যে ত্রিভুজযুক্ত গ্রাফগুলি বহুত্বের সময়ে স্বীকৃত হতে পারে।

আমার প্রশ্নগুলি: প্রতিটি ন্যূনতম বিভাজক একটি স্বতন্ত্র সেট হিসাবে গ্রাফগুলি কী কী? এই গ্রাফ অধ্যয়ন করা হয়? এবং এই গ্রাফগুলির স্বীকৃতি জটিলতা কী? এই জাতীয় গ্রাফের উদাহরণগুলির মধ্যে গাছ এবং চক্র অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

Answer 1

আপনার গ্রাফগুলি এই কাগজটির দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf ।

সম্পাদনা: উপরের কাগজে এটি প্রমাণিত হয়েছে যে গ্রাফগুলিতে প্রতিটি ন্যূনতম বিভাজক একটি স্বতন্ত্র সেট হ'ল সেই গ্রাফগুলি হুবহু ঠিক সেইগুলি যে কোনও এক জলের সাথে কোনও চক্র থাকে না।

হুবহু একটি জ্যাণ্ডের সাথে কোনও চক্রযুক্ত গ্রাফগুলি গভীরভাবে অধ্যয়ন করেছে ট্রটিগনন এবং ভাসকোভিচ, একটি স্ট্রাকচার উপপাদ্য গ্রাফের নো সাইকেল সহ একটি অনন্য জেল এবং এর ফলাফল , জে গ্রাফ থিওরি 63 (2010) 31-67 ডিওআই । এই কাগজের ফলস্বরূপ, এই গ্রাফগুলি বহুপদী সময়গুলিতে স্বীকৃত হতে পারে। (তবে, এই কাগজটি স্বতন্ত্র ন্যূনতম বিভাজকের সাথে সংযোগটি দেখায়নি!)

সম্পাদনা (১ Sep সেপ্টেম্বর ২০১৩): খুব সম্প্রতি ( এখানে দেখুন ), টেরি ম্যাকি সমস্ত গ্রাফ বর্ণনা করেছেন যাতে প্রতিটি ন্যূনতম ভার্টেক্স বিভাজক একটি চক্র বা একটি স্বাধীন সেট। দেখা যাচ্ছে যে এগুলি কর্ডাল গ্রাফ এবং গ্রাফগুলির '' এজ স্যামস '' যেখানে প্রতিটি ন্যূনতম ভার্টেক্স বিভাজক একটি স্বাধীন সেট।

Answer 2

আপাতদৃষ্টিতে গ্রাফগুলির প্রথমতম বৈশিষ্ট্য যা প্রতিটি ন্যূনতম বিভাজক একটি স্বতন্ত্র সেট টিএ ম্যাক্কিতে হাজির হয়েছিল, "স্বতন্ত্র বিভাজক গ্রাফ," ইউটিলিটিস ম্যাথমেটিকা 73 (2007) 217--224। এগুলি নিখুঁতভাবে গ্রাফগুলি যেখানে কোনও চক্রের একটি অনন্য জ্যোড থাকে না (বা, সমতুল্যভাবে, যার মধ্যে প্রতিটি চক্রের প্রতিটি জলের একটি ক্রসিং জর্ড থাকে)।

Answer 3

গ্রাফটিতে দুটি নতুন কাগজপত্র রয়েছে যার চক্রের ঠিক এক জেল নেই। উভয়ই মূলত এই গ্রাফগুলি রঙ করার সাথে মোকাবিলা করে: http://arxiv.org/abs/1309.2749 এবং http://arxiv.org/abs/1311.1928 ।

$O(m^2n)$$O(mn)$