প্ল্যানার গ্রাফ জি হিসাবে মডেল করা একটি বৈদ্যুতিক নেটওয়ার্ক বিবেচনা করুন, যেখানে প্রতিটি প্রান্তটি 1Ω প্রতিরোধকের প্রতিনিধিত্ব করে। জি-তে দুটি শীর্ষ কোণের মধ্যে আমরা সঠিক কার্যকর প্রতিরোধের কত দ্রুত গণনা করতে পারি ? সমানভাবে, আমরা যদি G এর দুটি শীর্ষে 1V ব্যাটারি সংযুক্ত করি তবে প্রতিটি প্রান্তের সাথে প্রবাহিত সঠিক প্রবাহটি কত দ্রুত গণনা করতে পারি ?
কির্ফোফের সুপরিচিত ভোল্টেজ এবং বর্তমান আইনগুলি প্রান্ত প্রতি এক পরিবর্তনশীল সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার ক্ষেত্রে এই সমস্যাটিকে হ্রাস করে। আরও সাম্প্রতিক ফলাফল - ক্লেইন এবং রেন্ডিć (1993) দ্বারা স্পষ্টভাবে বর্ণিত হয়েছে তবে ডয়েল এবং স্নেল (1984) এর পূর্ববর্তী কাজগুলিতে অন্তর্নিহিত - নোডের সম্ভাব্যতার প্রতিনিধিত্ব করে, ভার্টেক্স প্রতি এক পরিবর্তনশীল সহ একটি রৈখিক সিস্টেমের সমাধান করতে সমস্যা হ্রাস ; এই লিনিয়ার সিস্টেমের জন্য ম্যাট্রিক্স হ'ল গ্রাফের ল্যাপ্লাসিয়ান ম্যাট্রিক্স।
উভয় ক্ষেত্রেই রৈখিক সিস্টেমের মধ্যে ঠিক সমাধান করা যেতে পারে নেস্টেড ব্যবচ্ছেদ এবং প্ল্যানার বিভাজক [ব্যবহার করে সময় লিপটন রোজ Tarjan 1979 ]। এটি কি দ্রুততম অ্যালগরিদম জানা যায়?
স্পিলম্যান, টেং এবং অন্যদের সাম্প্রতিকতম ফলাফলগুলি সূচিত করে যে স্বেচ্ছাসেবীর গ্রাফগুলিতে ল্যাপল্যাসিয়ান সিস্টেমটি প্রায় লিনিয়ার সময়ে সমাধান করা যায়। সর্বাধিক চলমান সময়ের জন্য [ কাউটিস মিলার পেং ২০১০ ] দেখুন এবং উচ্চ-স্তরের পর্যালোচনার জন্য সিমন্স ফাউন্ডেশনে এরিকা ক্লারারিচের এই আশ্চর্যজনক নিবন্ধটি দেখুন । তবে আমি প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য সঠিক অ্যালগরিদমে বিশেষত আগ্রহী ।
গণনার এমন একটি মডেল ধরে নিন যা ধ্রুবক সময়ে সঠিক আসল গণিত সমর্থন করে।