অ্যাসিম্পটোটিকভাবে, এর কতগুলি ক্রমবর্ধমান সর্বাধিক বিপরীত হয়েছে?

একটি বিন্যাস বিবেচনা করুন এর । বিপরীতকে সূচকগুলির একটি জুড়ি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেমন এবং । $\sigma$ $[1..n]$ $(i, j)$ $i < j$ $\sigma(i) > \sigma(j)$

সর্বাধিক বিপর্যয়ের সাথে এর ক্রম সংখ্যা হিসাবে নির্ধারণ করুন । $A_k$ $[1..n]$ $k$

প্রশ্ন: এর জন্য আঁটসাঁট অ্যাসিম্পটোটিকটি কী ? $A_k$

এর আগে একটি সম্পর্কিত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল: একই কেন্দল-তাউ দূরত্বের ক্রম সংখ্যা

তবে উপরের প্রশ্নটি গণনা । এটি ডায়নামিক প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে, যেহেতু এটি এখানে প্রদর্শিত পুনরাবৃত্তির সম্পর্কটিকে সন্তুষ্ট করে: /programming/ -sort-অদলবদল $A_k$

ঠিক বিবর্তনের সাথে ক্রমের সংখ্যাও অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং এটি উত্পন্ন ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: http://en.wikedia.org/wiki/Parration#Inversions $k$

তবে আমি একটি বদ্ধ-ফর্মুলার সূত্র বা অ্যাসিম্পটিক বাউন্ড খুঁজে পাচ্ছি না।

co.combinatorics permutations

— বিনায়ক পাঠক
সূত্র

আপনার যদি সিকোয়েন্সের জন্য উত্পাদিত বহুভুজ থাকে তবে আপনি উপসর্গের সমষ্টিগুলির জন্য উত্পাদিত বহুবচনটি কেবল বহু বহুগুণকে দ্বারা গুণিত করতে পারেন । আপনার ক্ষেত্রে, আপনি সেই বহুপদী ব্যবহার করবেন যা আপনি ঠিক-কে বিপরীতে গণনা করে।

1 / (1 - x)

$1/(1-x)$

— সুরেশ ভেঙ্কট

এটি oeis.org/A161169

— আন্দ্রে সালামন

@ সুরেশভেঙ্কট টিপটির জন্য ধন্যবাদ। তবে আমি এখনও এবং এর ক্ষেত্রে এই জটিল জটিল বহুবর্ষের এর সহগ খুঁজে পেতে আটকে যাব এবং আমি কীভাবে এটি করব তা দেখতে পাচ্ছি না।

x^{k}

$x^k$

n

$n$

k

$k$

— বিনায়ক পাঠক

-এর সহগ পাওয়ার জন্য , উত্পাদিত বহুভুজের -th ডেরিভেটিভ নিন এবং এটি এ মূল্যায়ন করুন ।

x^{k}

$x^k$

k

$k$

x = 0

$x = 0$

— সাশো নিকোলভ

উইকিপিডিয়া মতে, এ একাধিক বিন্যাসন ঠিক সঙ্গে inversions সহগ হয় মধ্যে এটি । এটি দেখায় যে $S_n$ $k$ $X^k$

1 (1 + + এক্স) (1 + + এক্স + + {এক্স}^{2}) \dots (1 + + এক্স + + \dots + + {এক্স}^{এন - 1}) ।

$1(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+\cdots+X^{n-1}).$

c (n, k)

$c(n,k)$

সুতরাং একাধিক বিন্যাসন

সর্বাধিক সঙ্গে

inversions মধ্যে একাধিক বিন্যাসন সমান

ঠিক সঙ্গে

inversions। (: নিতে ইঙ্গিতটি এই ঝরঝরে সংযুক্তিকরণ প্রমাণ হিসাবে ভাল হয়েছে

এবং অপসারণ

)।

গ (এন + + 1, ট) = Σ_{ঠ = 0}^{ট} গ (এন, ট - ঠ) ।

$c(n+1,k) = \sum_{l=0}^k c(n,k-l).$

S_{n}

$S_n$

k

$k$

S_{n + 1}

$S_{n+1}$

k

$k$

π \in S_{n + 1}

$\pi\in S_{n+1}$

n + 1

$n+1$

আমরা কেবল সহগ আগ্রহী , তারপর উপাদান জন্য কোনো পার্থক্য করি না। তাই জন্য , সহগ হয় মধ্যে $X^k$ $X^m$ $m > k$ $n > k$ $c(n,k)$ $X^k$ এটি সূত্রটিবোঝায়

\begin{aligned} 1 (1 + + এক্স) \dots (1 + + এক্স + + \dots + + {এক্স}^{ট - 1}) (1 + + এক্স + + \dots + + {এক্স}^{ট} + + \dots)^{এন - ট} \\ = & 1 (1 + + এক্স) \dots (1 + + এক্স + + \dots + + {এক্স}^{ট - 1}) \frac{1}{(1 - এক্স)^{এন - ট}} \\ = & 1 (1 + + এক্স) \dots (1 + + এক্স + + \dots + + {এক্স}^{ট - 1}) Σ_{টি = 0}^{\infty} (\binom{টি + + এন - ট - 1}{টি}) {এক্স}^{টি} । \end{aligned}

$\begin{align*} &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) (1+X+\cdots+X^k+\cdots)^{n-k} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \frac{1}{(1-X)^{n-k}} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \sum_{t=0}^\infty \binom{t+n-k-1}{t} X^t. \end{align*}$

গ (এন, ট) = Σ_{টি = 0}^{ট} (\binom{এন + + টি - ট - 1}{টি}) গ (ট, ট - টি), এন > ট ।

$c(n,k) = \sum_{t=0}^k \binom{n+t-k-1}{t} c(k,k-t), \quad n > k.$

যখন স্থির থাকে, তখন asympototically সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ শব্দটি এবং আমাদের $k$ $t = k$ জন্য একই অ্যাসিম্পটোটিক্স কাজ করেযা আপনি পরে এসেছিলেন।

গ (এন, ট) = (\binom{এন - 1}{ট}) + + {হে}_{ট} ({এন}^{ট - 1}) = \frac{1}{ট!} {এন}^{ট} + + {হে}_{ট} ({এন}^{ট - 1}) ।

$c(n,k) = \binom{n-1}{k} + O_k(n^{k-1}) = \frac{1}{k!} n^k + O_k(n^{k-1}).$

c (n + 1, k)

$c(n+1,k)$

অ-ধ্রুবক , সত্যটি ব্যবহার করে $k$ $\binom{n+t-k-1}{t} = \binom{n+t-k-1}{n-k-1}$ $t$ $\sum_{t=0}^k c(k,t) \leq k!$

(\binom{এন - 1}{ট}) \leq গ (এন, ট) \leq ট! (\binom{এন - 1}{ট}) ।

$\binom{n-1}{k} \leq c(n,k) \leq k! \binom{n-1}{k}.$

— ইউভাল ফিল্ম
সূত্র

c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) \leq e k^{k + 1 / 2} e^{- k} (e (n - 1) / k)^{k}

$c(n,k)\leq k!\binom{n-1}{k} \leq ek^{k+1/2}e^{-k}(e(n-1)/k)^k$

c (n, k) \leq e \sqrt{k} (n - 1)^{k}

$c(n,k) \leq e\sqrt{k}(n-1)^k$