কে-নিয়মিত গ্রাফের হ্যামিলটোনসিটি

জানা গেছে যে হ্যামিলটোনীয় চক্রটি 3-নিয়মিত গ্রাফে উপস্থিত রয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করা এনপি-সম্পূর্ণ, এটি পরিকল্পনাকারী (গ্যারি, জনসন, এবং টারজান, সিয়াম জে.কম্পুট। 1976) বা বাইপারটাইট (আকিমা, নিশিজেকি, এবং সাইটো, জে। ইনফর্ম। প্রোক। 1980) বা জর্ডান বক্ররেখা (আইওয়ামোটো এবং টোসেইন্ট, আইপিএল 1994) দ্বারা নির্মিত গ্রাফ হলেও 4-নিয়মিত গ্রাফে হ্যামিলটোনিয়ান চক্র বিদ্যমান কিনা তা পরীক্ষা করা।

কোন অন্যান্য কে-কে নিয়মিত গ্রাফের হ্যামিলটোনসিটি পরীক্ষা করার জন্য এনপি-সম্পূর্ণ হিসাবে পরিচিত?

আমি যে বিশেষ ক্ষেত্রে আগ্রহী সেটির জন্য 6-নিয়মিত গ্রাফগুলি রয়েছে, অতিরিক্ত শর্তের সাথে যে গ্রাফটির একটি বিজোড় সংখ্যা রয়েছে। যদি এই কেসটিকে এনপি-সম্পূর্ণ (বা বহুপদী) হিসাবে দেখানো যেতে পারে তবে এটি http://arxiv.org/abs/1009.0579 বর্ণিত গ্রাফ অঙ্কন সমস্যার ক্ষেত্রে প্রভাব ফেলবে । "বিশিষ্ট সংখ্যাটির বিশিষ্ট" শর্তটি হ'ল কারণ আমি যা জানতে চাই তা হল 6 নিয়মিত গ্রাফের জন্য, গ্রাফটিতে হ্যামিলটোনীয় চক্র বা দ্বিপক্ষীয় 2-ফ্যাক্টর রয়েছে কিনা; তবে বিজোড় সংখ্যাগুলির বিশিষ্টতা থাকা দ্বিপক্ষীয় 2-ফ্যাক্টরের সম্ভাবনা কেবল হ্যামিলটোনীয় চক্রের সম্ভাবনা ছেড়ে দেয়।

graph-theory np-hardness hamiltonian-paths

— ডেভিড এপস্টিন
সূত্র

উত্তর:

প্রথম পদক্ষেপটি ধরে নেওয়া যাক গ্রাফটির আরও বহু সংখ্যা রয়েছে। দ্বিতীয় পর্যায়ে, আমরা নির্মাণটি প্রসারিত করব, যাতে কে সমান হয়, তবে আমরা কীভাবে দেখব যে গ্রাফটি কীভাবে বিজোড় সংখ্যাগুলিতে পরিণত করা যায়।

সমাধানটি অন্য উত্তরে প্রস্তাবিত ধারণার সংশোধন।

প্রথম অংশ

দাবি: একটি নিয়মিত গ্রাফ করে এমনকি সমান সংখ্যক বিভাজন সহ, যে কোনও একটি গ্রাফ গণনা করতে পারে যা নিয়মিত, এবং হ্যামিলটোনীয় iff $k$ $G$ $H$ $(k+1)$ $H$ $G$ হ্যামিলটোনিয়ান হয়।

প্রুফ: নিয়মিত গ্রাফ এর দুটি কপি নিন , তাদের এবং । একটি ভেরিটেক্স , এবং এর সাথে সম্পর্কিত অনুলিপিগুলি হতে দিন। জন্য টির সাথে একটি চক্র তৈরি করুন । দু'রকমের বাছুন এবং এই চক্রের, এবং তাদের মধ্যে প্রান্ত মুছে ফেলুন। এরপরে, কে এবং থেকে $k$ $G$ $G_1$ $G_2$ $v \in V(G)$ $v_1$ $v_2$ $k+2$ $v$ $v'$ $v''$ $v_1$ $v'$ $v_2$ $v''$ । যাক জন্য এই উপাদানটি বোঝাতে । $C(v)$ $v$

সমস্ত শীর্ষে এটি পুনরাবৃত্তি করুন এবং ফলাফলের গ্রাফটি নির্দেশ করুন। $G$ $H$

স্পষ্টত, গ্রাফ হয় নিয়মিত। আমরা দাবি করি যে হ্যামিলটোনিয়ান যদি এবং কেবল হ্যামিলটনিয়ান হয়। $H$ $k+1$ $H$ $G$

একটি দিক পরিষ্কার। তে একটি হ্যাম্বিলটোনিয়ান চক্র দেওয়া , আমরা এটিকে তে একটি চক্রে অনুবাদ করতে পারি । বস্তুত, যখনই চক্র ভিজিট একটি প্রান্তবিন্দু , আমরা এটা থেকে সরানোর হিসাবে ব্যাখ্যা থেকে (বা তদ্বিপরীত) সমস্ত ছেদচিহ্ন পরিদর্শন যখন । যেমন, একটি হ্যামিলটোনিয়ান চক্রের ফলাফল । (দ্রষ্টব্য, এখানে আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করছি যে অনুভূমিকের মূল সংখ্যাটি সমান - যদি চক্রটি বিজোড় হয় তবে এটি ভেঙে যায়)) $G$ $H$ $v$ $v_1$ $v_2$ $C(v)$ $H$

অন্য দিক হিসাবে, মধ্যে একটি হ্যামিল্টনীয় চক্র বিবেচনা করুন । এটি অবশ্যই হতে হবে যে চক্রের একটি অংশ যা শুরু হবে, এর সমস্ত শীর্ষে এবং (বা প্রতিসম বিকল্প) থেকে ছেড়ে যায় by আসলে, হ্যামিলটোনিয়ান চক্র একই থেকে প্রবেশ করতে এবং ছেড়ে যেতে পারে না । যেমন, হ্যামিল্টোনীয় চক্র হিসাবে প্রাকৃতিক ব্যাখ্যা হিসাবে একটি হ্যামিল্টোনীয় চক্র । Qed। $H$ $C(v)$ $v_1$ $C(v)$ $v_2$ $v_i$ $H$ $G$

দ্বিতীয় অংশ

তুইসোশি নীচে উল্লিখিত হিসাবে যে কোনও 3-নিয়মিত গ্রাফের সমান সংখ্যা রয়েছে। এর মতো, নিয়মিত গ্রাফের জন্য এমনকি সমান সংখ্য সংখ্যাের সমস্যাটি সমস্যা is যথা, উপরের হ্রাসটি দেখায় যে সমস্যাটি কোনও নিয়মিত গ্রাফের পক্ষে শক্ত , যদিও ফলস্বরূপ গ্রাফটির একটি সংখ্যা সমুহ রয়েছে। $3$ $k$

আমরা পর্যবেক্ষণ করি, এর দ্বারা বোঝা যায় যে নিম্নলিখিত সমস্যাটি এনপি-হার্ড।

সমস্যা: মনন একটি K-নিয়মিত গ্রাফ ছেদচিহ্ন এর জোড় সংখ্যা সঙ্গে একটি হ্যামিল্টনিয়ান চক্র মাধ্যমে একটি নির্দিষ্ট প্রান্ত যাচ্ছে হয়েছে । $G$ $e$

যাইহোক, যদি তখনও একটি উদাহরণ দেওয়া হয় আমরা এটিকে কাঙ্ক্ষিত সমস্যায় হ্রাস করতে পারি। প্রকৃতপক্ষে, আমরা প্রান্ত প্রতিস্থাপন একটি চক্রের ছেদচিহ্ন, চক্রান্তকারী এক প্রান্ত মোছার, এবং এন্ড পয়েন্ট তার দুই এন্ড পয়েন্ট সংযোগ আগের মত , এবং মুছে ফেলার গ্রাফ থেকে। স্পষ্টতই, নতুন গ্রাফ : $k$ $(G, e)$ $e$ $k+1$ $e$ $e$ $H$

হয় -regular। $H$ $k$
হ্যামিলটোনিয়ান ইফফ হ্যামিলটনিয়ান হ'ল ব্যবহার করে একটি চক্র। $H$ $G$ $e$
আছে টি শীর্ষ কোণ => এর বিশিষ্ট সংখ্যা রয়েছে number $H$ $|V(G)| + k+1$ $H$

নোট, যে একটি -regular গ্রাফ, জন্য বিজোড়, ছেদচিহ্ন একজন জোড় সংখ্যা থাকতে হবে (ঠিক প্রান্ত গণনা), যেমন, সেখানে নেই সঙ্গে ছেদচিহ্ন এর বিজোড় সংখ্যা সঙ্গে -regular গ্রাফ, বিজোড় হচ্ছে। $k$ $k$ $k$ $k$

ফল

কোনও নিয়মিত গ্রাফের জন্য হ্যামিল্টোনীয় চক্র রয়েছে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া এনপি-হার্ড । গ্রাফের একটি বিজোড় সংখ্যা রয়েছে, এমনকি সমস্যাটি এনপি-হার্ড থেকে যায়। $k$ $k\geq 3$

অবশ্যই, এটি সবসময়ই সম্ভব আমি কিছু বোকা ভুল করেছি ...

ব্যায়াম

আমরা একটি গ্রাফ যে থেকে যেতে চান -regular করার জন্য একটি গ্রাফ যে (বলুন) -regular তারপর গ্রাফ একটি আকার যে ব্যাখ্যা মূলকভাবে নির্ভর সঙ্গে একটি গ্রাফে উপরে হ্রাস বারবার ফলাফল প্রয়োগের ফলে । দেখান, যেটি একটি নিয়মিত গ্রাফ এবং , যে কোনও গ্রাফ নির্মাণ করতে পারে যা নিয়মিত এবং এর আকার এবং বহুভুজ , যেখানে হ'ল কোণের সংখ্যা এর । তদ্ব্যতীত, $k$ $2k$ $k$ $k$ $G$ $i >2$ $H$ $(k+i)$ $k,i$ $n$ $n$ $G$ হ্যামিলটনিয়ান যদি এবং কেবল হ্যামিল্টোনিয়ান হয়। $G$ $H$

(আমি এটি একটি অনুশীলন হিসাবে পোস্ট করছি, একটি প্রশ্ন নয়, যেহেতু আমি কীভাবে এটি সমাধান করতে জানি))

— সারিল হার-প্লেড
সূত্র

গ্রেট! আমি মনে করি যে এই উত্তরটি প্রথম প্রশ্নটির সমাধান করে যে "কে-রেগুলার গ্রাফের হ্যামিলটোনসিটি পরীক্ষা করার জন্য অন্যান্য কে-কে এনপি-সম্পূর্ণ বলে জানা গেছে?" কারণ 3-নিয়মিত গ্রাফগুলিতে একটি সমান সংখ্যার শীর্ষা থাকে এবং গ্রাফ থাকে এই রূপান্তর দ্বারা তৈরি এইচ এর সমান সংখ্যাও রয়েছে যদি জি এর একটি সমান সংখ্যা থাকে।

— Tsuyoshi Ito

তবে আমি ভুল না হলে রবিনের প্রমাণের একই পাল্টা উদাহরণ এই প্রমাণের প্রতি-উদাহরণ example G কে 2 টি শীর্ষে অবস্থিত করে দিন। তারপরে এখানে পদ্ধতিটি এইচ তৈরি করে যা একটি 9 চক্র, যা হ্যামিলটনিয়ান।

— এমিল

আমি যেমন রবিনের জবাব প্রসঙ্গে বলেছিলাম, সমস্যাটি হ'ল আপনি যখন হ্যামিল্টন চক্রকে এইচ থেকে জি পর্যন্ত "প্রজেক্ট" করার চেষ্টা করবেন তখন চক্রটি একটি চক্র নয়, শেষ পর্যন্ত হতে পারে কারণ এটি যেখানে ছিল সেখানেই পিছনে পড়ে।

— এমিল

@ এমিল: আমি মনে করি যে ২ টি শীর্ষ দিকের পথটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, কারণ যদি আমাদের একই প্রান্তটি একাধিকবার ব্যবহারের অনুমতি দেওয়া হয় তবে এটিতে হ্যামিল্টোনীয় সার্কিট রয়েছে।

— Tsuyoshi Ito

@ স্যারিল হার-পিল্ড: প্রতিটি গ্রাফে বিজোড় शिरোখণ্ডির সংখ্যা (অর্থাত্ বিজোড় ডিগ্রির শীর্ষে) সমান। অতএব, সমস্ত 3-নিয়মিত গ্রাফগুলির একটি সমান সংখ্যার শীর্ষ কোণ রয়েছে। আমি মন্তব্যটির প্রথম সংস্করণে এটি উপলব্ধি না করেই একটি অযৌক্তিক জটিল যুক্তি লিখেছিলাম (যা আমি 5 মিনিটেরও কম সময়ে সংশোধন করেছি), তাই যদি আপনি আমার পুরানো মন্তব্যটি পড়ে থাকেন এবং এতে বিভ্রান্ত হন তবে আমাকে ক্ষমা করবেন।

— Tsuyoshi Ito

সম্পাদনা: মন্তব্যগুলিতে উল্লেখ করা হিসাবে এই প্রমাণটি ভুল। (পোস্টটি মুছে ফেলা উচিত?)

এটি স্বজ্ঞাতভাবে অনুভব করে যে হ্যামিল্টোনিসিটি যদি কে-নিয়মিত গ্রাফগুলির জন্য এনপি-হার্ড হয় তবে এটি (কে + 1) -অনুক্রমিক গ্রাফের জন্য এনপি-হার্ডও হওয়া উচিত। এখানে খামের পিছনে একটি হ্রাস রয়েছে, যা আমার কাছে দুর্দান্ত দেখাচ্ছে, তবে অবশ্যই ভুল হতে পারে।

জি কে-নিয়মিত গ্রাফ হতে দিন। G কে একটি গ্রাফের কার্টেসিয়ান পণ্য এবং একটি প্রান্ত হতে দিন। অন্য কথায়, জি 'গ্রাফটি হ'ল জি এর দুটি অনুলিপি রয়েছে এবং প্রতিটি ভার্টেক্স তার অনুলিপিটির সাথে সংযুক্ত থাকে। জি 'এখন নিয়মিত (কে + 1), যেহেতু প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে 1 টি অতিরিক্ত প্রান্ত পেয়েছে।

দাবি: জি'র একটি হ্যামিল্টোনীয় চক্র রয়েছে এবং কেবল যদি জি 'এর হ্যামিল্টোনীয় চক্র থাকে G

প্রুফ: জি এর যদি হ্যামিলটোনিয়ান চক্র থাকে তবে জি 'এর একটিও রয়েছে তা সহজেই দেখা যায়। বলুন (ইউ, ভি) হ্যামিলটোনিয়ান চক্রের একটি প্রান্ত। সেই প্রান্তটি ব্যবহার না করেই চক্রটি u থেকে v পর্যন্ত অতিক্রম করুন, এবং এখন প্রান্তটি ব্যবহার না করে v থেকে 'v' তে যান, যেখানে জি 'জি'র অনুলিপিতে v এর সাথে অনুবর্তী ভার্টেক্স, এখন বিপরীত ক্রমে চক্রটি অতিক্রম করুন এই গ্রাফে, যা আমাদের আপনার কাছে ফিরিয়ে আনবে। এখন আপনি ইউ থেকে আপনার যান যা চক্রটি সম্পূর্ণ করে।

যদি জি'র একটি হ্যামিলটোনিয়ান চক্রটি ভার্চেক্স ইউ থেকে শুরু হয়, জি-তে ট্র্যাভারসালগুলির একই ক্রমটি বিবেচনা করুন Every অন্যান্য গ্রাফের সংশ্লিষ্ট ভার্টেক্সে, আমরা কিছুই করি না। যেহেতু প্রতিটি পদক্ষেপ গ্রাফ জি-তে বৈধ, এবং চক্রটি ভার্টেক্স ইউতে শেষ হয়, এটি হ্যামিলটোনিয়ান চক্র।

— রবিন কোঠারি
সূত্র

প্রমাণের দ্বিতীয় অনুচ্ছেদটি কীভাবে কাজ করে তা আমি দেখতে পাচ্ছি না। আমরা যদি শর্তটি কে-নিয়মিত রাখি তবে জি-কে একটি পথ হতে দেওয়া দাবির প্রতি পাল্টা নমুনা দেয় যে জি Ham হ্যামিলটানিয়ান হলে জিও হ্যামিলটনিয়ান।

— Tsuyoshi Ito

আমি এখানে শেষ অনুচ্ছেদ সম্পর্কে কিছুটা উদ্বিগ্ন। যখন জি'র জন্য হ্যামিল্টন চক্রটি "প্রজেক্টেড" হয় (যদি এটি সঠিক শব্দ হয়!) তখন জিও-তে থাকে, তখন আমাদের এমন পরিস্থিতি হতে পারে যেখানে চক্রটি তার পদক্ষেপগুলি পিছনে ফেলে।

— এমিল

@ শুয়োশি: আপনি একটি পাল্টা উদাহরণ পেয়েছেন: কেবল একটি নিয়মিত পথ ধরুন - দুটি দ্বিখণ্ডিত পথ।

— এমিল

@ শুয়োশি: আপনি ঠিক বলেছেন। প্রমাণটি ভুল is আমি উত্তর মুছে ফেলা উচিত? আমাদের কি এ নিয়ে নীতিমালা আছে?

— রবিন কোঠারি

@ রবিন, আমি মনে করি আপনার পোস্টটি এখনই ছেড়ে দেওয়া উচিত যে এটি কিছুটা আলোচনা তৈরি করেছে। এটি অবশ্যই ব্যাখ্যা করে যে এটি একটি বিশ্রী সমস্যা।

— এমিল