শীর্ষবর্ণগুলি কি এক অর্থে - প্রান্তে রঙিন হয়?


16

আমরা জানি যে গ্রাফ প্রান্ত রং হয় লাইন গ্রাফ যথা, একটি বিশেষ গ্রাফ প্রান্তবিন্দু রং এর ।G L(G)G

গ্রাফ অপারেটর যেমন গ্রাফ এর শীর্ষবর্ণের চিত্রগুলি গ্রাফের প্রান্তের রঙ are ? আমি এমন একটি গ্রাফ অপারেটরের প্রতি আগ্রহী যা বহুপদী সময়ে নির্মিত যেতে পারে, অর্থাত্ গ্রাফিক বহুগুণে থেকে পাওয়া যায় ।ΦG Φ(G)Φ(G)G

মন্তব্য : স্থিতিশীল সেট এবং ম্যাচিংয়ের জন্য অনুরূপ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে। সাথে একটি মিল একটি একটি স্থিতিশীল সেট । কোনও গ্রাফ অপারেটর যেমন স্থিতিশীল সেটগুলি এর সাথে মিল আছে ? যেহেতু স্থিতিশীল সেট করা হয় -complete এবং মেলা জন্যে , যেমন একটি গ্রাফ অপারেটর (যদি থাকে) বহুপদী সময় নির্মাণ করা যাবে না, অভিমানী । GL(G)ΨGΨ(G)NPPΨNPP

সম্পাদনা: @ ইউসুলের উত্তর এবং @ ওকামোটোর এবং @ কিং এর মন্তব্যে অনুপ্রাণিত হয়ে আমার সমস্যার জন্য আমি একটি দুর্বল রূপ পেয়েছি: গ্রাফ G এর ভার্টেক্স Φ(G) নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত হাইপারগ্রাফ edge ( জি ) এর প্রান্তযুক্ত রঙ । প্রান্তবিন্দু সেট Φ(G) একই প্রান্তবিন্দু সেট G । প্রতিটি প্রান্তবিন্দু জন্য v এর G , বদ্ধ আশপাশ NG[v]=NG(v){v} hypergraph একজন প্রান্ত হয় Φ(G) । তারপরG hypergraph লাইন গ্রাফ হয়Φ(G) এবং সেইজন্য এর রং প্রান্তবিন্দুG করছে প্রান্ত রংΦ(G)

আবার, আমি সমস্ত উত্তর এবং মন্তব্যগুলি দেখানোর জন্য কৃতজ্ঞ যে, বা ধরে না নিয়ে NPP, আমি যে অপারেটরটির সন্ধান করছি সেটির অস্তিত্ব থাকতে পারে না। আমি যদি সমস্ত উত্তর গ্রহণ করতে পারি তবে ভাল লাগবে!


সদয় মন্তব্য (এবং ধৈর্য!) এবং দরকারী উত্তরের জন্য ধন্যবাদ। আমার পড়ার, চিন্তা করার জন্য সময় প্রয়োজন এবং সম্ভবত তাজা চোখ দিয়ে ফিরে আসতে পারে।
ব্যবহারকারী 13136

6
1998 সালে নিশিজেকি এবং চাউ দ্বারা উত্থাপিত বেশ আকর্ষণীয় সমস্যাটি আমি পেয়েছিলাম যা আপনার প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত এবং @ স্যুওশিআইটোতে আপনার দ্বিতীয় মন্তব্যের সাথে সম্পর্কিত: প্রান্তটি বর্ণের সমস্যাটি কি কেবল খালি - বর্ণকে কমিয়ে দেওয়া যেতে পারে? (...) যেহেতু উভয় সমস্যাই এনপি-সম্পূর্ণ, তাই এনপি-সম্পূর্ণতার তত্ত্বের কারণে 3-স্যাটের মাধ্যমে হয় অন্যভাবে প্রশমিতভাবে হ্রাস করা যেতে পারে। এভাবে উন্মুক্ত সমস্যা জিজ্ঞাসা করে, ... ( এখানে দেখুন )
vb le

@ ভবল: ধন্যবাদ! আমি স্বীকার করি যে আমি "খুব বেশি" চেয়েছিলাম। এই ধরনের অপারেটর নিশিজেকি এবং ঝো'র সমস্যা সমাধান করবে।
ব্যবহারকারী 13136

উত্তর:


16

লাইন গ্রাফের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা , আমি মনে করি আপনি নিম্নলিখিতগুলি জিজ্ঞাসা করছেন:

প্রতিটি অপরিবর্তিত গ্রাফ কি কোনও পূর্বনির্দেশিত গ্রাফ জি = ( ভি , ) এর উপস্থিত রয়েছে যেমন প্রতিটি ভেরিটেক্স ভি ভি একটি প্রান্তের সাথে মিলিত হয় ( v 1 , v 2 ) E এবং প্রান্ত সংশ্লিষ্ট তোমার দর্শন লগ করা ভী এবং V ভী ভাগ অন্তত একটি শেষবিন্দু যদি এবং কেবল যদি ( তোমার দর্শন লগ করা , বনাম )G=(V,E)G=(V,E)vV(v1,v2)EuVvV ?(u,v)E

উত্তর হতে দেখা যায় কোন । চার প্রান্তবিন্দু গাছ বিবেচনা মূল সঙ্গে বনাম তিন সন্তান থাকার এক্স , Y , z- র । ইন জি ' : আমরা চার প্রান্ত থাকতে হবে ( বনাম 1 , V 2 ) , ( এক্স 1 , x 2 ) , ( Y 1 , Y 2 ) , ( z- র 1 , z- র 2 ) । তদ্ব্যতীত, এটি অবশ্যই v হয় যে ক্ষেত্রে হতে হবেGvx,y,zG(v1,v2),(x1,x2),(y1,y2),(z1,z2) বা v 2 অন্যান্য তিনটি প্রান্তের (যেমন, | { v 1 , v 2 } { x 1 , x 2 } |1 , ইত্যাদি)এর প্রতিটিটির একটি সমাপ্তি বিন্দু। তবে এর অর্থ এই যে অন্য তিনটি প্রান্তের কমপক্ষে দু'জনকে অবশ্যই একটি সাধারণ সমাপ্তি ভাগ করতে হবে, যা আমাদের প্রয়োজনীয়তা লঙ্ঘন করে যেহেতু x , y , z এরকোনও দুটিইমূল গ্রাফের সাথে সংলগ্ন নয়।v1v2|{v1,v2}{x1,x2}|1x,y,z

আমি মনে করি একই গ্রাফটি আপনাকে মিলে যাওয়া প্রশ্নের জন্যও একটি কাউন্টারিক্স নমুনা দেবে।


3
ভাল যুক্তি! আসলে আমারও একই চিন্তা ছিল। কিন্তু হয়তো সেখানে সংজ্ঞা জন্য আরেকটি উপায় হল ? নাকি আমরা আনুষ্ঠানিকভাবে কিভাবে প্রমাণ করতে পারেন যে এই ধরনের একটি অপারেটর Φ বিদ্যমান নেই? GΦ
ব্যবহারকারী 13136

1
@ ইউজার ১৩১66, হুম, এটির আশেপাশে কোনও সৃজনশীল উপায় রয়েছে তবে আপনাকে আপনার প্রশ্নটি পুনর্বিবেচনা করতে হবে (আমি মনে করি যে আমার প্রতিলিপিটি উদ্ধৃত বাক্সে বর্ণিত প্রশ্নের উত্তর হিসাবে একটি আনুষ্ঠানিক প্রমাণ)। স্বজ্ঞাতভাবে, আমি মনে করি সমস্যাটি হ'ল লাইন-গ্রাফের দিকে যাওয়ার সময় আমরা একটি কিনারা নিয়ে যাই (এটি কেবল দুটি শীর্ষে অবস্থিত হতে পারে) এবং এটি একটি শীর্ষবিন্দুতে পরিণত হয় (যেটি কোনও প্রান্তের সাথে সংযুক্ত হতে পারে) - সহজ । বিপরীতটি বিপরীত এবং শক্ত।
usul

2
কেবল উসুলের উত্তরে যুক্ত করা, সংক্ষিপ্ত উত্তর হ'ল না কারণ ম্যাচিংয়ের স্ট্রাকচারাল বৈশিষ্ট্য রয়েছে স্থিতিশীল সেটগুলিতে অগত্যা উপস্থিত হয় না। উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি লাইনের গ্রাফটিও আধা-রেখা এবং নখরুক্ত; এটি ভার্টেক্স রঙের তুলনায় সত্যই প্রান্তের রংগুলির সীমাবদ্ধ করে।
অ্যান্ড্রু ডি কিং কিং

14

প্রশ্নটিতে আপনার বোঝার অর্থের মধ্যে কিছুটা অস্পষ্টতা রয়েছে যা "গ্রাফ জি এর শীর্ষবর্ণের চিত্রগুলি একটি গ্রাফ এইচ এর প্রান্ত রঙ হয় ," তবে এটি এমন একটি গ্রাফটি তৈরি করা এনপি-হার্ড যার প্রান্তের ক্রোম্যাটিক সংখ্যাটি (ভার্টেক্স) ক্রোম্যাটিক সংখ্যার সমান? একটি প্রদত্ত গ্রাফ সাধারণত, নিম্নলিখিত সম্পর্কের সমস্যাটি এনপি-হার্ড।

যেমন প্রান্ত বর্ণীয় সংখ্যা বর্ণীয় সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব
ইন্সটান্স একটি গ্রাফ: জি
সমাধান : একটি গ্রাফ এইচ যেমন যে প্রান্ত বর্ণীয় সংখ্যা χ '( এইচ এর) এইচ বর্ণীয় সংখ্যা χ (সমান জি এর) জি

এর কারণ, ভাইজিংয়ের উপপাদ্যটি একটি (তুচ্ছ) দক্ষ অ্যালগরিদম দেয় যা প্রান্তের ক্রোম্যাটিক সংখ্যাকে 1 এর যোগমূলক ত্রুটির মধ্যে সজ্জিত করে যেখানে ক্রোম্যাটিক সংখ্যাটি বিভিন্ন সংশ্লেষে এমনকি আনুমানিকও শক্ত। উদাহরণস্বরূপ, খান্না, লিনিয়াল এবং সাফরা [কেএলএস00] দেখিয়েছেন যে নিম্নলিখিত সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ (এবং পরে গুরুস্বামী এবং খান্না [জি কে04] একটি আরও সহজ প্রমাণ দিয়েছেন):

3-সমৃদ্ধ বনাম অ-4-রঙিন
দৃষ্টান্ত : একটি গ্রাফ জি
হ্যাঁ-প্রতিশ্রুতি : জি 3-সমৃদ্ধ।
অ-প্রতিশ্রুতি : জি 4-কলয়েবল নয়।

এই ফলাফলটি শুরুতে আমি যে এনপি-কঠোরতা দাবি করেছিল তা প্রমাণ করার পক্ষে যথেষ্ট। একটি অনুশীলন হিসাবে একটি প্রমাণ বাকি আছে, কিন্তু এখানে একটি ইঙ্গিত দেওয়া হয়েছে:

অনুশীলন । উপরোক্ত সমস্যাটি প্রমাণ করুন যে "ক্রোম্যাটিক সংখ্যাকে এজ ক্রোম্যাটিক সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করা হচ্ছে" বহু-কালীন কার্যকারিতা হ্রাসের অধীনে এনপি-হার্ড হ'ল এতে "3-কোলেটেবল বনাম অ-4-কমিয়েবল" হ্রাস করে। এটি হল দুটি বহু-সময়কালীন ফাংশন f (যা কোনও গ্রাফের জন্য কোনও গ্রাফকে মানচিত্র করে ) এবং g (যা কোনও গ্রাফকে কিছুটা মানচিত্র দেয়) এমনটি নির্মাণ করো

  • তাহলে জি একটি 3-মেকী গ্রাফ এবং এইচ গ্রাফ যেমন χ (যেমন ( জি )) = χ '( এইচ ), তারপর গ্রাম ( এইচ ) = 1।
  • তাহলে জি একটি অ-4-মেকী গ্রাফ এবং এইচ গ্রাফ যেমন χ (যেমন ( জি )) = χ '( এইচ ), তারপর গ্রাম ( এইচ ) = 0।

তথ্যসূত্র

[GK04] ভেঙ্কটেসন গুরুস্বামী এবং সঞ্জীব খান্না। 4-রঙিন গ্রাফের 4-রঙিনের কঠোরতায়। সিমাম জার্নাল অন ডিস্রিপ্ট গণিত , 18 (1): 30-40, 2004. ডিওআই: 10.1137 / S0895480100376794

[কেএলএস 100] সঞ্জীব খান্না, নাথান লিনিয়াল এবং শমুয়েল সাফরা। ক্রোম্যাটিক সংখ্যাটি প্রায় অনুমানের কঠোরতায়। Combinatorica , 20 (3): 393-415, মার্চ 2000 ডোই: 10.1007 / s004930070013


উত্তর দেওয়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! "গ্রাফ এর শীর্ষবর্ণের চিত্রগুলি একটি গ্রাফ এইচ এর প্রান্তযুক্ত রঙ" তৈরি করে আমি কিছুটা অসম্পূর্ণ । আমি যা বলতে চাইছি তা অপারেটর the লাইনের গ্রাফ অপারেটর এল এর মতো , তবে ভার্টেক্স রঙ থেকে শুরু করে প্রান্তের রঙ পর্যন্ত। এটি একরকম χ ( জি ) = χ ( এইচ ) এর চেয়ে বেশি । G HΦLχ(G)=χ(H)
ব্যবহারকারী 13136

যেহেতু ভার্টেক্স কালারিং এবং এজ কালারিং উভয় কমপ্লিট, তাই আমরা সংজ্ঞা অনুসারে, H থেকে G থেকে বহুগুণের সময়ে যেমন χ ( G ) if k iff χ ( H ) k ′ তৈরি করতে পারি ′ তবে এ জাতীয় নির্মাণের দরকার নেই such অপারেটরের জন্য সম্পত্তি পূরণ করুন Φ আমি সন্ধান করছি। এটি কেবল প্রান্তের বর্ণগুলিতে ভার্টেক্স রঙকে হ্রাস করে। NPHGχ(G)kχ(H)kΦ
ব্যবহারকারী 13136

1
@ ব্যবহারকারী 13136: যদি কোনও দুর্বল প্রয়োজনীয়তা মেটানো অসম্ভব, তবে দৃ the় প্রয়োজন স্পষ্টতই অসম্ভবও বটে। এটি যুক্তিযুক্ত। আপনার বুঝতে হবে যে আপনার পরিকল্পনাকারী গ্রাফ উদাহরণ এটির জন্য কাউন্টারিক্স নমুনা নয়। প্রদত্ত পরিকল্পনাকারী গ্রাফের 3-বর্ণীয়তা নির্ধারণ কোনও প্রদত্ত পরিকল্পনাকারী গ্রাফের 4-বর্ণনীয়তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার চেয়ে দুর্বল প্রয়োজন নয় ; এগুলি কেবল বিভিন্ন প্রয়োজনীয়তা। অন্যদিকে, আমি ইতিমধ্যে দেখিয়েছি যে আপনি যা চান তা পি = এনপি, পিরিয়ড ব্যতীত অসম্ভব। তবে এটি বুঝতে যদি আপনার সমস্যা হয় তবে আমি বুঝতে পারি না যে আপনাকে বুঝতে সাহায্য করার জন্য আমি কিছু করতে পারি।
Tsuyoshi Ito

1
যদি আমি প্রশ্ন সঠিকভাবে বুঝতে, যেমন একটি মানচিত্র অস্তিত্ব নেই। আমাদের এনপি-সম্পূর্ণতা উল্লেখ করার দরকার নেই। শুধু বিবেচনা জি = কে 1 , 3 এবং এই ধরনের অনুমান করা Φ ( জি ) বিদ্যমান। যেহেতু জি 2-সমৃদ্ধ, তাই Φ ( জি ) 2-প্রান্ত-সমৃদ্ধ হতে হবে। এই সর্বোচ্চ ডিগ্রী মানে Φ ( জি ) সর্বাধিক দুটি হয়। যেহেতু Φ ( জি ) চার প্রান্ত আছে, আমরা জন্য সকল প্রার্থীদের মধ্য দিয়ে যেতে পারেন Φ ( জি )ΦG=K1,3Φ(G)GΦ(G)Φ(G)Φ(G)Φ(G)(isomorphism পর্যন্ত সাত প্রার্থী), এবং আমরা যে প্রান্ত রং পরিবার পাবেন এবং প্রান্তবিন্দু রং পরিবার জি ভিন্ন। একটি দ্বন্দ্ব। Φ(G)G
ইয়োশিও ওকামোটো

1
@ ইউজার ১৩১66: আমার কাছে এটি ঘটেছিল যে আপনি বিভ্রান্ত হয়ে থাকতে পারেন কারণ আমি কেবল একটি প্রমাণ ধারণা লিখেছিলাম এবং আমি প্রকৃত প্রমাণটি রেখে দিয়েছি। আমি উত্তরটি সংশোধন করেছিলাম যাতে এটি পরিষ্কার হয়ে যায় যে আমি প্রকৃত প্রমাণটি রেখেছি এবং প্রমাণের জন্য কিছু ইঙ্গিত যুক্ত করেছি। যদি এটি এখনও আপনার পক্ষে কাজ না করে তবে আমি ছেড়ে দেব।
Tsuyoshi Ito

9

(এই উসূল এর উত্তর এবং YoshioOkamoto এর মন্তব্যের একটি ছাড়াও, বরং একটি উত্তর চেয়ে।) এটা দেখা যায় যে আপনার অপারেশন সেই গ্রাফ কেবল বিদ্যমান জি , যার জন্য গ্রাফ আছে জি ' সঙ্গে জি = এল ( জি ' ) , অর্থাত্ জি একটি লাইন গ্রাফ (পলিটাইমে চেকযোগ্য)। এই ক্ষেত্রে, Φ হ'ল "বিপরীতমুখী গ্রাফ অপারেটর" এল - 1 , অর্থাৎ Φ ( জি ) = জি , এবং জি এর প্রান্তবর্ণ color ( GΦGGG=L(G)GΦL1Φ(G)=GGΦ(G)

আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.