স্থির সংখ্যক ভেরিয়েবল সহ পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিং

এইচ। লেনস্ট্রা ইন্টিজার প্রোগ্রামিং উইন্ডোজের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ভেরিয়েবলের বিখ্যাত 1983 এর পেপারে বলা হয়েছে যে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ভেরিয়েবল সহ পূর্ণসংখ্যার প্রোগ্রামগুলি ডেটা দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে বহু বহুবর্ষে সমাধানযোগ্য।

আমি নীচে যে ব্যাখ্যা।

সাধারণভাবে ইন্টিজার প্রোগ্রামিংটি এখনও এনপি-সম্পূর্ণ, তবে যদি আমার সাধারণ সমস্যাটির আকারটি (প্রায় ১০,০০০ ভেরিয়েবল, একটি স্বেচ্ছাসেবী সংখ্যার কথা বলুন) বাস্তবে সম্ভব হয় তবে আমি একটি অ্যালগরিদম তৈরি করতে পারতাম যা বহুবিধভাবে বাধাগুলির সংখ্যাতে দাঁড়িপাল্লা করে তবে না ভেরিয়েবল এবং সীমাবদ্ধতার সংখ্যা।
বাইনারি প্রোগ্রামিংয়ের জন্য ফলাফলটিও প্রযোজ্য যেহেতু আমি কোনও উপযুক্ত বাধা যুক্ত করে যে কোনও পূর্ণসংখ্যাকে 0-1 তে বাধ্য করতে পারি।

আমার ব্যাখ্যাটি কি সঠিক?

এই ফলাফলের কোন ব্যবহারিক প্রভাব আছে? এটি হ'ল কোনও বাস্তবায়ন পাওয়া যায় বা এটি সিপ্লেএক্স, গুড়োবি বা মোসেকের মতো জনপ্রিয় সমাধানকারীগুলিতে ব্যবহৃত হয়?

কাগজ থেকে কিছু উদ্ধৃতি:

এই দৈর্ঘ্যটি, আমাদের উদ্দেশ্যে, n · m · লগ (এ + 2) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেখানে একটি এবং খ এর সহগের সর্বোচ্চ সংখ্যার নিখুঁত মান বোঝায়। প্রকৃতপক্ষে, এরূপ কোনও বহুমাত্রিক অ্যালগরিদমের উপস্থিতি সম্ভবত নেই, যেহেতু প্রশ্নে সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ complete

[...]

এটি অনুমান করা হয়েছিল [5], [10] এন এর যে কোনও নির্দিষ্ট মানের জন্য পূর্ণসংখ্যার লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার সমাধানের জন্য একটি বহুপদী অ্যালগরিদম উপস্থিত রয়েছে। বর্তমান কাগজে আমরা এই জাতীয় অ্যালগরিদম প্রদর্শন করে এই অনুমানটি প্রমাণ করি। আমাদের অ্যালগরিদমের চলমান সময়টি যে সীমাবদ্ধ হতে পারে সেই বহুপদীটির ডিগ্রি হ'ল এন এর সূচকীয় ফাংশন।

co.combinatorics linear-programming integer-programming

— বার্নহার্ড কাউসার
সূত্র

"আমি এমন একটি অ্যালগরিদম তৈরি করতে পারি যা সীমার বা ভেরিয়েবলের সংখ্যায় বহুমাত্রিকভাবে স্কেল করে তবে ভেরিয়েবল এবং সীমাবদ্ধতার সংখ্যায় নয়" " আকর্ষণীয় পয়েন্ট / প্রশ্ন - এখনও অবধি আমরা সীমাবদ্ধতার জন্য এটি সঠিক হতে দেখেছি (স্থির সংখ্যাগুলির সংশোধন করা), তবে এটি জিজ্ঞাসা করা আকর্ষণীয় হবে যে এটি ভেরিয়েবলগুলির জন্যও সঠিক হতে পারে (সংশোধন করা সংখ্যার সংখ্যাটি ধরে রাখে) পাশাপাশি ? স্বজ্ঞাতভাবে এটি মনে হয় এটি সত্য হওয়া উচিত নয়, অন্যথায় আইপি সাধারণভাবে পলটাইম হতে পারে তবে আমি নিশ্চিত নই।

— usul

কাগজের ৪ নং অংশে লেনস্ট্রা বলেছে যে "মিটারের একটি নির্দিষ্ট মান সহ পূর্ণসংখ্যার লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যাটি বহুবর্ষীয়ভাবে সমাধানযোগ্য।" (মি) সংকোচনের সংখ্যা This এটি মূল ফলাফলের একটি বাস্তবায়ন হিসাবে অনুসরণ করে। এই বিভাগটি আমার কাছে পরিষ্কার নয়। দ্বিতীয় ভাবাতে সম্ভবত তিনি স্থির n এবং m ধরে নেন; অর্থ এটি "এ" (এ এবং খ এর সহগের পরম মানের সর্বাধিক) এর বহুপদী। (ফলস্বরূপ আমি উপরের প্রশ্ন থেকে "বা ভেরিয়েবল" অংশটি সরিয়েছি)।

— বার্নহার্ড কাউসার

n

$n$

m

$m$

m

$m$

n

$n$

উত্তর:

$n$

$O(n^{2.5n+o(n)} \cdot L)$ $L$ $L$ $n$

সুতরাং, সমস্যাটি ভেরিয়েবলের সংখ্যা দ্বারা স্থির-প্যারামিটার লিনিয়ার প্যারামিটারাইজড।

1) হ্যাঁ, পূর্ণসংখ্যার লিনিয়ার প্রোগ্রামিং "এখনও" এনপি-সম্পূর্ণ। উপরোক্ত তাত্ত্বিক ফলাফলের চলমান সময় কেবলমাত্র সীমাবদ্ধতার সংখ্যার উপর নির্ভর করে, তাই এটি সীমাবদ্ধতার সংখ্যায় সুন্দরভাবে স্কেল করে। তবে আমি জানি এই অ্যালগরিদমের কোনও বাস্তবায়ন নেই।

2) হ্যাঁ, ভেরিয়েবলগুলি বাইনারি মানগুলি গ্রহণ করা সহজসাধ্য আপনি যেমন পর্যবেক্ষণ করেছেন।

$L$

O (2^{n} n m + 8^{n} n \sqrt{m \log m} \log m + n^{2.5 n + o (n)} s \log m)

$O(2^nnm + 8^n n \sqrt{m \log m} \log m + n^{2.5n+o(n)}s\log m)$

m

$m$

s

$s$

— সার্জ গ্যাসপার্স
সূত্র

আহ, "স্থির-প্যারামিটার লিনিয়ার" শব্দটির জন্য ধন্যবাদ। লেনস্ট্রার কাগজটি সেটাই সম্পর্কে। আরও দেখুন: en.wikipedia.org/wiki/Parameterized_complexity

— বের্নহার্ট Kausler

n

$n$

O (n 2^{n} m)

$O(n2^n m)$

T (n, m, s)

$T(n,m,s)$

n

$n$

m

$m$

s

$s$

O (2^{n} m + (\log m) T (n, f (n), s)

$O(2^n m + (\log m)T(n, f(n),s)$

O (s)

$O(s)$

f (n)

$f(n)$

n^{O (n)}

$n^{O(n)}$

এটি আপনার উত্তরের প্রাথমিক তথ্যগুলিকে পরিবর্তন করে না, তবে অন্য প্রাসঙ্গিক রেফারেন্স হ'ল কেএল ক্লার্কসন। লম্ব ভেগেস অ্যালগরিদম লিনিয়ার এবং ইন্টিজার প্রোগ্রামিংয়ের জন্য যখন মাত্রা ছোট হয়। জে এসিএম 42 (2): 488–499, 1995, দোই: 10.1145 / 201019.201036।

— ডেভিড এপস্টেস্টিন

m

$m$

n

$n$

O (n^{2.5 n + o (n)} L)

$O(n^{2.5n+o(n)} L)$

T (n, f (n), s)

$T(n,f(n),s)$

f (n) = 4^{n}

$f(n)=4^n$

L = 4^{n} s

$L=4^n s$

f (n)

$f(n)$

O (2^{n} n m + n^{2.5 n + o (n)} (\log m) s)

$O(2^nnm+n^{2.5n+o(n)}(\log m) s)$

লেনস্ট্রা-টাইপ ফলাফলগুলির ব্যবহারিক প্রভাব এবং সিপ্লেএক্সএক্স, গুড়োবি ইত্যাদিতে সম্ভাব্য বাস্তবায়ন সম্পর্কিত কয়েকটি বিষয় এখানে রইল আইপি-র জন্য এই জাতীয় বেশিরভাগ অ্যালগোসের অন্যতম প্রধান পদক্ষেপ "ভাল" বা "পাতলা" দিকগুলিতে শাখা করা, উদাহরণস্বরূপ, হাইপারপ্লেনগুলি বরাবর পলিটোপের প্রস্থ খুব বেশি নয় (ভেরিয়েবল এবং ডেটার আকারে বহুপদী)। তবে মহাজন এবং র‌্যাল্ফস ( এখানে প্রিপ্রিন্ট ) দেখিয়েছেন যে একটি অনুকূল বিভাজন নির্বাচন করার সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ। সুতরাং, এই শ্রেণীর অ্যালগোসের ব্যবহারিকভাবে দক্ষ বাস্তবায়ন তৈরি করা শক্ত মনে হবে।

সিপিএলএক্সের মতো প্যাকেজগুলিতে প্রয়োগ করা বেশিরভাগ অ্যালগোসকে শাখা-কাটা পদ্ধতি হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। কৌশলগুলির এই পরিবারটি সাধারণত সম্ভব হয় এমন আইপি দৃষ্টান্তগুলিতে ভাল কাজ করে এবং প্রায়শই নিকটে-অনুকূল সমাধানগুলি সন্ধান করতে সক্ষম হয়। তবে লেনস্ট্রা-টাইপ অ্যালগোসের ফোকাসটি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে আইপি উদাহরণগুলির সাথে শুরু হয় যা দিয়ে শুরু করা অসম্ভব এবং লক্ষ্যটি তাদের পূর্ণসংখ্যার অক্ষমতা প্রমাণ করা (এবং তারা এই কাজের জটিলতা অধ্যয়ন করে)। আফাইক, ব্যবহারিক প্রাসঙ্গিকতার সাথে কোনও শ্রেণির সমস্যা নেই যা এই বর্ণনার সাথে খাপ খায়। সুতরাং, সিপিএএলএক্স / গুড়োবি লোকেরা সম্ভবত খুব শীঘ্রই কোনও সময় লেনস্ট্রা-টাইপ অ্যালগোসকে প্রয়োগ করবে না।

— kbala
সূত্র