প্রস্তাবিত রেজোলিউশন কি একটি সম্পূর্ণ প্রুফ সিস্টেম?

এই প্রশ্নটি প্রজেকশনাল লজিক সম্পর্কে এবং "রেজোলিউশন" এর সমস্ত উপস্থিতি "প্রস্তাবের রেজোলিউশন" হিসাবে পড়া উচিত।

এই প্রশ্নটি চূড়ান্ত কিছু কিছু তবে এটি আমাকে কিছুক্ষণ বিরক্ত করছে। আমি লোকেদের দৃ .় প্রতিবেদনের প্রস্তাবটি সম্পূর্ণ হওয়ার বিষয়টি দেখতে পাচ্ছি তবে আমি লোকেদের দেখি যে রেজোলিউশন অসম্পূর্ণ। আমি বুঝতে পারি যে রেজোলিউশনটি অসম্পূর্ণ। আমি এটিও দেখছি কেন লোকেরা এটি সম্পূর্ণ বলে দাবি করতে পারে তবে প্রাকৃতিক ছাড় বা পরবর্তী ক্যালকুলাসের বর্ণনা দেওয়ার সময় "সম্পূর্ণ" শব্দটি "সম্পূর্ণ" শব্দটি ব্যবহার করার পদ্ধতি থেকে পৃথক হয়। এমনকি কোয়ালিফায়ার "খণ্ডন সম্পূর্ণ" সহায়তা করে না কারণ সূত্রগুলি সিএনএফের মধ্যে থাকতে হবে এবং তাসিটিন রূপান্তর মাধ্যমে একটি সমতুল্য সিএনএফ সূত্রে বা সমতুল্য সিএনএফ সূত্রে কোনও সূত্র রূপান্তর প্রুফ সিস্টেমের মধ্যে গণ্য হয় না।

দৃound়তা এবং সম্পূর্ণতা

আসুন আমরা ধরণের কিছু মহাবিশ্বের কাঠামোর একটি সূত্র এবং সূত্রের একটি সেট এবং কাঠামোর মধ্যে সত্যের শাস্ত্রীয় তারস্কিয়ান ধারণার মধ্যে সাথে একটি ক্লাসিকাল প্রপোজিশনাল লজিকের সেটিংটি ধরে নিই । বিবেচনাধীন সমস্ত কাঠামোর ক্ষেত্রে সত্য হলে আমরা লিখি । আমি সূত্রগুলি থেকে সূত্রগুলি জন্য একটি সিস্টেম ও গ্রহণ করব । $\models$ $\models \varphi$ $\varphi$ $\vdash$

সিস্টেম হয় শব্দ থেকে সম্মান সঙ্গে করলে, যখনই আমরা আছে , আমরা আছে । সিস্টেম হয় সম্পূর্ণ সম্মান সঙ্গে যদি আমরা আছে যখনই , আমরা এছাড়াও আছে । $\vdash$ $\models$ $\vdash \varphi$ $\models \varphi$ $\vdash$ $\models$ $\models \varphi$ $\vdash \varphi$

রেজুলেশন বিধি

আক্ষরিক একটি পারমাণবিক প্রস্তাব বা তার অবজ্ঞা। একটি ধারাটি হ'ল আক্ষরিকের বিভাজন। সিএনএফ-এ একটি সূত্র হ'ল ধারাগুলির সংমিশ্রণ। রেজুলেশন রুল এটিকে জোর দিয়েছিল

রেজল্যুশন নিয়ম দাবি যে যদি দফা একত্রে দফা সঙ্গে Satisfiable হয়, ধারা এছাড়াও Satisfiable হতে হবে। $C \lor p$ $\neg p \lor D$ $C \lor D$

আমি নিশ্চিত নই যে রেজুলেশন রুলটিকে একমাত্র প্রুফ সিস্টেম হিসাবে বোঝা যায় কিনা কারণ সূত্রগুলি প্রবর্তনের জন্য কোনও বিধি নেই। আমি ধরে নিয়েছি আমাদের কমপক্ষে একটি অনুমানের নিয়ম দরকার যা ধারাগুলি প্রবর্তনের অনুমতি দেয়।

রেজোলিউশনের অসম্পূর্ণতা

এটি পরিচিত যে রেজোলিউশন একটি সাউন্ড প্রুফ সিস্টেম। অর্থ, যদি আমরা রেজোলিউশন ব্যবহার করে কোনও সূত্র থেকে ক্লজ অর্জন করতে পারি তবে । রেজোলিউশনটি খণ্ডন সম্পূর্ণ অর্থও যদি আমাদের কাছে তবে আমরা রেজোলিউশন ব্যবহার করে থেকে পেতে পারি । $C$ $F$ $\models F \implies C$ $\models F \implies \bot$ $\bot$ $F$

সূত্রটি বিবেচনা করুন

$\varphi := p \land q$ এবং । $\psi := p \lor q$

Gentzen সিস্টেম এল কে বা প্রাকৃতিক সিদ্ধান্তগ্রহণ ব্যবহার, আমি করতে আহরণ সংশ্লেষ সম্পূর্ণরূপে প্রমাণ সিস্টেমের মধ্যে। রেজোলিউশন ব্যবহার করে আমি এই জড়িততাটি অর্জন করতে পারি না কারণ যদি আমি দিয়ে শুরু করি তবে কোনও সমাধান নেই। $\varphi \implies \psi$ $\varphi$

আমি দেখতে পাচ্ছি যে রেজোলিউশন ব্যবহার করে আমি কীভাবে এই নিদর্শনটির বৈধতা প্রমাণ করতে পারি:

সূত্রটি বিবেচনা করুন $\neg (\varphi \implies \psi)$
স্ট্যান্ডার্ড ডিস্ট্রিবিউটিভিটি রুলস ব্যবহার করে অথবা সিসিটিন রূপান্তর ব্যবহার করে উপরের সূত্রটি সিএনএফে পরিণত করুন into
রেজোলিউশন ব্যবহার করে রূপান্তরিত সূত্র থেকে ডেরিভ । $\bot$

এই পদ্ধতিরটি আমার কাছে অসন্তুষ্টিজনক কারণ এর জন্য আমাকে পদক্ষেপগুলি (1) এবং (2) সম্পাদন করা প্রয়োজন যা রেজুলেশন প্রুফ সিস্টেমের বাইরে। সুতরাং মনে হচ্ছে একটি খুব স্পষ্ট ধারণা রয়েছে যার মধ্যে রেজোলিউশনটি আমরা যেভাবে বলি যে প্রাকৃতিক ছাড় বা পরবর্তী ক্যালকুলি সম্পূর্ণ।

প্রশ্নাবলি

উপরের সমস্তটি দেওয়া, আমার প্রশ্নগুলি হ'ল:

রেজুলেশন আলোচনা করার সময় কোন প্রুফ সিস্টেমটি বিবেচনা করা হচ্ছে? এটা কি শুধুই রেজুলেশন রুল? অন্যান্য নিয়ম কি?
আমার কাছে এটি খুব স্পষ্ট মনে হয়েছে যে প্রাকৃতিক ছাড় এবং ফলস্বরূপ ক্যালকুলি সম্পূর্ণ অর্থে সমাধানটি সম্পূর্ণ নয়। যে রেজোলিউশনে দৃser়ভাবে দাবি করা সাহিতাগুলি কি কেবল এই কারণে যে রেজোলিউশনটি সম্পন্ন হয় সেই অর্থে যেটি অসম্পূর্ণ তার চেয়ে বেশি আকর্ষণীয়?
রেজোলিউশনের ক্ষেত্রে এবং অন্য কোথাও প্রয়োগ করার মতো পরিপূর্ণতার ধারণার মধ্যে এই পার্থক্য রয়েছে এবং কীভাবে তাদের মধ্যে পুনর্মিলন করা যায় তা সাহিত্যের আরও গভীরতার সাথে আলোচনা করা হয়েছে?
আমি আরও বুঝতে পারি যে কাটা বিধি অনুসারে রেজোলিউশন পরবর্তী ক্যালকুলির মধ্যেই তৈরি করা যেতে পারে। রেজোলিউশনের "সঠিক" প্রমাণ তাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গি কি কেবল এটি সিএনএফ-এর সূত্রগুলির সন্তুষ্টি পরীক্ষা করার জন্য পর্যাপ্ত ক্যালকুলাসের একটি খণ্ড?

— বিজয় ডি
সূত্র

(১) সুনির্দিষ্ট রেজোলিউশনের সিএনএফ সূত্রগুলি (বা, যদি আপনি কিউবিএফ করেন, তবে রেজোলিউশন এবং ফোরাল-হ্রাস সহ QCNF সূত্র); (2) হ্যাঁ, এটা এর অপ্রমাণ সম্পূর্ণ, এবং এখনও সামান্য ভিন্ন অর্থ, যথা যদি

তারপর

।

ψ ⊨ ⊥

$\psi\models\bot$

ψ ⊢ ⊥

$\psi\vdash\bot$

— রাদু গ্রেগোর

এখানে প্রায় অনুরূপ প্রশ্ন। পোস্ট করার জন্য THX। মূলত, আইইউক / আফিক, রেজোলিউশনটি 1 ম অর্ডার লজিকের চেয়ে অনেক বেশি সিস্টেমের জন্য ব্যবহৃত হয়, তবে 1 ম অর্ডার লজিকের মধ্যে এটি "শব্দ / সম্পূর্ণ" হয়, যদিও এটি সর্বদা খুব ভালভাবে বর্ণিত হয় না, কারণ এটি প্রায়শই খণ্ডন প্রমাণগুলির জন্য ব্যবহৃত হয়। "বৃহত্তর" সিস্টেমে, যেখানে পদগুলি কেবলমাত্র বুলিয়ান ভেরিয়েবল নয় তবে উদাহরণস্বরূপ অস্তিত্বীয় বাছাইকারী ইত্যাদি, এটি সম্পূর্ণ নয়। যুক্তির ক্ষেত্রটি পরিভাষার সংজ্ঞাগুলিকে খুব ভাল

— মানায় না

এ কারণেই কিছু লোক বলে যে এটি " অস্বীকারযোগ্যভাবে সম্পূর্ণ", যেমন এল। বাচমায়ার এবং এইচ। গেঞ্জিঞ্জার, "রেজোলিউশনের উপপাদ্য প্রমাণ করছে," স্বয়ংক্রিয় যুক্তির হ্যান্ডবুক, খণ্ড। 1, pp। 19-99, 2001.

— ট্রয়লিক্স

প্রশ্নটি অস্বীকারযোগ্য সম্পূর্ণতা নিয়ে আলোচনা করে।

— বিজয় ডি

উত্তর:

রেজুলেশন আলোচনা করার সময় কোন প্রুফ সিস্টেমটি বিবেচনা করা হচ্ছে? এটা কি শুধুই রেজুলেশন রুল? অন্যান্য নিয়ম কি?

আমি "ক্লজ", যা শুধুমাত্র গঠিত sequents হয় প্রেক্ষাপটে রেজল্যুশন আলোচনা লিটারেল । একটি ধ্রুপদী ধারাটি মতো লাগবে তবে আমরা এটি লিখতেও পারি

A_{1}, \dots, A_{n} \to B_{1}, \dots, B_{m}

$A_1,\ldots,A_n \to B_1,\ldots,B_m$

এবং কাজের সঙ্গে মাত্র এক sequents পক্ষ। এটা তোলে এই একতরফা sequents চিকিত্সা সাধারণভাবে ব্যবহৃত হয়multisetsলিটারেল করুন।

\to {\bar{A}}_{1}, \dots, {\bar{A}}_{n}, B_{1}, \dots, B_{m}

${} \to \bar{A}_1,\ldots,\bar{A}_n, B_1, \ldots, B_m$

ধারাগুলিতে সীমাবদ্ধ এলকে মাত্র চারটি অনুমানের বিধি রয়েছে:

পরিচয়
কাটা (প্রস্তাবিত রেজোলিউশন)
সংকোচনের (প্রস্তাবিত ফ্যাক্টরিং)
বলক্ষয়কর

স্পষ্টতই এই চারটি বিধি ক্লজগুলি হ্রাস করার জন্য সম্পূর্ণ, অর্থাৎ,

প্রোপজিসন 1 কোন দফা জন্য ও ক্লজ সেট , আমরা যদি এবং কেবল যদি । $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \vdash C$

অপ্রমাণ প্রমাণ পরিবর্তিত সমস্যা থেকে , যেখানে অস্বীকৃতি প্রতিনিধিত্বমূলক ক্লজ সংগ্রহ । ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$ $N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$ $C$

এটা পরিষ্কার যে যদি এবং কেবল যদি । রূপান্তরিত সমস্যা প্রমাণের জন্য আমাদের চার-বিধি ব্যবস্থা এখনও পর্যাপ্ত, তবে আমরা লক্ষ্য করেছি যে আমাদের আর পরিচয় এবং দুর্বল হওয়ার দরকার নেই। বাকি দুটি নিয়মকে "রেজুলেশন প্রুফ পদ্ধতি" বলা হয়। ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

প্রোপজিসন 2 কোনো দফা জন্য ও ক্লজ সেট , আমরা যদি এবং কেবল যদি ব্যবহার করে শুধুমাত্র কেটে সংকোচন। $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

খণ্ডন প্রমাণগুলিতে সমস্যাটিকে রূপান্তর করার বিষয়টি দ্বিগুণ:

$N(C)$
আমাদের সম্পূর্ণ হস্তক্ষেপ যুক্তি সম্পর্কিত একটি হ্যান্ডেল রয়েছে, যার সূত্রগুলি সন্তুষ্টিযোগ্যতা অবধি সিএনএফ-এ রূপান্তরিত হতে পারে।

রেজোলিউশনের "সঠিক" প্রমাণ তাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গি কি কেবল এটি সিএনএফ-এর সূত্রগুলির সন্তুষ্টি পরীক্ষা করার জন্য পর্যাপ্ত ক্যালকুলাসের একটি খণ্ড?

প্রকৃতপক্ষে!

— উদয় রেড্ডি
সূত্র

ধন্যবাদ উদয়। একটি প্রশ্ন: কাটা নিয়ম ফলস্বরূপ এখনও মূল সূত্র থেকে দফাগুলি রাখে। রেজোলিউশনে, ফলস্বরূপ কেবলমাত্র একটি ধারা রয়েছে এগুলি এগুলি "অনুকূলিত" হয়। আপনি যদি একমত হন যে সমস্ত বিধি বিধিগুলিতে উপস্থিত না হওয়ার কারণে রেজোলিউশনটি ন্যূনতম বা স্থানীয় নিয়ম?

— বিজয় ডি

@VijayD। আমরা অবশ্যই কাটা নিয়মটি ব্যবহার করছি তবে জেন্টজেন থেকে আলাদাভাবে from জেন্টজেন প্রমাণগুলি ফর্মের হবে

⊢ C

${} \vdash C$

S ⊢ C

${\cal S} \vdash C$

আপনি কি এই উত্তরটিতে যুক্ত করতে পারেন যা আপনি মনে করেন যে এটি একটি বাক্য, রেজোলিউশনের সম্পূর্ণতার সঠিক বর্ণনা?

— বিজয় ডি

@VijayD। আমার মূল উত্তরে দুটি "যদি এবং যদি কেবল" বিবৃতি ছিল, যা দুটি সম্পূর্ণ বৈশিষ্ট্য ছিল। স্পষ্টতার জন্য, আমি এগুলি আপনার জন্য প্রস্তাব হিসাবে হাইলাইট করেছি। (আপনার বিভ্রান্তিটি কোথায় অবস্থিত তা আমি এখনও নিশ্চিত নই K কাভে যেভাবে লিখেছেন, সম্ভবত এটি কোন ভাষার সাথে আমরা কাজ করছি?)

— উদয় রেড্ডি

@VijayD। আমি মনে করি না আপনি বলতে পারেন যে রেজোলিউশনটি "অসম্পূর্ণ"। আপনার আসল প্রশ্নে আপনি যা বলেছেন, তা হ'ল প্রস্তাবমূলক সূত্রগুলিকে ক্লজাল আকারে রাখার জন্য যে রূপান্তরগুলি প্রয়োজন তা আপনার কাছে "অসন্তুষ্ট"। এর অর্থ এই নয় যে তারা "অসম্পূর্ণ"।

— উদয় রেড্ডি

1)

একমাত্র অ-কাঠামোগত নিয়মটি হল রেজোলিউশন (পরমাণুতে)।

\frac{φ \lor C, ψ \lor \bar{C}}{φ \lor ψ}

$\varphi\lor C, \psi\lor \overline{C} \over \varphi\lor \psi$

তবে নিজে থেকে একটি নিয়ম একটি প্রমাণ সিস্টেম দেয় না। অংশ 3 দেখুন।

2)

$\{\land, \lor, \lnot\}$ $\{\land, \lor, \lnot\}$

যতক্ষণ না একটি ভাষা থেকে অন্য ভাষায় একটি "সুন্দর" অনুবাদ থাকে ততক্ষণ আমরা সম্পূর্ণতার বিষয়ে কথা বলতে পারি। মূলত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলি হ'ল আমরা সূত্রগুলি এক থেকে অন্যটিতে অনুবাদ করতে পারি এবং তার বিপরীতে দক্ষতার সাথে। আপনি রবার্ট রিক্খোর থিসিসটি পরীক্ষা করতে পারেন যেখানে তিনি সংযোগের বিষয়টি নিয়ে আলোচনা করেছেন এবং দেখিয়েছেন যে ফ্রিজ সিস্টেমগুলির জন্য প্রমাণগুলির দৈর্ঘ্য বহুবর্ষের চেয়ে বেশি পরিবর্তন হয় না তাই আপনার পছন্দ মতো পর্যাপ্ত সংযোগকারীগুলির কোনও সেট বাছাই করা এক অর্থে এটি সূক্ষ্ম ।

সমাধানের পরিস্থিতিও একই রকম is স্যাট থেকে 3 এসএটি-তে হ্রাস করার মাধ্যমে আমরা আমাদের মনোযোগ সিএনএফ-এর প্রতি সীমাবদ্ধ রাখতে পারি এবং রূপান্তরটি খুব দক্ষতার সাথে করা যেতে পারে।

দ্রষ্টব্য যে এখানে রেজোলিউশন একা নয়, বিষয়টি অন্যান্য প্রুফ সিস্টেমগুলিতেও প্রযোজ্য। উদাহরণস্বরূপ সীমানা-গভীরতা ফ্রেইজ নিন যেখানে সূত্রগুলির গভীরতা একটি ধ্রুবক দ্বারা আবদ্ধ হওয়া আবশ্যক সুতরাং সংজ্ঞা অনুসারে এটি সূত্রগুলির কোনও সীমাহীন-গভীর পরিবারকে প্রমাণ করতে পারে না।

3)

$P$ $\vdash_P$

$\vdash_P$ $\varphi$ $\pi$ $\pi$ $P$ $\varphi$
$P$ $\varphi$ $\varphi$
$\varphi$ $P$ $\varphi$

সংজ্ঞাটি খুব সাধারণ এবং প্রমাণের কাঠামো সম্পর্কে মোটেই কথা বলে না। এই শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন কিছু হ'ল একটি প্রস্তাবিত প্রমাণ ব্যবস্থা।

এই আইটেমগুলিতে আমাদের কোন শ্রেণির সূত্রটি বিবেচনা করা উচিত? বিভিন্ন শ্রেণির সূত্র বিবেচনা করা হয়েছে এবং আমি যে সমস্যাটি জানি তার প্রথম চিকিত্সা হ'ল রবার্ট রিক্খোর থিসিস যেখানে তিনি দেখিয়েছেন যে যতক্ষণ না কেউ ফ্রিজ সিস্টেমের সাথে সম্পর্কিত তবে এটি কোনটি সংযোগের পর্যাপ্ত সেট ব্যবহার করে তা বিবেচনা করে না, সবগুলিই সমতুল্য

রেজোলিউশনের বিষয়ে, যদি কেউ সব সিএনএফসকেই নয় এবং সমস্ত সূত্রের বিষয়ে সম্পূর্ণতা রাখতে চান তবে যে কোনওরকম সমস্যা ছাড়াই প্রুফ সিস্টেমে সিএনএফ-এ সুনির্দিষ্ট সূত্র থেকে সিএনএফ-তে স্থির বহুবর্ষ-সময়ের অনুবাদকে অন্তর্ভুক্ত করতে পারেন কারণ অনুবাদটি বহু-কালীন গণনাযোগ্য।

$\pi$ $\bot$ $\lnot \varphi$

4)

রেজোলিউশন যেমন হয় ঠিক তেমনই, তবে এটি যেভাবে আপনি উল্লিখিত হয়েছে সেভাবেই এটি ভাবতে পারে, যেমন আমরা অবশ্যই অবশ্যই এটি কাট নিয়ম হিসাবে ভাবতে পারি যখন কাটা সূত্রটি ইতিবাচক পরমাণুগুলিকে পূর্বের দিকে নিয়ে যাওয়া এবং রেখে দেওয়া উত্তরোত্তর ইতিবাচক:

\frac{\Rightarrow φ, C C \Rightarrow ψ}{\Rightarrow φ, ψ}

$\Rightarrow \varphi, C \hspace{1cm} C \Rightarrow \psi \over \Rightarrow \varphi, \psi$

$G$

PS: আমার উত্তরটি মূলত প্রুফ জটিলতা তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে। আপনি স্ট্রাকচারাল প্রুফ তত্ত্বের মতো অন্যান্য দৃষ্টিকোণগুলি পরীক্ষা করতে চাইতে পারেন ।

তথ্যসূত্র:

রবার্ট এ। রেখো, " প্রপোজিশনাল ক্যালকুলাসে প্রুফের দৈর্ঘ্যের উপর ", 1976।

— Kaveh
সূত্র

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. আমি দেখতে পাচ্ছি উদয় কীভাবে অনুরূপ কথা বলছে তবে আমি খুঁজে পেয়েছি যে তাঁর উত্তরটি আরও সহজেই অনুসরণ করতে পারি।

— বিজয় ডি

@ বিজয়ডি, নিশ্চিত, কোনও সমস্যা নেই। :)

— কাভেহ