প্রথম অর্ডার সূত্র হিসাবে আমরা কীভাবে " " প্রকাশ করতে পারি ? [বন্ধ]

বন্ধ থাকে। এই প্রশ্নটি অফ-টপিক । এটি বর্তমানে উত্তর গ্রহণ করছে না।

এই প্রশ্নটি উন্নত করতে চান? প্রশ্নটি আপডেট করুন যাতে এটি তাত্ত্বিক কম্পিউটার সায়েন্স স্ট্যাক এক্সচেঞ্জের বিষয়বস্তু ।

7 বছর আগে বন্ধ ছিল ।

প্রথম অর্ডার সূত্র হিসাবে আমরা কীভাবে " " প্রকাশ করতে পারি ? $P=PSPACE$
পাটিগণিত শ্রেণিবিন্যাসের কোন স্তরে এই সূত্রটি রয়েছে (এবং বর্তমানে এটি নিম্ন স্তরের স্তরক্রমের সর্বনিম্ন স্তর কী)?

রেফারেন্সের জন্য, লিপটনের এই ব্লগ পোস্টটি দেখুন ।

cc.complexity-theory lo.logic descriptive-complexity

— মঙ্গল
সূত্র

বিপরীত পোস্ট থেকে math.stackexchange.com/questions/313634/...

— মঙ্গল

সম্ভবত, আপনি L এর সংজ্ঞায় SAT এর পরিবর্তে PSPACE-সম্পূর্ণ সমস্যাটি ব্যবহার করে একই লিপটনের প্রুফ ব্যবহার করতে পারেন এবং আপনি পেয়েছেন যে as হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে অর্থাত্ এটি একটি বাক্য। তবে আইএমও এটি এক ধরণের "হ্যাক" ... :-)

ψ (x, c, y)

$\psi(x,c,y)$

P \neq P S P A C E

$P \neq PSPACE$

\forall x, c \exists y ψ (x, c, y)

$\forall x,c \; \exists y \; \psi(x,c,y)$

Π_{2}

$\Pi_2$

— মারজিও ডি বায়াসি

আমি আমার জীবন এবং সমস্ত পার্থিব সম্পত্তিকে বাজি ধরব যা আপনি এটিকে "মিথ্যা" হিসাবে উপস্থাপন করতে পারেন। এটি প্রপোজিশনাল লজিকের মধ্যেও তা স্পষ্ট। :)

— শাল

@Shaull। অবশ্যই। এবং একবার আপনি দেখিয়েছেন যে এটি সঠিক প্রতিনিধিত্ব, আপনি আপনার প্রয়োজনীয় সমস্ত সম্পত্তি কিনতে সক্ষম হবেন। দয়া করে প্রতিবাদ করবেন না যে কোনও প্রমাণ থাকার জন্য মন্তব্যের জায়গাটি খুব কম।

— বিজয় ডি

@ বিজয়ডি - আমি টোপ নেব: আমি সত্যিই একটি দুর্দান্ত প্রমাণ পেয়েছি, এবং মন্তব্যের স্থান যথেষ্ট। তবে আমি ফন্টটি পছন্দ করি না ...

— শাল

উত্তর:

প্রথমত, আমি প্রশ্ন, যেখানে এটি সুপারিশ করা হয় যে "FALSE" প্রকাশ মন্তব্য ঠিকানা চাই কারণ বিবৃতি হল মিথ্যা। যদিও এটি একটি ভাল রসিকতা হতে পারে তবে এটি এইভাবে চিন্তা করা আসলে খুব ক্ষতিকারক। যখন আমরা একটি নির্দিষ্ট আনুষ্ঠানিক সিস্টেমে একটি নির্দিষ্ট বাক্যটি কীভাবে প্রকাশ করবেন জিজ্ঞাসা করি, আমরা সত্যের মূল্যবোধ সম্পর্কে কথা বলি না। যদি আমরা ছিলাম, তখন যখন কেউ জিজ্ঞাসা করলেন "অসীম অনেকগুলি প্রাইম আছে তা আমি কীভাবে লিখব?" আমরা "3 + 3 = 6" এর উত্তর দিতে পারলাম, তবে এটি পরিষ্কারভাবে করবে না। একই কারণে "মিথ্যা" "আমি কীভাবে লিখব ?" এর বৈধ উত্তর নয় । আমি মনে করি ফ্রেজ এবং রাসেল আমাদের সেই পাঠ শেখানোর জন্য কঠোর চেষ্টা করেছিলেন। ঠিক আছে, এখন উত্তর। $P = PSPACE$ $P = PSPACE$

আমাকে কীভাবে প্রকাশ করতে হবে তা দেখান , অন্য দিকটি একই রকম হয় এবং তারপরে আপনি পেতে তাদের একসাথে রাখতে পারেন । যাই হোক না কেন, আপনার প্রয়োজনের জন্য আপনি যা করছেন তার উপর নির্ভর করে কেবল প্রকাশ করা যথেষ্ট হতে পারে । $PSPACE \subseteq P$ $PSPACE = P$ $PSPACE \subseteq P$

ক্লিনের $T$ প্রিডিকেট নির্মাণের মতো কৌশলগুলি ব্যবহার করে আমরা একটি সীমাবদ্ধ কোয়ান্টিফার সূত্র গ্রহণ করতে (যা এভাবে ) বলে "যখন আমরা" দ্বারা মেশিনটি চালান এবং তার স্থান ব্যবহারকে তে আবদ্ধ করুন , মেশিনটি ইনপুট গ্রহণ করে "" এখানে এর দৈর্ঘ্য । এই ধরণের সূত্রগুলি বিদ্যমান রয়েছে তা দেখার একটি অনানুষ্ঠানিক উপায় হ'ল: , এবং প্রদত্ত আমরা আমাদের যে পরিমাণ সময় এবং কত স্থান প্রয়োজন তার উপর আবদ্ধ আদিম পুনরাবৃত্তিকে গণনা করতে পারি (অর্থাত্ সর্বাধিক, $accept_{space}(k, m, n)$ $\Sigma^0_0 = \Pi^0_0$ $k$ $|n|^m$ $n$ $|n|$ $n$ $k$ $m$ $n$ $|n|^m$ স্পেস এবং সর্বাধিক সময়)। এরপরে আমরা কেবল নির্ধারিত সীমানার মধ্যে থাকা সমস্ত সম্ভাব্য নির্বাহের চিহ্নগুলি অনুসন্ধান করি - এই জাতীয় অনুসন্ধানটি বরং অদক্ষ। তবে এটি আদিম পুনরাবৃত্তিযোগ্য এবং তাই আমরা এটিকে একটি সীমাবদ্ধ সূত্র হিসাবে প্রকাশ করতে পারি। $2^{|n|^m}$

একটি অনুরূপ সূত্র রয়েছে যা চলমান সময় দ্বারা আবদ্ধ । $accept_{time}(k, m, n)$ $|n|^m$

এখন সূত্রটি বিবেচনা করুন: এটি বলে যে প্রতিটি মেশিন যে বেশিরভাগ ব্যবহার করে এমন একটি মেশিন যা বেশিরভাগ সময় ব্যবহার করে machines যেমন দুটি মেশিন একই ' গুলি গ্রহণ করে । অন্য কথায়, সূত্রটি বলেছে । এই সূত্র ।

\forall k, m . \exists k^{'}, m^{'} . \forall n . a c c e p t_{s p a c e} (k, m, n) \Leftrightarrow a c c e p t_{t i m e} (k^{'}, m^{'}, n) .

$\forall k, m . \exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k,m,n) \Leftrightarrow accept_{time}(k',m', n).$

k

$k$

| n |^{m}

$|n|^m$

k^{'}

$k'$

| n |^{m^{'}}

$|n|^{m'}$

n

$n$

P S P A C E \subseteq P

$PSPACE \subseteq P$

Π_{3}^{0}

$\Pi^0_3$

আমরা এই উন্নত করতে পারেন যদি আমরা পরিবর্তে বাক্য "প্রকাশ করার ইচ্ছুক polytime হয়", সবচেয়ে অ্যাপ্লিকেশনের জন্য যথেষ্ট হওয়া উচিত যা, যেমন TQBF PSPACE সম্পূর্ণ এবং তাই এটি polytime হচ্ছে সমতূল্য । যাক হতে একটি মেশিন (কোড) যা মহাকাশে TQBF স্বীকার । তারপরে " " হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে এই সূত্রটি মাত্র । আমি যদি কোনও জটিলতা তাত্ত্বিক হয়ে থাকি তবে আমি আরও জানতাম যে আরও ভাল কাজ করা সম্ভব কিনা (তবে আমি এতে সন্দেহ করি)। $TQBF$ $PSPACE \subseteq P$ $k_0$ $|n|^{m_0}$ $TQBF \in P$

\exists k^{'}, m^{'} . \forall n . a c c e p t_{s p a c e} (k_{0}, m_{0}, n) \Leftrightarrow a c c e p t_{t i m e} (k^{'}, m^{'}, n) .

$\exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k_0, m_0, n) \Leftrightarrow accept_{time}(k', m', n).$

Σ_{2}^{0}

$\Sigma^0_2$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

আপনার প্রথম অনুচ্ছেদটি প্রায় এর যৌক্তিক, পাঠ্য রূপের মতো: xkcd.com/169

— বিজয় ডি

আন্দ্রেজ ইতিমধ্যে ব্যাখ্যা করেছে যে a কে -মর্যাদ হিসাবে লেখা যেতে পারে । আমি উল্লেখ করতে পারি যে এই শ্রেণিবিন্যাসটি এই অর্থে সর্বোত্তম যে বিবৃতিটি যদি কোনও -র সমান হয় তবে এই বাস্তবতাটি পুনরায় সংযুক্ত হয় না। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, ওরাকলস এর সেট যেমন একটি -ফর্মুলা দ্বারা একটি বিনামূল্যে দ্বিতীয়-ক্রম পরিবর্তনশীল , তবে এটি কোনও দ্বারা নির্ধারণযোগ্য নয় -ফর্মুলা। যুক্তিটির রূপরেখা দেওয়া হয়েছে ( , তবে এটি for এর জন্য ঠিক একইভাবে কাজ করে ) মন্তব্যগুলিতে $P=\mathit{PSPACE}$ $\Sigma^0_2$ $\Pi^0_2$ $A$ $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ $\Sigma^0_2$ $A$ $\Pi^0_2$ $P=\mathit{NP}$ $\mathit{PSPACE}$ /mathpro/57348 । (প্রকৃতপক্ষে, কেউ এই ধারণাটির সম্প্রদায়ের মাধ্যমে দেখিয়ে দিতে পারেন যে সেটটি -উপযুক্ত অর্থে )) $\Sigma^0_2$

সম্পাদনা: লিঙ্ক করা মন্তব্যে প্রদত্ত টপোলজিকাল প্রমাণটি সংক্ষিপ্ত, তবে এটি জটিল হতে পারে। এখানে সরাসরি জোর করে যুক্তি দেওয়া হচ্ছে।

$P^A\ne\mathit{PSPACE}^A$ কে -র হিসাবে লেখা যেতে পারে , যেখানে হয় । দ্বন্দ্বের জন্য ধরে নিন যে also এও একটি 0_2 -ফর্মুলা সমান । ওরাকলস , যেমন এবং । $\Pi^0_2$ $\phi(A)=\forall x\,\exists y\,\theta(A,x,y)$ $\theta$ $\Delta^0_0$ $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ $\Pi^0_2$ $\psi(A)=\forall x\,\exists z\,\eta(A,x,z)$ $B$ $C$ $P^B\ne\mathit{PSPACE}^B$ $P^C=\mathit{PSPACE}^C$

যেহেতু , অস্তিত্ব আছে যেমন যে । যাইহোক, একটি বেষ্টিত সূত্র অত: পর সত্য মান মূল্যায়ন করা হয়, শুধুমাত্র Oracle একটি সসীম অংশ ব্যবহার করে। সুতরাং, একটি সসীম অংশ বিদ্যমান এর যেমন যে যে ওরাকল জন্য ব্যাপ্ত । $\phi(B)$ $y_0$ $\theta(B,0,y_0)$ $\theta$ $\theta(B,0,y_0)$ $b_0$ $B$ $\theta(A,0,y_0)$ $A$ $b_0$

আসুন বোঝাতে ওর্যাকল প্রসারিত , এবং সঙ্গে সম্মত যেখানে undefined করা হয়। যেহেতু এবং সীমাবদ্ধ পরিবর্তন দ্বারা প্রভাবিত নয়, তাই আমাদের । উপরে হিসাবে একই যুক্তি দ্বারা, অস্তিত্ব আছে এবং একটি সসীম অংশ এর যেমন যে যে জন্য ব্যাপ্ত । আমরা ধরে নিতে পারি যে প্রসারিত । $C[b_0]$ $b_0$ $C$ $b_0$ $P^A$ $\mathit{PSPACE}^A$ $\psi(C[b_0])$ $z_0$ $c_0$ $C[b_0]$ $\eta(A,0,z_0)$ $A$ $c_0$ $c_0$ $b_0$

একই ফ্যাশন অব্যাহত রেখে, আমরা , এবং সসীম আংশিক যেমন $y_0,y_1,y_2,\dots$ $z_0,z_1,z_2,\dots$ $b_0\subseteq c_0\subseteq b_1\subseteq c_1\subseteq b_2\subseteq\cdots$

$\theta(A,n,y_n)$ প্রতিটি ওরাকল প্রসারিত , $A$ $b_n$
$\eta(A,n,z_n)$ প্রতিটি ওরাকল বাড়ানো । $A$ $c_n$

আসুন, এখন ওর্যাকল সব প্রসারিত হতে এবং । তারপরে 1 এবং 2 দ্বারা বোঝা যায় যে এবং একই সাথে ধারণ করে, যা তারা একে অপরের পরিপূরক, এই ধারণার সাথে বিরোধিতা করে। $A$ $b_n$ $c_n$ $\phi(A)$ $\psi(A)$

— এমিল জেবেক
সূত্র

দুঃখের বিষয় যে এত সুন্দর উত্তর এখন এমন একটি প্রশ্নের জন্য যা এখন বন্ধ ...

— অর্ণব