বিপরীত 3-স্যাট সম্পর্কে

Question

প্রসঙ্গ : Kavvadias এবং Sideri দেখা গেছে ইনভার্স 3-স্যাট সমস্যা coNP সম্পূর্ণ হলে: প্রদত্ত $\phi$ উপর মডেলের একটি সেট $n$ ভেরিয়েবল, একটি 3-CNF সূত্র যেমন যে $\phi$ মডেলের তার সঠিক সেট হয়? একটি তাৎক্ষণিক প্রার্থী সূত্র দেখা দেয় দুটো কারণে যা সব 3-ক্লজ-এ সমস্ত মডেলের সন্তুষ্ট এর একত্রে হয় $\phi$ ।

যেহেতু এটা সব 3-ক্লজ এটা বোঝা রয়েছে, এই প্রার্থী সূত্র সহজে একটি সমতুল্য সূত্র রুপান্তরিত করা যায় $F_{\phi}$ যা রেজল্যুশন অধীনে 3-বন্ধ রয়েছে - সূত্রের 3-অবসান রেজল্যুশন অধীনে তার অবসান এর উপসেট একমাত্র ক্লজ ধারণকারী হয় আকার 3 বা তার চেয়ে কম একজন CNF সূত্র রেজল্যুশন অধীনে বন্ধ সব সম্ভব resolvents সূত্রের একটি দফার মাধ্যমে অন্তর্ভুক্ত করা হয় যদি হয় - একটি ধারা $c_1$ একটি দফার মাধ্যমে অন্তর্ভুক্ত করা হয় $c_2$ যদি সব লিটারেল $c_2$ আছে $c_1$ ।

প্রদত্ত $I$ , ভেরিয়েবল যেমন যে একটি আংশিক নিয়োগ $I$ কোন মডেল একটি উপসেট নয় $\phi$ ।

কল $F_{\phi|I}$ , প্রয়োগের দ্বারা প্রবর্তিত সূত্র $I$ করতে $F_{\phi}$ : যেকোনো দফা করে একটি আক্ষরিক যা মূল্যায়ণ রয়েছে $true$ অধীনে $I$ সূত্র এবং কোন লিটারেল যে মূল্যায়ন থেকে মুছে ফেলা হয় $false$ অধীনে $I$ সব ক্লজ থেকে মুছে ফেলা হয় ।

কল করুন $G_{\phi|I}$ , সূত্র যা এফ ϕ | থেকে উত্পন্ন $F_{\phi|I}$ সম্ভাব্য 3 টি-সীমাবদ্ধ রেজোলিউশনগুলি দ্বারা (যার মধ্যে রেজোলভেন্ট এবং অপারেশনগুলিতে সর্বাধিক 3 টি আক্ষরিক রয়েছে) এবং সাবমেশনস।

প্রশ্ন : হয় $G_{\phi|I}$ রেজুলেশনের আওতায় 3-বন্ধ?

Comments

"পি = দ্বারা NP"? কে অ্যান্ড এস চিত্র 1 থেকে "মডেল" বিটভেেক্টরগুলির সাথে সমতুল্য। প্রশ্নটি কীভাবে সেই মডেলগুলিকে উপস্থাপন করা হয় তা পরিষ্কারভাবে নির্ধারণ করা দরকার (এবং সম্ভবত সন্তুষ্ট বিটভেেক্টরগুলির ক্ষেত্রে পুনরুদ্ধার করা হলে উত্তরটি আরও সুস্পষ্ট হবে?) যদি সমাধানগুলি বিটভেেক্টর হিসাবে উপস্থাপিত হয় তবে কিছু 3 এসএটি সূত্রের জন্য তাত্পর্যপূর্ণভাবে অনেক সন্তোষজনক বিটভেেক্টর সূত্রের আকারকে ছুঁড়ে দেয়। এটি প্রত্যাশিত "আকারে বিস্ফোরণ"। ঠিক আছে? অন্যান্য কিছু কাগজ যেমন প্রাকৃতিক প্রমাণগুলি সূত্রের "সত্য টেবিল" কেও বোঝায় যা এটি সন্তুষ্ট বিটভেটারগুলির সাথে সম্পর্কিত হতে সহায়ক হতে পারে ....

— vzn

এটি কি স্পষ্ট যে তৃতীয় ধাপটি দক্ষতার সাথে গণনা করা যেতে পারে? (অর্থাত, সিদ্ধান্ত নেওয়ার সেখানে একটি আংশিক নিয়োগ বিদ্যমান কিনা আমি না φ যেমন যে এফ φ | আমি । খালি দফা ধারণ করে না) আমি কিছু অনুপস্থিত করা আবশ্যক, কিন্তু এই আমাকে সুস্পষ্ট নয়। $I$$\phi$$F_{\phi |I}$

— ড্যানিয়েল আপন

সংশোধন এটি সম্ভবত আরও CoNP = পি সম্পর্কিত? বা সম্ভবত coNP = NP? ঠিক নিশ্চিত না। উপায় দ্বারা এটি আমাকে অনেক দ্বৈতকরণের কথা মনে করিয়ে দেয় যেখানে মডেলগুলি ডিএনএফের সাথে "উপস্থাপিত" হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ দেখুন বায়োচ / ইবারাকির দ্বৈতকরণের উপর এই রেফ

— ভিজেএন

@ ড্যানিয়েল, আইএমএইচও, হ্যাঁ, তৃতীয় পদক্ষেপটি দক্ষতার সাথে গুনে নেওয়া যেতে পারে যতক্ষণ না পদক্ষেপ 1 এবং 2 টি পারেন: যেহেতু ϕ এ আংশিক অ্যাসাইনমেন্টগুলির সেটটি আকারে আবদ্ধ না হয়, F ϕ | গণনা করা সহজ as | আমি (প্রতি জন্য আমি নেই φ ) এবং কিনা তা পরীক্ষা করুন খালি দফা এটা হয়। সম্ভাব্য বাগটি প্রথম ধাপে আসে (আমি একটি বাগটি দেখেছি যা আমি এটি সংশোধন করার চেষ্টা করছি)। $\phi$$F_{\phi|I}$$I$$\phi$

— জাভিয়ের ল্যাবউজ

@XavierLabouze: একটি, কাগজ এ দ্রুত বর্ণন দিয়েছেন শুধু একটি নোট: প্রমাণ এফ φ বহুপদী সময় গণনা করা যায় না খুব পরিষ্কার (আমার কাছে) হল$F_\phi$

— Marzio ডি Biasi

Answer 1

উত্তর: হ্যাঁ (এমনকি যদি আমি কিছু মডেল এর একটি উপসেট φ )$I$$\phi$

চলুন আর | আমি ক্লজ সেট থেকে আহরণ করা এফ φ ∪ এফ φ | আমি সমস্ত সম্ভাব্য 3-সীমাবদ্ধ রেজোলিউশন এবং সাবসমুশনগুলি দ্বারা ( আর | আমি F ϕ ∪ F ϕ | I এর 3-সীমাবদ্ধ বন্ধ )। প্রদত্ত গ একটি দফা প্রযোজ্য এফ φ তা অন্তত একটি উপসেট বিদ্যমান আর | আমি যার ধারাগুলিকে বোঝায় গ । নাম আর সি এই জাতীয় একটি উপসেট।$R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

যাক পি ( ট ) নিম্নলিখিত সম্পত্তি: সব জন্য গ ক্ষেত্রে প্রযোজ্য এফ φ যেমন যে | গ | আমি | ≤ 3 ,$P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

[ ∃ আর সি সি ⊆ আর | আমি এমন | আর সি | ≤ কে ⇒ সি | আমি কিছু দফার মাধ্যমে অন্তর্ভুক্ত করা হয় ∈ জি φ | আমি$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

এখানে পুনরাবৃত্তি শুরু হয়। প্রদত্ত গ ক্ষেত্রে প্রযোজ্য এফ φ যেমন যে | গ | আমি | ≤ 3 , অর্থাৎ সি | আমি ∈ এর 3-অবসান এফ φ | আমি ।$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. কে = 1 । যদি ∃ আর সি ⊆ আর | আই / | আর সি | = 1 তারপরে আর সি সি = { ডি } ( ডি ∈ এফ ϕ ∪ এফ ϕ | আমি গ্রাহ্য করি সি ) এবং সি | আমি দ্বারা অন্তর্ভুক্ত করা হয় ঘ | আমি ∈ ফ ϕ | আমি (দ্রষ্টব্য যে F ϕ |$k=1$$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$জি ϕ | এর কয়েকটি ধারা দ্বারা গ্রহন করা হয়েছে আই )। এইভাবে পি ( 1 ) ।$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. ধরুন কে ≥ 1 এর জন্য পি ( কে ) । যদি ∃ আর সি ⊆ আর | আমি এমন | আর সি | ≤ কে + 1 (এবং আকারের আর কোনও আর সি যেমন সি ∉ এফ ϕ এবং | সি | > 3 ) নেই তবে ধরুন সি = ( α β γ এল আই ) যেখানে α , β $P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$lite আক্ষরিক যা আমি এবং এল দ্বারা নির্ধারিত হয় না I সমস্ত আক্ষরিকের একটি উপসেট যা I ( L I ≠ ∅ ) এর অধীনে 0 তে মূল্যায়ন করে, অর্থাৎ সি | আমি = ( α β γ ) সঙ্গে α , β , γ অগত্যা ভিন্ন নয়। $\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. একটি ধারা সরান ঘ আমি থেকে আর গ যেমন যে | d i | আমি | < | d i | ≤ 3 , অন্য কথায়, এই ধরনের যে ঘ আমি থেকে কিছু আক্ষরিক রয়েছে এল আমি (অন্তত এক ধরনের দফা নেই আর গ যেহেতু এল আমি ≠ ∅ এবং) | d i | আমি | ≤ 2 ।$d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. অবশিষ্ট সেট আকার আর গ ∖ ঘ আমি হয় ≤ ট । যদি কোনও নির্দিষ্ট ধারা c ′ = ( α β γ L ′ I ) আর সি ∖ d i দ্বারা বোঝানো হয় (যেখানে L ′ I আক্ষরিক একটি উপসেট যা সমস্ত I এর অধীনে 0 তে মূল্যায়ন করে ) তবে | সি ′ | আমি | = 3 এবং ∃ আর সি ′ = আর সি ∖ $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$i ⊆ R | আমি এমন | আর সি ′ | ≤কে। দ্বারাপি(ট), গ ' | I =(αβγ)এর পরে কিছু ধারাsubs G ϕ | আমি ,গ এরজন্যপি(কে+1)প্ররোচিতকরছি।$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. যদি ডি i | আমি ধারণ করে ˉ α বা ˉ বিটা বা ˉ γ তারপর ঘ আমি | আমি [কিছু ধারা উপস্থাপিত] গ । তারপরে আর সি ∖ ডি আমি সি বোঝায় , পূর্বে দেখানো মত পি ( কে + 1 ) প্ররোচিত করে ।$d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. যদি ডি i | আমি ∈ ফ ϕ | আমি সাবসাম সি | আমি তখন পি ( কে + 1 ) সি এর জন্য সন্তুষ্ট ।$d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. যদি ডি i | আমি না অন্তর্ভূত করা আছে গ | আমি এবং এতে ˉ α বা ˉ β বা ˉ γ নেই তবে d i | আই = ( এক্স ) বা ডি আই | আমি = ( একটি এক্স ) বা ডি i | আমি = ( x y ) , যেখানে x এবং y ∉ { α β $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ $\notin\{\alpha \beta \gamma \}$ and are not set by $I$, and $a \in\{\alpha \beta \gamma \}$.

   • If $d_{i|I}=(x)$ then $R_{c}\setminus d_{i}$ implies $(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$ (recall that implying a certain clause $C$ means implying a clause which subsumes $C$). Since any resolution with $d_{i|I}=(x)$ as operand removes $\bar{x}$ from the other operand then no clause of $R_{c}\setminus d_{i}$ contains $\bar x$ (since $R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$ which is the 3-limited closure of $F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$). Then $R_{c}\setminus d_{i}$ implies $(\alpha \beta \gamma L_{I})$, inducing $P(k+1)$ as shown in Point (4).

   • If $d_{i|I}=(ax)$ then $R_{c}\setminus d_{i}$ implies $(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$. Replace $\bar{x}$ by $a$ in each possible clause of $R_{c}\setminus d_{i}$ (if the new clause is subsumed by some clause in $R_{|I}$, keep the subsuming clause instead. Anyway, the replacing clause is in $R_{|I}$). Name $R_{c,d_{i}}$ the resulting set ($R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$). Then $R_{c,d_{i}}$ implies $(\alpha \beta \gamma L_{I})$, inducing $P(k+1)$ as above.

   • যদি ডি i | আমি = ( x এর Y ) তারপর আর গ ∖ ঘ আমি বোঝা ( ˉ এক্স α বিটা γ এল আমি ) এবং ( ˉ Y α বিটা γ এল আমি ) । আর সি ∖ ডি আই এর প্রতিটি সম্ভাব্য ধারাটিতে x দ্বারা y দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন (উপরে হিসাবে, যদি নতুন ধারাটি আর। I এর কিছু ধারা দ্বারা গৃহীত হয়$d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$পরিবর্তে সাবজমিং ক্লজটি রাখুন)। নাম আর সি , ডি আমি ফলাফল সেট ( আর সি , ডি i ⊆ আর | আমি )। তারপরে আর সি , ডি আমি বোঝাচ্ছি ( y α β γ L I ) । যেহেতু এটিও বোঝায় ( ˉ y α β γ L I ) তখন এটি সংশোধনকারীকে বোঝায় ( α β γ L I ) , পি প্ররোচিত করে$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$.

By this recurrence, any clause $\in$ the 3-closure of $F_{\phi |I}$ is subsumed by some clause $\in G_{\phi|I}$ (the other way holds as well). Then $G_{\phi|I}$ corresponds to the 3-closure of $F_{\phi |I}$.

Answer 2

I don't see how $F_\phi$ can be computed it in polynomial time becuase doing resolution itself takes exponential time (in the worst case). For example, let's say your candidate 3-CNF formula $F_1$ is as below:

$$F_1 := \{ \{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}\}$$ Then, the result of resolution on $F_1$ is the formula $F_2$ below: $$F_2 := \{ \{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}, \{a,b,d,e\}, \{a,\neg b, d, e\}, \{a,d,e\}\}$$ Thus, the formula $F_\phi$ is as below: $$F_\phi :=\{\{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}, \{a,d,e\}\}$$

However, as you can see, in order to get the final clause in $F_\phi$ you should first get all four-literal clauses. So, I do not see any way to get rid of exponentially many steps for resolution. Indeed, for some problems such as the pigeonhole principle, we know that resolution cannot solve it in less than exponentially many steps (but, to be fair, as far as I know, these examples are not in 3-CNF form and some intelligent resolution might exist when the input is guaranteed to be in 3-CNF form).

Comments

Thank you for your answer - $F_1$ cannot be a candidate formula as defined : since the candidate formula is the conjunction of all 3-clauses satisfied by all models in $\phi$, it must contain all 3-clauses it implies.

— Xavier Labouze