গ্যাপ -৩ এসএটি এনপি-সম্পূর্ণ এমনকি 3 সিএনএফ সূত্রের জন্য যেখানে ভেরিয়েবলগুলির জুড়ি গড়ের চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি দফাতে উপস্থিত হয় না?

Question

এই প্রশ্নের, একটি 3CNF সূত্র একটি CNF সূত্র যেখানে প্রতিটি দফা জড়িত মানে ঠিক তিন স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল। ধ্রুব 0 0 s <1 এর জন্য, গ্যাপ -3 এস্যাট _এস নিম্নলিখিত প্রতিশ্রুতি সমস্যা:

গ্যাপ -3 এসএটি _এর
দৃষ্টান্ত : একটি 3 সিএনএফ সূত্র φ
হ্যাঁ-প্রতিশ্রুতি : satis সন্তোষজনক।
কোন-প্রতিশ্রুতি : কোন সত্য বরাদ্দকরণ চেয়ে বেশি সন্তুষ্ট গুলি φ ক্লজ ভগ্নাংশ।

উদযাপিত পিসিপি উপপাদ্য [AS98, ALMSS98] বর্ণনা করার সমতুল্য উপায়গুলির মধ্যে একটি হ'ল গ্যাপ -3 এস্যাট _এস এনপি-সম্পূর্ণ এমন একটি ধ্রুবক 0 < s <1 উপস্থিত রয়েছে ।

আমরা বলি যে 3CNF সূত্রটি জোড় বি বিযুক্ত, যদি প্রতিটি জুটি পৃথক ভেরিয়েবলের সর্বাধিক বি ধারাতে উপস্থিত হয় । উদাহরণস্বরূপ, একটি 3CNF সূত্র ( x ₁ ∨ x ₂ ∨ x ₄ ) ∧ (￢x ₁ ∨￢x ₃ ∨ x ₄ ) ∧ ( x ₁ ∨ x ₃ ∨￢x ₅ ) জোড়াযুক্ত 2- সীমাযুক্ত তবে জোড়াযুক্ত 1 নয় -বাউন্ডেড কারণ যেমন জোড়া ( x ₁ , x ₄ ) একাধিক ধারাতে উপস্থিত হয়।

প্রশ্ন । সেখানে ধ্রুবক অস্তিত্ব কি বি ∈ℕ, একটি > 0, এবং 0 < গুলি <1 যেমন যে শূন্যস্থান-3SAT _গুলি দ্বারা NP-সম্পূর্ণ এমনকি একটি 3CNF সূত্র যা pairwise জন্য হয় বি -bounded এবং অন্তত নিয়ে গঠিত একটি ² ক্লজ, যেখানে n হল ভেরিয়েবলের সংখ্যা?

জোড়যুক্ত সীমারেখা পরিষ্কারভাবে বোঝায় যে কেবল ও ( এন ² ) ধারা রয়েছে। চতুর্ভুজগুলির সংখ্যার সাথে চতুর্ভুজ নিম্ন স্তরের সাথে একসাথে এটি মোটামুটি বলেছে যে স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের কোনও জুটি গড়ের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি ধারাতে উপস্থিত হয় না।

গ্যাপ -3 এসএটি-র জন্য, এটি স্পারস কেস শক্ত বলে জানা যায় : সেখানে একটি ধ্রুবক 0 < s <1 উপস্থিত থাকে যে 3 গিগাবাইট সূত্রের জন্য এমনকি গ্যাপ -3 এস্যাট _এস এনপি-সম্পূর্ণ হয় যেখানে প্রতিটি পরিবর্তনশীল হ'ল পাঁচবার হয় [ফাই98]। অন্যদিকে, ঘন ক্ষেত্রেটি সহজ : ম্যাক্স ^-3 এসএটি ³ সিএনএফ সূত্রের জন্য একটি পিটিএএসকে Ω ( এন ³ ) স্বতন্ত্র ধারাগুলির (এ কে কে 99) স্বীকৃতি দেয় এবং অতএব এই ক্ষেত্রে গ্যাপ -3 এস্যাট _এস প্রতিটি ধ্রুবক 0 এর জন্য পিতে থাকে < s <1। প্রশ্নটি এই দুটি মামলার মধ্যবর্তী সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে।

উপরের প্রশ্নটি মূলত কোয়ান্টাম কম্পিউটেশনাল জটিলতার একটি গবেষণায় উত্থিত হয়েছিল, আরও বিশেষত দ্বি-প্রবণ একত্রে ইন্টারঅ্যাকটিভ প্রুফ সিস্টেমের সাথে জড়িয়ে থাকা প্রভার ( এমআইপি ^* (২,১) সিস্টেম) সহ। তবে আমি মনে করি যে প্রশ্নটি তার নিজস্বভাবে আকর্ষণীয় হতে পারে।

রেফারেন্স

[AKK99] সঞ্জীব অরোরা, ডেভিড কার্গার এবং মারেক কার্পিনস্কি। এনপি-হার্ড সমস্যার ঘন উদাহরণের জন্য বহুপদী সময় আনুমানিক স্কিম। কম্পিউটার ও সিস্টেম সায়েন্সেস জার্নাল , 58 (1): 193–210, ফেব্রুয়ারী। 1999. http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1998.1605

[ALMSS98] সঞ্জীব অরোরা, কার্স্টেন লুন্ড, রাজীব মোতওয়ানি, মধু সুদান এবং মারিও সেজেদী প্রমাণ যাচাইকরণ এবং আনুমানিক সমস্যাগুলির কঠোরতা। এসিএমের জার্নাল , 45 (3): 501–555, মে 1998. http://doi.acm.org/10.1145/278298.278306

[AS98] সঞ্জীব অরোরা এবং শমুয়েল সাফরা। প্রমাণগুলির সম্ভাব্যতা পরীক্ষা করা: এনপির একটি নতুন বৈশিষ্ট্য। এসিএমের জার্নাল , 45 (1): 70–122, জানুয়ারী 1998। http://doi.acm.org/10.1145/273865.273901

[Fei98] ইউরিয়েল ফিগ সেট কভার আনুমানিক জন্য ln n এর একটি প্রান্তিক । এসিএমের জার্নাল , 45 (4): 634–652, জুলাই 1998. http://doi.acm.org/10.1145/285055.285059

Comments

@ শুয়োশি: আমি কি ঠিক ধরে রেখেছি যে এবং এম = Ω ( এন 3 ) এর মধ্যে অন্যান্য মধ্যবর্তী ক্ষেত্রে কিছুই জানা যায় না ? $m = O(n)$$m = \Omega(n^3)$

— আন্দ্রেস সালামন

@ অ্যান্ড্রেস: আমি অন্তর্বর্তী মামলাগুলি সম্পর্কে কোনও পূর্ববর্তী ফলাফল সম্পর্কে অবগত নই, তবে আমার কাছে যা মনে হয়েছে তা নিম্নলিখিত মামলার এনপি-সম্পূর্ণতার প্রমাণ। (1) জোড়ায় আবদ্ধ, ধারা, তবে কোনও ফাঁক ছাড়াই। (2) একটা ফাঁক সাথে, Ω ( ঢ ঘ ) ক্লজ কোনো ধ্রুবক ঘ <3 এর জন্য, কিন্তু না অগত্যা pairwise বেষ্টিত। (3) একটা ফাঁক দিয়ে, বেষ্টিত pairwise, Ω ( ঢ ঘ ) কোন ধ্রুবক ঘ <2 জন্য ক্লজ। (1) এর প্রমাণটি [Fei98] থেকে সাধারণ হ্রাস। (2) এর প্রমাণ আইলন এবং অ্যালন 2007 এর ফলাফলের কিছু অংশ ব্যবহার করে । প্রমাণ (3) প্রসারক ব্যবহার করে। $\Omega(n^2)$$\Omega(n^d)$$\Omega(n^d)$

— সোসোশি ইটো

@ শুয়োশি: আপনার কাগজটি পড়ার অপেক্ষায় রয়েছেন।

— আন্দ্রেস সালামন

কোনও উত্তর নেই তবে আমি পরীক্ষা করে দেখব যে এম ক্লজগুলির একটি এলোমেলো 3 সিএনএফ অসন্তুষ্টিজনক তা প্রমাণ করার যে পদ্ধতিগুলি এখানে এই সমস্যাটি দেখানোর ক্ষেত্রে এখানে সফল হতে পারে, কমপক্ষে আপনার যদি প্রয়োজন হয় sound/৮ কাছাকাছি হওয়া উচিত required এই কাজ সফল চেয়ে বেশি আছে একবার এন 1.5 ক্লজ ও আধা র্যান্ডম মডেলের বাড়ানো হয়েছে (Feige FOCS 07 দেখতে মসৃণ 3CNF খণ্ডন তে) খুলুন। যাইহোক, দেখে মনে হয় যে শ্যুওশি দেখিয়েছেন যে এখানে এন 1.9 এর ক্ষেত্রে এখনও এনপি-হার্ড রয়েছে, তাই সম্ভবত এটি দেখায় যে এই কাজগুলি প্রাসঙ্গিক নয়। $s$$n^{1.5}$$n^{1.9}$

— বোয়াজ বারাক

বোয়াজ, আপনি সর্বদা কপি দ্বারা প্রতিটি ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন করে 3SAT এর উদাহরণটি "ঘনকরণ" করতে পারেন এবং তারপরে প্রতিটি ধারাটিকে এম 3 ধারা দ্বারা প্রতিস্থাপন করে , প্রতিটি সম্ভাব্য উপায়ে অনুলিপি দ্বারা মূল ধারাটিতে প্রতিস্থাপন করতে পারেন । এটি আপনাকে একটি উদাহরণ দেয় যেখানে আগের মতো একই ধারাগুলির ভগ্নাংশটি সন্তুষ্টযোগ্য তবে আপনি এন ভেরিয়েবল এবং এম ক্লজ থেকে এনএম ভেরিয়েবল এবং এম এম 3 ধারাগুলিতে যান, সুতরাং সংঘটন সংখ্যার উপর আর কোনও বাধা ছাড়াই আপনি রাখতে পারেন অনাময 7 / 8 + + ε সঙ্গে সূত্রে এমনকি এন ভেরিয়েবল এবং এন 2,999 ক্লজ। $M$$M^3$$mM^3$$7/8 + \epsilon$$N$$N^{2.999}$

— লুকা ট্রেভিসান

Answer 1

একটি সম্পূর্ণ উত্তর না, তবে আশা করি বন্ধ। এটি উপরের লুসার মন্তব্যের খুব কাছাকাছি। আমি বিশ্বাস করি উত্তর অন্তত সেখানে কি যে বিদ্যমান ধ্রুবক হয় বি ∈ℕ, একটি > 0, এবং 0 < গুলি <1 যেমন যে শূন্যস্থান-3SAT _গুলি দ্বারা NP-সম্পূর্ণ এমনকি একটি 3CNF সূত্র যা pairwise জন্য হয় বি -bounded এবং নিয়ে গঠিত অন্তত ক্লজ, কোনো ধ্রুবক জন্য ε ।$an^{2-\epsilon}$$\epsilon$

অনুসরণ হিসাবে প্রমাণ। একটা ফাঁক-3SAT বিবেচনা গুলি উদাহরণস্বরূপ φ উপর এন সবচেয়ে 5 বার প্রতিটি পরিবর্তনশীল প্রদর্শিত হয় যা ভেরিয়েবল। এটি এনপি-সম্পূর্ণ, আপনি যেমন প্রশ্নে বলেছেন।$_s$$\phi$$N$

এখন আমরা একটি নতুন দৃষ্টান্ত তৈরি নিম্নরূপ:$\Phi$

1. প্রত্যেক পরিবর্তনশীল জন্য মধ্যে φ , Φ হয়েছে এন ভেরিয়েবল Y আমি ঞ ।$x_i$$\phi$$\Phi$$n$$y_{ij}$
2. সূচকের জোড়া প্রত্যেকে সেট জন্য , একটি এবং খ সঙ্গে একটি ≠ খ , Φ ক্লজ একজোড়া হয়েছে Y আমি একটি ∨ ¬ Y আমি খ ∨ ¬ Y আমি খ ও Y আমি খ ∨ ¬ Y আমি একটি ∨ ¬ Y আমি একটি । আমি এগুলিকে তুলনা অনুচ্ছেদ হিসাবে উল্লেখ করব যেহেতু তারা নিশ্চিত করে যে y i a = y i b তারা সন্তুষ্ট হলে।$i$$a$$b$$a\neq b$$\Phi$$y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{ib}$$y_{ib}∨￢y_{ia}∨￢y_{ia}$$y_{ia} = y_{ib}$
3. প্রতিটি দফা জন্য ভেরিয়েবল উপর অভিনয় x আমি , এক্স ঞ এবং এক্স ট , যে জন্য একটি এবং খ , Φ একটি সমতুল্য দফা, যেখানে রয়েছে এক্স আমি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় Y আমি একটি , এক্স ঞ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় Y ঞ খ এবং এক্স ট y k ( a + b ) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় (এখানে সংযোজনটি Modulo n হয় )। আমি এগুলি উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত ধারা হিসাবে উল্লেখ করব।$\phi$$x_i$$x_j$$x_k$$a$$b$$\Phi$$x_i$$y_{ia}$$x_j$$y_{jb}$$x_k$$y_{k(a+b)}$$n$

ভেরিয়েবলের মোট সংখ্যা তখন । নোট Φ হয়েছে 2 এন এন 2 তুলনা ক্লজ এবং $m = nN$$\Phi$$2Nn^2$মোট11টির জন্য 3 এনএন2উত্তরাধিকার সূত্রে প্রাপ্ত ধারাগুলি$\frac{5}{3}Nn^2$ধারা। টেকিংএন=এনটআমরা আছেমি=এনট+ +1ও ক্লজ মোট সংখ্যাসি=$\frac{11}{3}Nn^2$$n = N^k$$m = N^{k+1}$ । আমরা নিতেট=ε-1-1, তাইসিαমি2-ε।$C = \frac{11}{3}N^{2k+1} = \frac{11}{3}m^{2-\frac{1}{k+1}}$$k = \epsilon^{-1} - 1$$C \propto m^{2-\epsilon}$

এরপরে, টি জোড়যুক্ত 8-চৌম্বকযুক্ত (তুলনামূলক ধারাগুলি থেকে 2 এবং উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত ধারাগুলি থেকে 6)।$\Phi$

অবশেষে, যদি অসন্তুষ্ট হয় তবে কমপক্ষে ( 1 - গুলি ) এন ক্লজগুলি অসন্তুষ্ট। এখন, যদি y i a ≠ y i b এর জন্য a , b তবে কমপক্ষে n - 1 টি ধারা অসন্তুষ্ট at নোট করুন যে স্থির a , b এর জন্য উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত ধারাগুলির সেটগুলিতে ( 1 - গুলি ) এন অসন্তুষ্ট ক্লজগুলি পূরণ করার জন্য তারপরে y : a , y $\phi$$(1-s)N$$y_{ia} \neq y_{ib}$$a,b$$n-1$$(1-s)N$$a,b$$y_{:a}$ এবং y : ( a + b ) কমপক্ষে 1 - s এর মধ্যে পৃথক হতে হবে$y_{:b}$$y_{:(a+b)}$অবস্থান, কমপক্ষে1-গুলিরেখে$\frac{1-s}{5}N$তুলনা অসন্তুষ্টিজনক ধারা। এটি অবশ্যইaএবংbএর প্রতিটি পছন্দের জন্য অবশ্যই রাখা উচিত, তাই কমপক্ষে≈1-$\frac{1-s}{5}N(n-1)$$a$$b$উত্তরাধিকার সূত্রে প্রাপ্ত উত্তরাধিকারী ধারাগুলি সন্তুষ্ট হওয়ার জন্য ১১ সি সিতুলনামূলক ধারাগুলি মোট অসন্তুষ্ট থাকতে হবে। তবে আপনি যদি অন্য চূড়ান্ত দিকে তাকান যেখানে সমস্ত তুলনামূলক ধারাগুলি সন্তুষ্ট হয়েছে, তবে(1-গুলি)এনএন2=(1-গুলি)এম 2 কে + $\approx \frac{1-s}{5}Nn^2 = \frac{3(1-s)}{11}C$ক্লজগুলি অসন্তুষ্টিজনক। সুতরাংs′=4+sএরসাথে একটি ফাঁক রয়ে গেছে (যদিও হ্রাস পেয়েছে)$(1-s)Nn^2 = (1-s)m^{\frac{2k+1}{k+1}} = (1-s)C$ ।$s' = \frac{4+s}{5}$

ধ্রুবকদের সম্ভবত ডাবল চেক করা দরকার।

Comments

ধন্যবাদ, জো। দুঃখিত, যদি এটি পরিষ্কার না হত তবে এই প্রশ্নে আমার প্রতিটি দফায় তিনটি ভেরিয়েবলের সমস্ত স্বতন্ত্র হওয়া আবশ্যক, এবং সুতরাং লিখিত রয়েছে বলে তুলনামূলক ধারাগুলি ব্যবহার করা যাবে না। আমার কাছে একই সত্যের (জোড়ায় আবদ্ধ, n (এন ^ (২ − ε)) ধারাগুলির সাথে একটি ফাঁক সহ প্রমাণ রয়েছে যা বিস্তৃত গ্রাফগুলি ব্যবহার করে, তবে এটি যদি প্রসারক ব্যবহার না করে প্রমাণিত করা যায় তবে আমি খুব আগ্রহী।

— Tsuyoshi Ito

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$$y_{ia}∨￢y_{ib}∨y_{i(a+b)}$$￢y_{ia}∨y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$ and $￢y_{ia}∨y_{ib}∨y_{i(a+b)}$. Clearly these reduce to the same 2 variable clauses as before. Obviously this tweeks the constants, but doesn't make any other difference.

— Joe Fitzsimons

Perhaps there is a way to get around the $\epsilon$ factor by taking $k = k(n)$, though the most naive implementation of this gives instances that grow very slightly faster than polynomially.

— Joe Fitzsimons

I will check the details more carefully later, but the idea of using a, b, and (a+b) seems to work. This should free me from dealing with expanders explicitly. Thanks!

— Tsuyoshi Ito

No problem. Glad I could be of help.

— Joe Fitzsimons