স্ট্র্যাসেন অ্যালগরিদমে ম্যাট্রিকের পছন্দের পিছনে আরও বড় ছবি

স্ট্র্যাসেন অ্যালগরিদমে, দুটি ম্যাট্রিকেস এবং গুণমান গণনা করতে , ম্যাট্রিকস এবং ব্লক ম্যাট্রিক্সে বিভক্ত এবং অ্যালগরিদমটি একটি নির্দোষ ব্লক ম্যাট্রিক্সের বিপরীতে পুনরাবৃত্তভাবে ব্লক ম্যাট্রিক্স-ম্যাট্রিক্স পণ্যগুলি গণনা করছে ce ম্যাট্রিক্স পণ্য, যেমন, আমরা যদি , যেখানে $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $2 \times 2$ $7$ $8$ $\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B}$ তারপর আমাদের

একজন = [\begin{matrix} {একজন}_{1, 1} & {একজন}_{1, 2} \\ {একজন}_{2, 1} & {একজন}_{2, 2} \end{matrix}], বি = [\begin{matrix} {বি}_{1, 1} & {বি}_{1, 2} \\ {বি}_{2, 1} & {বি}_{2, 2} \end{matrix}], সি = [\begin{matrix} {সি}_{1, 1} & {সি}_{1, 2} \\ {সি}_{2, 1} & {সি}_{2, 2} \end{matrix}]

$\mathbf{A} =\begin{bmatrix} \mathbf{A}_{1,1} & \mathbf{A}_{1,2} \\ \mathbf{A}_{2,1} & \mathbf{A}_{2,2} \end{bmatrix} \mbox { , } \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{B}_{1,1} & \mathbf{B}_{1,2} \\ \mathbf{B}_{2,1} & \mathbf{B}_{2,2} \end{bmatrix} \mbox { , } \mathbf{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{1,1} & \mathbf{C}_{1,2} \\ \mathbf{C}_{2,1} & \mathbf{C}_{2,2} \end{bmatrix}$

এর জন্য

গুণ করাদরকার। স্ট্র্যাসেনের পরিবর্তে, আমরা

গণনা করি

{সি}_{1, 1} = {একজন}_{1, 1} {বি}_{1, 1} + + {একজন}_{1, 2} {বি}_{2, 1} {সি}_{1, 2} = {একজন}_{1, 1} {বি}_{1, 2} + + {একজন}_{1, 2} {বি}_{2, 2} {সি}_{2, 1} = {একজন}_{2, 1} {বি}_{1, 1} + + {একজন}_{2, 2} {বি}_{2, 1} {সি}_{2, 2} = {একজন}_{2, 1} {বি}_{1, 2} + + {একজন}_{2, 2} {বি}_{2, 2}

$\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,1}\\ \mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,2}\\ \mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,1}\\ \mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,2}$

8

$8$

{এম}_{1} : = ({একজন}_{1, 1} + + {একজন}_{2, 2}) ({বি}_{1, 1} + + {বি}_{2, 2}) {এম}_{2} : = ({একজন}_{2, 1} + + {একজন}_{2, 2}) {বি}_{1, 1} {এম}_{3} : = {একজন}_{1, 1} ({বি}_{1, 2} - {বি}_{2, 2}) {এম}_{4} : = {একজন}_{2, 2} ({বি}_{2, 1} - {বি}_{1, 1}) {এম}_{5} : = ({একজন}_{1, 1} + + {একজন}_{1, 2}) {বি}_{2, 2} {এম}_{6} : = ({একজন}_{2, 1} - {একজন}_{1, 1}) ({বি}_{1, 1} + + {বি}_{1, 2}) {এম}_{7} : = ({একজন}_{1, 2} - {একজন}_{2, 2}) ({বি}_{2, 1} + + {বি}_{2, 2})

$\mathbf{M}_{1} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{2,2})\\ \mathbf{M}_{2} := (\mathbf{A}_{2,1} + \mathbf{A}_{2,2}) \mathbf{B}_{1,1}\\ \mathbf{M}_{3} := \mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} - \mathbf{B}_{2,2})\\ \mathbf{M}_{4} := \mathbf{A}_{2,2} (\mathbf{B}_{2,1} - \mathbf{B}_{1,1})\\ \mathbf{M}_{5} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2}) \mathbf{B}_{2,2}\\ \mathbf{M}_{6} := (\mathbf{A}_{2,1} - \mathbf{A}_{1,1}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{1,2})\\ \mathbf{M}_{7} := (\mathbf{A}_{1,2} - \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{2,1} + \mathbf{B}_{2,2})$ এবং প্রাপ্ত

C_{i, j}

$\mathbf{C}_{i,j}$ ব্যবহার করছি

M_{k}

$\mathbf{M}_{k}$ এর মতো

{সি}_{1, 1} = {এম}_{1} + + {এম}_{4} - {এম}_{5} + + {এম}_{7} {সি}_{1, 2} = {এম}_{3} + + {এম}_{5} {সি}_{2, 1} = {এম}_{2} + + {এম}_{4} {সি}_{2, 2} = {এম}_{1} - {এম}_{2} + + {এম}_{3} + + {এম}_{6}

$\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{M}_{1} + \mathbf{M}_{4} - \mathbf{M}_{5} + \mathbf{M}_{7}\\ \mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{5}\\ \mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{4}\\ \mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{M}_{1} - \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{6}$ তবে ম্যাট্রিক্সের পছন্দ

M_{k}

$\mathbf{M}_k$ আমার কাছে নির্বিচার মনে হচ্ছে। আমরা কেন সাব-ম্যাট্রিকের এই নির্দিষ্ট পণ্যগুলি বেছে নিই সে সম্পর্কে আরও বড় চিত্র আছে কি?

A

$\mathbf{A}$ এবং

B

$\mathbf{B}$ ? এছাড়াও, আমি আশা করব

M_{k}

$\mathbf{M}_k$ জড়িত

A_{i, j}

$\mathbf{A}_{i,j}$ এর এবং

B_{i, j}

$\mathbf{B}_{i,j}$ একটি প্রতিসম ফ্যাশনে যা এখানে ক্ষেত্রে বলে মনে হয় না। উদাহরণস্বরূপ, আমরা আছে

M_{2} := (A_{2, 1} + A_{2, 2}) B_{1, 1}

$\mathbf{M}_2: = (\mathbf{A}_{2,1}+\mathbf{A}_{2,2})\mathbf{B}_{1,1}$ । আমি এর প্রতিদ্বন্দ্বী আশা করি

A_{1, 1} (B_{1, 2} + B_{2, 2})

$\mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{B}_{2,2})$ এছাড়াও গণনা করা। তবে এটি যেহেতু এটি অন্যের কাছ থেকে পাওয়া যায় তা নয়

M_{k}

$\mathbf{M}_k$ 'S।

কেউ যদি এই বিষয়ে কিছু আলোকপাত করতে পারে তবে আমি প্রশংসা করব।

— সম্প্রদায়
সূত্র

উত্তর:

ডি গ্রোট (বিলিিনার ম্যাপিংসের গণনার জন্য অনুকূল অ্যালগরিদমের বিভিন্ন ধরণের উপর। II। 2x2-ম্যাট্রিক্স গুণণের জন্য অনুকূল অ্যালগরিদম। থিওর। গণনা। বিজ্ঞান। 7: 127-148, 1978) প্রমাণ করে যে এখানে কেবলমাত্র একমাত্র আলগোরিদম আছে $2 \times 2$ সমতা অবধি 7 টি গুণ সহ। এটির একটি অনন্য বৈশিষ্ট্য হতে পারে $2 \times 2$ -ম্যাট্রিক্স গুণ (দ্রষ্টব্য: আপনি সাহিত্যে স্ট্র্যাসেনের অ্যালগরিদমের বিভিন্ন রূপ দেখতে পাবেন They এগুলি সমস্তই সমতুল্যের সঠিক ধারণার সাথে সমান))

আপনি যদি এখন এটির জন্য নিম্ন সীমা প্রমাণ করতে শুরু করেন $2 \times 2$ -ম্যাট্রিক্স গুণ - এটি কীভাবে করবেন তা বার্গিজার, ক্লাউসেন এবং শোকরলাহী বইটি দেখুন - তারপরে স্ট্র্যাসেনের অ্যালগরিদম বা কিছু বৈকল্পিক বেশ স্বাভাবিকভাবেই প্রদর্শিত হয়। আপনি পণ্যগুলি দেখতে কেমন তা নির্ধারণ করে এমন অনেকগুলি পরিচয় খুঁজে পাবেন। তারপরে আপনি কিছু অনুমান করে শেষ করতে পারেন। (ডি গ্রোটের প্রমাণগুলি দেখায় যে অনুমান করাও প্রয়োজনীয় নয়))

শনহেগ একবার আমাকে বলেছিলেন যে স্ট্র্যাসেন একবার তাকে বলেছিলেন যে তিনি নিজের এলগরিদমকে এইভাবে খুঁজে পেয়েছেন, নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করার চেষ্টা করে।

— মার্কাস ব্লুজার
সূত্র

বার্গিজার, ক্লাউজেন এবং শোক্রোলাহী (পি। ১১-১২) রচিত বীজগণিত জটিল জটিল থিওরিতে কিছু ধরণের ব্যাখ্যা রয়েছে। ধারণাটি দুটি ঘাঁটি দিয়ে শুরু করা উচিত $A_0,A_1,A_2,A_3$ এবং $B_0,B_1,B_2,B_3$ স্থান $2\times 2$ রিয়েল ম্যাট্রিক্স যা নিম্নলিখিত সম্পত্তিটিকে সন্তুষ্ট করে: $A_iB_j \in \{0,A_0,A_1,A_2,A_3,B_0,B_1,B_2,B_3\}$ । তদ্ব্যতীত, $A_0 = B_0$ । দুটি ম্যাট্রিকের গুন করতে $A$ এবং $B$ , তাদের প্রত্যেককে সংশ্লিষ্ট ভিত্তিতে উপস্থাপন করুন এবং পণ্যটি মূল্যায়ন করুন। যেহেতু ফলাফলটিতে কেবল সাতটি ভিন্ন নন-শূন্য ম্যাট্রিক পাওয়া যায় ( $A_0=B_0,A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$ ), কেবল সাতটি পণ্য প্রয়োজন। দ্য $M$ ম্যাট্রিকস কেবল এই ঘাঁটি।

আমি জানি না স্ট্র্যাসেন এদিকে তাকানোর উপায় নিয়ে এসেছিলেন কিনা। দ্রুত ম্যাট্রিক্সের গুণিত অ্যালগরিদমের অন্তর্নিহিত অন্যান্য পরিচয় বিবেচনা করে, কিছু সূত্রের বাইরে কাজ করার পরে এটি গভীরভাবে চলছে কিনা তা পরিষ্কার নয়। আমরা এর আগেও হয়েছি - চারটি বর্গীয় উপপাদ্য প্রমাণ করতে ল্যাঞ্জ্রেঞ্জ চারটি বর্গ পরিচয় (যা আগে জানা ছিল) ব্যবহার করেছিল। প্রথমে এটি অবশ্যই একটি কৌতূহলী বীজগণিত পরিচয় ছিল, তবে এখন আমরা জানি যে এটি চতুর্ভুজ আদর্শের বহুগুণে সম্পত্তি বলে। জ্ঞানের বর্তমান অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে উপরোক্ত ব্যাখ্যাটি ফলদায়ক কিনা তা বলা শক্ত।

— ইউভাল ফিল্ম
সূত্র

এই ধরনের ঘাঁটিগুলিকে একটি এম-জোড় বলা হয়, বার্গিজার, ক্লাউসেন এবং শোকরোলাহী রচিত বইটিতে ন্যূনতম স্তরের বীজগণিত সম্পর্কিত অধ্যায়টি দেখুন। আমি মনে করি যে এ্যাল্ডার-স্ট্র্যাসেন উপপাদ্যটি না জেনে এম-জোড়গুলির অস্তিত্ব রয়েছে (উপরের বইটি আবার দেখুন) এই ধারণাটি পাওয়া বেশ শক্ত hard নির্দিষ্টভাবে,

2 \times 2

$2\times 2$ -মেট্রিক্স একমাত্র ম্যাট্রিক্স বীজগণিত যার জন্য একটি এম-জুড়ি বিদ্যমান pair

— মার্কাস ব্লুজার