মিনিট কাটা সর্বাধিক করার ক্ষমতা বাড়ানো

Question

সমস্ত প্রান্তের ইউনিট ক্ষমতা সহ একটি গ্রাফ বিবেচনা করুন। একাধিক সময়ে ন্যূনতম কাটা পাওয়া যায়।

মনে করুন যে আমি কারওর সক্ষমতা বাড়ানোর অনুমতি পেয়েছি $k$অনন্তে প্রান্তগুলি (প্রান্তের উভয় পাশের নোডগুলিকে মার্জ করার সমতুল্য)। একটি অনুকূল সেট নির্বাচন করার সর্বোত্তম উপায় কী$k$ প্রান্তগুলি (যার সক্ষমতা অনন্ততায় বৃদ্ধি পাবে) সর্বনিম্ন কাটা কাটা?

Comments

আমি নিশ্চিত না যে আমি আপনার প্রশ্নটি বুঝতে পেরেছি: "ন্যূনতম কাটা সর্বাধিককরণের জন্য এই জাতীয় প্রান্তগুলি বেছে নেওয়ার সর্বোত্তম উপায়টি কী?", আপনি 1 ন্যূনতম কাটাটি বোঝাচ্ছেন) একক ক্ষমতার একটি গ্রাফ বা 2) সাধারণ ক্ষমতা সহ একটি গ্রাফ ?

— জেরেমি

Answer 1

উপপাদ্য। পোস্টে সমস্যাটি এনপি-হার্ড।

"পোস্টে সমস্যা" দ্বারা, মানে, একটি গ্রাফ দেওয়া হয়েছে $G=(V,E)$ এবং পূর্ণসংখ্যা $k$, বেছে নিতে $k$ পরিবর্তিত গ্রাফের ন্যূনতম কাটা সর্বাধিকতর করতে যাতে সক্ষমতা বাড়াতে প্রান্তগুলি।

ম্যাক্স কাট থেকে ধারণাটি হ্রাস করতে হবে। মোটামুটি, একটি প্রদত্ত গ্রাফ$G=(V,E)$ সর্বোচ্চ কাটা আকার আছে $s$ যদি এবং কেবলমাত্র আপনি সক্ষমতা বাড়িয়ে তুলতে পারেন $n-2$ প্রান্তগুলি যাতে ফলাফলের গ্রাফের ন্যূনতম কাটা আকার থাকে $s$। ধারণাটি হ'ল$n-2$ প্রান্তগুলি কেবলমাত্র একটি সীমাবদ্ধ-ক্ষমতা কাটাতে ফলিত গ্রাফকে বাধ্য করার জন্য যথেষ্ট এবং এটি আপনার চয়ন করা কোনও কাট হতে পারে।

এই ধারণাটি বেশ কার্যকর হয় না কারণ একটি প্রদত্ত কাটা পেতে $(C, V\setminus C)$, আপনার দ্বারা অনুপ্রাণিত অনুচ্ছেদগুলি প্রয়োজন $C$ এবং $V\setminus C$প্রতিটি সংযুক্ত হতে। তবে আপনি উপযুক্ত গ্যাজেটটি নিয়ে এটিকে ঘিরে কাজ করতে পারেন।

প্রুফ। একটি সংযুক্ত গ্রাফ দেওয়া হয়েছে$G=(V,E)$, সংযুক্ত কাটা কাটা হতে সংজ্ঞা দিন$(C,V\setminus C)$ যেমন অনুচ্ছেদে দ্বারা প্ররোচিত $C$ এবং দ্বারা $V\setminus C$প্রতিটি সংযুক্ত আছে। সংযুক্ত কাট (প্রদত্ত সংযুক্ত গ্রাফে) কাটাটি পেরিয়ে যাওয়ার প্রান্তটি সর্বাধিক করে তোলার সমস্যা হতে সর্বাধিক সংযুক্ত কাটকে সংজ্ঞা দিন ।

আমরা দেখাই যে ম্যাক্স কানেক্টেড কাট পোস্টের সমস্যা হ্রাস করে। তারপরে আমরা দেখাই যে অপরিশোধিত ম্যাক্স কাট ম্যাক্স কানেক্টেড কাটকে হ্রাস করে।

লেমমা ১. ম্যাক্স কানেক্টেড কাট পোলিতে সংজ্ঞায়িত সমস্যায় বহু সময় কমে যায়।

প্রুফ। একটি সর্বোচ্চ সংযুক্ত-কাট দৃষ্টান্ত দেওয়া হয়েছে$G=(V,E)$, দিন $k=|V|-2$। লেমা প্রমাণ করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিতটি প্রমাণ করি:

দাবি 1: যে কোনও জন্য$s>0$, একটি সংযুক্ত কাটা আছে $(C,V\setminus C)$ ভিতরে $G$ কমপক্ষে ক্ষমতা $s$, আইএফএফ এটি উত্থাপন করা সম্ভব $k$ প্রান্ত ক্ষমতা $G$ অনন্তে যাতে ফলস্বরূপ গ্রাফের ন্যূনতম কাটা ক্ষমতা থাকে $s$।

কেবলমাত্র যদি মনে করুন: সংযুক্ত কাটা আছে $(C,V\setminus C)$ কমপক্ষে ক্ষমতা $s$। দিন$T_1$ এবং $T_2$ যথাক্রমে সাবট্রি বিস্তৃত হতে হবে $C$ এবং $V\setminus C$, তারপরে প্রান্তগুলির সক্ষমতা বাড়ান $T_1$ এবং $T_2$। (মনে রাখবেন যে$|T_1|+|T_2|=|C|-1 + |V\setminus C|-1 = |V|-2 = k$।) গ্রাফের মধ্যে কেবলমাত্র সসীম-ক্ষমতার কাটা $(C, V\setminus C)$কমপক্ষে ক্ষমতা $s$সুতরাং ফলস্বরূপ গ্রাফের কমপক্ষে নূন্যতম কাটা ক্ষমতা রয়েছে $s$।

আইএফ: ধরুন এটি বাড়ানো সম্ভব $k$ প্রান্ত ক্ষমতা $G$ ফলস্বরূপ গ্রাফের কমপক্ষে নূন্যতম কাটা ক্ষমতা রয়েছে $s$। দ্বারা গঠিত সাবগ্রাফার বিবেচনা করুন$k$উত্থিত প্রান্ত সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, ধরে নিন এই অনুচ্ছেদটি অ্যাসাইক্লিক। (অন্যথায়, উত্সাহিত প্রান্তের চক্র থেকে একটি প্রান্তটি "আনারাইজ" করুন এবং পরিবর্তে কিছু অনুচ্ছেদযুক্ত প্রান্ত বৃদ্ধি করুন যা উপগ্রাফ থেকে দুটি সংযুক্ত উপাদানকে মিশ্রিত করে This এটি কেবল ফলাফল গ্রাফের নূন্যতম কাটা বৃদ্ধি করে))$k=n-2$বলুন, উত্থিত প্রান্তের উপগ্রহের দুটি সংযুক্ত উপাদান রয়েছে, বলুন $C$ এবং $V\setminus C$সুতরাং ফলাফলের গ্রাফের একমাত্র সসীম-ক্ষমতার কাটা $(C,V\setminus C)$। এবং এই কাটার ক্ষমতা কমপক্ষে রয়েছে$s$, যেমন এটি মূল গ্রাফে করেছিল।

এটি দাবীটি প্রমাণ করে (এবং লেমা)। (Qed)

সম্পূর্ণতার জন্য, আমরা দেখাই যে ম্যাক্স কানেক্টেড কাট এনপি-সম্পূর্ণ, অপ্রকাশিত ম্যাক্স কাট থেকে হ্রাস দ্বারা।

লেমমা ২. অপরিণামিত ম্যাক্স কাট পলির সময়ে ম্যাক্স কানেক্টেড কাটে হ্রাস পায় ।

প্রুফ। যে কোনও পূর্ণসংখ্যার জন্য$N\ge 1$, গ্রাফ সংজ্ঞায়িত করুন $P(N)$ দুটি পথ নিয়ে গঠিত $A$ এবং $B$দৈর্ঘ্যের প্রতিটি $N$, প্রতিটি প্রান্ত থেকে প্রান্ত সহ $A$ প্রতিটি প্রান্তে $B$। আমরা এটি পাঠককে একটি অনুশীলন হিসাবে রেখেছি যা যাচাই করা হয়েছে কিনা তা যাচাই করতে$P(N)$ ($A$ এক দিকে, $B$ অন্যদিকে) আকার আছে $N^2$, এবং অন্য কোনও কাটের আকার এর চেয়ে বড় নয়, $N^2-N/100$।

এখানে হ্রাস। কোনও অপ্রকাশিত ম্যাক্স কাটের উদাহরণ দেওয়া হয়েছে$G=(V,E)$, একটি গ্রাফ নির্মাণ করুন $G'=(V',E')$নিম্নরূপ. দিন$n=|V|$। দিন$N = 100(n^2 + 2n)$। যোগ করা$G$ গ্রাফ $P(N)$ উপরে সংজ্ঞায়িত (এর দুটি পাথ সহ) $A$ এবং $B$)। প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে$v\in V$ একটি প্রান্তে একটি প্রান্ত যুক্ত করুন $A$ এবং অন্য প্রান্তটি এক প্রান্তে $B$। এটি হ্রাস সংজ্ঞা দেয়। শেষ করতে, আমরা প্রমাণ করি যে এটি সঠিক:

দাবি 2: যে কোনও জন্য$s\ge 0$, একটি কাটা আছে $(C,V\setminus C)$ ভিতরে $G$ কমপক্ষে ক্ষমতা $s$, আইএফএফ একটি সংযুক্ত কাটা আছে $G'$ কমপক্ষে আকারের $s+N^2+n$।

শুধুমাত্র যদি: কোনও কাটা দেওয়া $(C,V\setminus C)$ ভিতরে $G$ কমপক্ষে ক্ষমতা $s$সংযুক্ত কাটা বিবেচনা করুন $(A\cup C, B\cup V\setminus C)$ ভিতরে $G'$। এই সংযুক্ত কাটা$G'$ কমপক্ষে কাটা $s$ প্রান্ত থেকে $C$ প্রতি $V\setminus C$, আরও $N^2$ প্রান্ত থেকে $A$ প্রতি $B$, আরও $n$ এর $2n$ প্রান্ত থেকে $V$ প্রতি $A\cup B$।

আইএফ: ধরুন সেখানে সংযুক্ত কাটা আছে $G'$ কমপক্ষে আকারের $s+N^2+n$। $A$ এবং $B$কাটা বিপরীত দিকে হয়। (অন্যথায়, দ্বিতীয় বৃহত্তম কাটা থেকে$P(N)$ সর্বাধিক কাট $N^2-N/100$ প্রান্ত ভিতরে $P(N)$, মোট কাটা প্রান্তের সংখ্যা সর্বাধিক $N^2-N/100 + |E| + 2|V| \le N^2 - N/100 + n^2 + 2n = N^2$.) দিন $C$ শিখুনকে বোঝান $V$ পাশ কাটা সঙ্গে $A$। তারপর আছে$N^2$ থেকে কাটা প্রান্ত $A$ প্রতি $B$, এবং $n$ থেকে $V$ প্রতি $A\cup B$, তাই অন্তত থাকতে হবে $s$ থেকে $C$ প্রতি $V\setminus C$।

এটি দাবিটি প্রমাণিত করে এবং লেমা ২. (কিউইডি)

লেমাস 1 এবং 2 এর দ্বারা, যেহেতু অপরিচ্ছন্ন ম্যাক্স কাট এনপি-হার্ড, পোস্টটিতে সমস্যাটিও এনপি-হার্ড।

Comments

এটিও দেখায় যে "বাড়ানো কে প্রান্তটি সর্বাধিকতর করতে হবে স্ট কাট" প্রদত্ত সমস্যাটি $s$ এবং $t$ এনপি-সম্পূর্ণ (চয়ন করুন) $s$ এবং $t$ প্রবেশদ্বার হতে $A$ এবং $B$যথাক্রমে)।

— ড্যানিয়েলো