সীমাবদ্ধ মনোোটোন 3 সিএনএফ সূত্র: সন্তোষজনক কার্য গণনা (উভয় মডুলু

Question

নিম্নলিখিত দুটি অতিরিক্ত বিধিনিষেধযুক্ত একটি মনোোটোন 3 সিএনএফ সূত্র বিবেচনা করুন:

• প্রতিটি পরিবর্তনশীল হুবহু প্রদর্শিত হয় $2$ ক্লজ।
• কোন দেওয়া $2$ ধারা, তারা সর্বাধিক ভাগ $1$ পরিবর্তনশীল।

আমি জানতে চাই যে এই জাতীয় সূত্রের সন্তোষজনক দায়িত্বগুলি গণনা করা কতটা কঠিন।

---

আপডেট 06/04/2013 12:55

সন্তোষজনক কার্যভারের সংখ্যার সমতা কতটা নির্ধারণ করা হয় তাও আমি জানতে চাই।

---

আপডেট 11/04/2013 22:40

যদি উপরে বর্ণিত বিধিনিষেধের পাশাপাশি আমরা নিম্নলিখিত দুটি সীমাবদ্ধতাও প্রবর্তন করি তবে কী হবে:

• সূত্রটি প্ল্যানার।
• সূত্রটি দ্বিপক্ষীয়।

---

আপডেট 16/04/2013 23:00

প্রতিটি সন্তোষজনক নিয়োগ একটি এর প্রান্ত কভার সাথে সামঞ্জস্য করে $3$নিয়মিত গ্রাফ বিস্তৃত অনুসন্ধানের পরে, কেবল প্রাসঙ্গিক কাগজটি আমি গণনা প্রান্তের কভারগুলি সন্ধান করতে সক্ষম হয়েছি (যুবালের উত্তরে ইতিমধ্যে উল্লিখিত) একটি (তৃতীয়)। এই জাতীয় কাগজের শুরুতে, লেখকরা বলেছিলেন "আমরা একটি গ্রাফের সমস্ত প্রান্তের কভারের নমুনা (এবং গণনার সাথে সম্পর্কিত প্রশ্ন) অধ্যয়ন শুরু করি " । আমি খুব অবাক হয়েছি যে এই সমস্যাটি খুব কম মনোযোগ পেয়েছে (বেশ কয়েকটি গ্রাফ ক্লাসের জন্য, ভার্টেক্স কভার গণনা তুলনায় যা ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং আরও ভালভাবে বোঝা গেছে)। গণনা প্রান্তের কভারগুলি কিনা তা আমরা জানি না$\#P$-hard। প্রান্ত কভারের সংখ্যার সমতা নির্ধারণ করা হয় কিনা তা আমরা জানি না$\oplus P$--ও হয়।

---

আপডেট 09/06/2013 07:38

প্রান্ত কভারগুলির সংখ্যার সমতা নির্ধারণ করা হয় $\oplus P$-হাতে, নীচে উত্তর চেক করুন।

Comments

আমি মনে করি এটি ভেরিয়েবলের পরিবর্তে আক্ষরিক মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখলে এটি আরও আকর্ষণীয়।

— তাইফুন পে

@ টেফুন যেহেতু সূত্রটি একঘেয়েমি, সেগুলি সমতুল্য।

— টাইসন উইলিয়ামস

@ টাইসন উইলিয়ামস ধন্যবাদ যখন আমি ঘুমিয়ে পড়েছি তখন আমার কোনও মন্তব্য করা উচিত নয়।

— তাইফুন পে

@ জর্জিও বিদ্যমান হ্রাসগুলি ব্যবহার করে, সমস্যাটি প্রমাণ করা খুব কঠিন হতে পারে $\#P$-hard। আমি উদ্ধৃত করা দুটি অন্যান্য কাগজের প্রাসঙ্গিক অংশগুলি পড়ার চেষ্টা করা উচিত।

— যুবাল ফিল্মাস

@ডাউনভোটার: কেন?

— জর্জিও ক্যামেরানি

Answer 1

যে কোনও গ্রাফে, ভার্টেক্স কভারের সংখ্যার সমতা প্রান্ত কভারের সংখ্যার সমতুল্য।

কেন তা দেখতে, এই উত্তরটি দেখুন এবং কীভাবে সমতা তা পর্যবেক্ষণ করুন$|C|$ সমতা সমান $\Delta_{|V|} = O_{|V|} - E_{|V|}$, যা সমতা সমান হয় $O_{|V|} + E_{|V|}$, যা প্রান্ত কভার সংখ্যা।

ভার্টেক্স কভারের সংখ্যার সমতা গণনা করা হয় $\oplus$পি-হার্ড: অতএব প্রান্ত কভারগুলির সংখ্যার সমতাটি গণনা করা $\oplus$পি-হার্ডও।

কমপক্ষে দ্বিতীয়ার্ধের প্রশ্নের নিষ্পত্তি হয়েছে।

Answer 2

আপনার সমস্যা সম্ভবত # পি-সম্পূর্ণ, যদিও আমি এটি সাহিত্যে খুঁজে পাইনি।

আপনার সমস্যাটি বলার আর একটি উপায় হ'ল "# 3-নিয়মিত-প্রান্ত-কভার"। একটি সূত্র দেওয়া হয়েছে, এমন একটি গ্রাফ তৈরি করুন যাতে প্রতিটি ধারাটি একটি ভার্টেক্সের সাথে মিলে যায় এবং প্রতিটি ভেরিয়েবল একটি প্রান্তের সাথে মিলে যায়। সূত্রটি 3CNF হওয়ায় গ্রাফটি 3-নিয়মিত (বা সংজ্ঞা অনুসারে সর্বোচ্চ 3 ডিগ্রি রয়েছে)। তদতিরিক্ত, গ্রাফটি সহজ। একটি সন্তোষজনক দায়িত্ব একটি প্রান্ত কভার হিসাবে একই।

এখানে কয়েকটি সম্পর্কিত সমস্যা রয়েছে:

• # 1-এক্স 3 মানোস্যাট # পি-সম্পূর্ণ । এটি আপনার সমস্যার মতোই, কেবলমাত্র একটি সন্তোষজনক সমাধানের সাথে প্রতিটি অনুচ্ছেদে ঠিক একটি পরিবর্তনশীল সন্তুষ্ট করতে হয়।
• 3-নিয়মিত প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে ভার্টেক্সের কভারের সংখ্যা গণনা # পি-সম্পূর্ণ ।
• # 3 নিয়মিত-প্রান্তের কভারের জন্য একটি এফপিআরএস রয়েছে । এটি পরামর্শ দেয় যে লেখকরা বিশ্বাস করেন যে সমস্যাটি বেশ কঠিন।

Comments

আমি দেখতে পাচ্ছি না যে তার # সীমাবদ্ধ-মনোোটোন 3 সিএনএফ # 1-এক্স 3 মোনোস্যাট-এর মতো একই জিনিস। কিছুই নয়, পরবর্তী সমস্যাটি ঠিক একজন আক্ষরিক সন্তুষ্ট থাকতে চায় wants তিনি মনোোটোন 3 সিএনএফ সূত্রগুলি চান যে প্রতিটি ভেরিয়েবল হ'ল দুটি দফায় প্রদর্শিত হয় এবং প্রতিটি দফা ভাগ সর্বাধিক 1 ভেরিয়েবলের হয়। # 1-এক্স 3 মোনোস্যাটে এ জাতীয় কোনও বিধিনিষেধ নেই।

— তাইফুন

আমি "কেবল" শব্দটি ব্যবহার করে এই পার্থক্যটি জানাতে চেষ্টা করেছি, তবে আমি সম্মত যে এই শব্দগুলির সর্বোত্তম সম্ভাবনা নয়।

— যুবাল ফিল্মাস