অ্যাসিপটোটিক গ্রোথ-রেটের কোন সংজ্ঞা আমাদের শেখানো উচিত?

Question

আমরা যখন স্ট্যান্ডার্ড পাঠ্যপুস্তকগুলি বা traditionতিহ্য অনুসরণ করি, আমাদের বেশিরভাগ লোক অ্যালগরিদম শ্রেণির প্রথম কয়েকটি বক্তৃতায় বিগ-ওহ নোটেশনের নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি : সম্ভবত আমরা তার সমস্ত পরিমাণ সহ পুরো তালিকাটি দেই:

$$f = O(g) \mbox{ iff } (\exists c > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \leq c \cdot g(n)).$$

1. $f = o(g) \mbox{ iff } (\forall c > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \leq c \cdot g(n))$
2. $f = O(g) \mbox{ iff } (\exists c > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \leq c \cdot g(n))$
3. $f = \Theta(g) \mbox{ iff } (\exists c > 0)(\exists d > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(d \cdot g(n) \leq f(n) \leq c \cdot g(n))$
4. $f = \Omega(g) \mbox{ iff } (\exists d > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \geq d \cdot g(n))$
5. $f = \omega(g) \mbox{ iff } (\forall d > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \geq d \cdot g(n))$ ।

তবে, যেহেতু মতো সাধারণ জিনিস প্রমাণ করার ক্ষেত্রে এই সংজ্ঞাগুলি কাজ করা এত সহজ নয় , আমাদের বেশিরভাগই "সীমাবদ্ধতার কৌশল" প্রবর্তনের জন্য দ্রুত চলে যান:$5 n \log^4 n + \sqrt{n\log n} = o(n^{10/9})$

1. $f = o(g)$ যদি বিদ্যমান থাকে এবং 0 হয় ,$\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n)$$0$
2. $f = O(g)$ যদি $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n)$ বিদ্যমান থাকে এবং $+\infty$ ,
3. $f = \Theta(g)$ যদি $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n)$ বিদ্যমান থাকে এবং $0$ বা $+\infty$ ,
4. $f = \Omega(g)$ যদি $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n)$ উপস্থিত থাকে এবং 0 হয় না $0$,
5. $f = \omega(g)$ যদি $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n)$ বিদ্যমান থাকে এবং এটি $+\infty$ ।

আমার প্রশ্নটি হ'ল:

এটি একটি স্নাতক আলগোরিদিম যেমন সীমা অবস্থার নেওয়া বর্গ অধ্যাপনা জন্য একটি বড় ক্ষতি হতে চান সংজ্ঞা ণ , হে , \ theta , \ ওমেগা , এবং \ ওমেগা ? আমরা সকলেই যাই হোক না কেন এটি ব্যবহার করি এবং এটি আমার কাছে বেশ স্পষ্ট মনে হয় যে কোয়ান্টেফায়ার সংজ্ঞাগুলি এড়িয়ে যাওয়া প্রত্যেকের জীবনকে সহজ করে তোলে।$o$$O$$\Theta$$\Omega$$\omega$

আমি জানতে আগ্রহী যে আপনি যদি এমন কিছু দৃ natural়প্রসূত প্রাকৃতিক ক্ষেত্রে মুখোমুখি হয়ে থাকেন যেখানে মান সি, এনটি-সংজ্ঞা$c,n_0$ প্রকৃতপক্ষে আবশ্যক, এবং যদি তা না হয়, তবে মান $c,n_0$ যেভাবেই হোক সামনে রাখার জন্য আপনার দৃ conv়প্রত্যয়ী যুক্তি আছে কিনা ।

Comments

ট্যাগটি সত্যই "শিক্ষণীয়" হওয়া উচিত তবে আমি কোনও সম্পর্কিত ট্যাগ খুঁজে পাইনি এবং আমাকে নতুন ট্যাগ তৈরি করার অনুমতি নেই।

— স্লিমটন

এটি মূলত সীমাগুলির অ্যাপসিলন-ডেল্টা সংজ্ঞায় কোয়ান্টিফায়ারগুলিকে শোষণ করে। আমার একমাত্র উদ্বেগ হ'ল অনেক সিএস শিক্ষার্থী বিশ্লেষণ নেন নি এবং তাই তাদের সীমা সম্পর্কে বোঝা বেশিরভাগ যান্ত্রিক। তাদের দ্রুত গণনা করতে সক্ষম করার জন্য, যদিও এটি কোনও বুদ্ধিমান নয়।

— প্রতি ভোগেনসেন

মনে রাখবেন যে আপনার (ও) এর দুটি সংজ্ঞা সমতুল্য নয় (একই সতর্কতা) () এবং Ω ()) এর জন্য প্রযোজ্য। এমনকি যে ক্ষেত্রে n (n) = 2n এমনকি n এর জন্য f (n) = 1 কে বিবেচনা করুন। চ (এন) = ও (এন) হয়? আমি লিমের পরিবর্তে লিমসআপ ব্যবহার করতে পছন্দ করি যাতে আমি এ ক্ষেত্রে f (n) = Θ (n) বলতে পারি (যদিও আপনার সংজ্ঞাগুলির কোনওটিই এটির অনুমতি দেয় না)। তবে এটি আমার ব্যক্তিগত পছন্দ (এবং এমনকি একটি মানহীন অনুশীলন )ও হতে পারে এবং আমি কখনই কোনও শ্রেণি পড়াতাম না।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়োশি: আমি ভেবেছিলাম "সীমাবদ্ধতার কৌশল" এর বিন্দুটি হ'ল পক্ষে এটি পর্যাপ্ত তবে প্রয়োজনীয় শর্ত নয় । ( জন্য এটিও প্রয়োজনীয়)) দোলনা ফাংশন কাউন্টারিক্স নমুনার কোনও সীমা নেই। $O()$$o()$

— আন্দ্রেস সালামন

আপনার প্রতিটি সংজ্ঞা এবং সম্পত্তিতে বাই চিহ্নটি প্রতিস্থাপন করা উচিত নয় ? আমি ছাত্র হিসাবে খুব বিরক্তিকর ব্যবহারের সন্ধান পেয়েছি । $=$$\in$$=$

— জেরেমি

Answer 1

আমি কোয়ান্টিফায়ার দিয়ে মূল সংজ্ঞাটি পড়াতে পছন্দ করি।

আইএমও, মানবেরা সাধারণত কোয়ান্টিফায়ারগুলির দুটি অধিক পরিবর্তনের সাথে সূত্র এবং সংজ্ঞা বুঝতে সমস্যা হয়। নতুন কোয়ান্টিফায়ারগুলির সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া সংজ্ঞাটির অর্থ কী তা স্পষ্ট করে বলতে পারে। এখানে, শেষ দুটি কোয়ানটিফায়ার মানে কেবল "সকলের জন্য যথেষ্ট বড় এন", এই জাতীয় পরিমাণটি প্রবর্তন সাহায্য করতে পারে।

এই ধারণাগুলি ব্যাখ্যা করার জন্য আমি যে ছবিগুলি আঁকছি তা কোয়ান্টিফায়ার সংস্করণের সাথে আরও ভাল মেলে।

আমি মনে করি সীমা সরলীকরণ ইঞ্জিনিয়ারিং শিক্ষার্থীদের জন্য দরকারী যারা কেবলমাত্র বৃদ্ধির হার গণনা করতে আগ্রহী, তবে কম্পিউটার বিজ্ঞানের শিক্ষার্থীদের পক্ষে তেমন কার্যকর হবে না। আসলে, এই সরলীকরণটি ব্যবহার করা ভালের চেয়ে বেশি ক্ষতির কারণ হতে পারে।

এই ধারণাটি এই পরামর্শের সাথে অনুরূপ যে আমরা এরপসিলন-ডেল্টা সংজ্ঞার পরিবর্তে ডেরিভেটিভগুলি (বহুভুজন, ক্ষতিকারক, ..., শৃঙ্খলা নিয়ন্ত্রন, ...) গণনা করার নিয়মগুলি ব্যবহার করি, যা আইএমএইচও কোনও ভাল ধারণা নয়।

Comments

চূড়ান্ত আধিপত্য ধারণাটিও সহায়ক: iff \ esits m ∀ n > m f ( n ) < g ( n ) । এখন f ∈ O ( g ) if যদি c > 0 সেন্ট f ( x ) ≪ c g ( x ) থাকে । $f(x) \ll g(x)$$\esits m \forall n>m f(n) < g(n)$$f \in O(g)$$c>0$$f(x) \ll c g(x)$

— কাভেহ

Answer 2

সম্পাদনা করুন: সংশোধন 3 তে প্রধান পুনর্বিবেচনা।

যেহেতু আমি কখনই কোনও ক্লাস শিখি নি, তাই আমাদের কী শেখানো উচিত সে সম্পর্কে আমি দৃ conv় বিশ্বাসের সাথে কিছু দাবি করতে পারি না বলে আমি মনে করি না। তবুও, আমি এটি সম্পর্কে যা ভেবেছিলাম তা এখানে।

প্রাকৃতিক উদাহরণ রয়েছে যেখানে লিখিত "সীমাবদ্ধ কৌশল" প্রয়োগ করা যাবে না। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আপনি আকারের দ্বিগুণের সাথে একটি স্থির-দৈর্ঘ্যের অ্যারে ব্যবহার করে একটি "পরিবর্তনশীল দৈর্ঘ্যের ভেক্টর" (সি ++ তে যেমন ভেক্টর <T>) প্রয়োগ করেন (আপনি প্রতিবার অ্যারের আকার ছাড়িয়ে যাবেন, আপনি অ্যারেরটিকে এখনকার দ্বিগুণ হিসাবে পুনরায় গণনা করুন এবং সমস্ত উপাদানগুলি অনুলিপি করুন)। যখন আমরা ভেক্টরে n উপাদানগুলি সঞ্চয় করি তখন অ্যারের আকার S ( n ) হয় n এর চেয়ে বড় বা সমান 2 এর ক্ষুদ্রতম শক্তি । আমরা বলতে চাই যে এস ( এন ) = ও ( এন ), তবে সংজ্ঞা হিসাবে লেখা হিসাবে "সীমাবদ্ধ কৌশল" ব্যবহার করা আমাদের এটি করতে দেয় না কারণ এস ( এন)) / n এর পরিধি [1,2) থেকে ঘন ঘন দোলায়মান। এটি Ω () এবং) () এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

কিছুটা পৃথক বিষয় হিসাবে, যখন আমরা অ্যালগোরিদমের জটিলতা বর্ণনা করতে এই স্বরলিপিগুলি ব্যবহার করি, তখন আমি মনে করি যে আপনার Ω () এর সংজ্ঞাটি কখনও কখনও অসুবিধে হয় (যদিও আমি অনুমান করি যে এই সংজ্ঞাটি সাধারণ)। এটি f ( n ) = Ω ( g ( n )) সংজ্ঞায়িত করা আরও সুবিধাজনক যদি কেবল এবং কেবলমাত্র লিম্সআপ f ( n ) / g ( n )> ০ থাকে This কারণ কিছু সমস্যা অসীমভাবে এন এর অনেকগুলি মানের জন্য তুচ্ছ ( যেমন একটি শীর্ষ স্থানে একটি বিজোড় সংখ্যা এন সহ কোনও গ্রাফের উপর নিখুঁত মেশিং সমস্যা । এটি Θ () এবং) () এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

অতএব, আমি ব্যক্তিগতভাবে দেখতে পেয়েছি যে একটি অ্যালগোরিদমের জটিলতা বর্ণনা করতে নীচের সংজ্ঞাগুলি সবচেয়ে সুবিধাজনক: ফ , জি : ℕ → ℝ _{> 0} ,

• f ( n ) = o ( g ( n )) যদি এবং কেবলমাত্র যদি লিম্সআপ f ( n ) / g ( n ) = 0. (এটি লিমিট f ( n ) / g ( n এর সমতুল্য হয় ) ) = 0.)
• f ( n ) = O ( g ( n )) যদি এবং কেবলমাত্র লিম্সআপ এফ ( এন ) / জি ( এন) থাকে ) <∞ থাকে ∞
• f ( n ) = Θ ( g ( n )) এবং কেবল যদি 0 <লিমসআপ এফ ( এন ) / জি ( এন) হয় ) <∞ থাকে ∞
• f ( n ) = Ω ( g ( n )) এবং কেবলমাত্র যদি লিম্সআপ f ( n ) / g ( n )> 0. (এটি সেই চ ( n ) এর সমান হয় o ( g ( n ) নয় )) নয়))
• f ( n ) = ω ( g ( n )) যদি এবং কেবলমাত্র লিম্সআপ f ( n ) / g ( n ) = ∞ হয় ∞ (এটি যে ফ ( এন ) এর সমান, ও ( জি ( এন )) নয়)

বা সমতুল্য,

• f ( n ) = o ( g ( n )) কেবলমাত্র প্রতিটি সি > ০ এর জন্য, যথেষ্ট পরিমাণে বড় n , f ( n ) ≤ c ⋅ g ( n ) এর জন্য।
• f ( n ) = O ( g ( n )) যদি এবং কেবলমাত্র কিছু সি > 0 এর জন্য থাকে তবে যথেষ্ট পরিমাণে বড় n , f ( n ) ≤ c ⋅ g ( n )।
• f ( n ) = Θ ( g ( n )) এবং কেবল যদি f ( n ) = O ( g ( n )) এবং f ( n ) = Ω ( g ( n )) হয়।
• f ( n ) = Ω ( g ( n )) যদি এবং কেবল কিছু d > 0 এর জন্য হয় তবে অসীম অনেকের জন্য n , f ( n ) ≥ d ⋅ g ( n) ) এর জন্য।
• f ( n ) = ω ( g ( n )) এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি d > 0 এর জন্য হয় তবে অসীম অনেক n , f ( n ) ≥ d ⋅ g ( n ) এর জন্য।

তবে আমি জানি না এটি একটি সাধারণ অনুশীলন কিনা। এটি শেখানোর পক্ষে উপযুক্ত কিনা তাও আমি জানি না। সমস্যাটি হ'ল আমরা মাঝে মাঝে তার পরিবর্তে (যেমন আপনি প্রথম সংজ্ঞায় করেছিলেন)) () এর সংজ্ঞা দিতে চাই definition উদাহরণস্বরূপ, যখন আমরা বলি "এই র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদমের ত্রুটি হওয়ার সম্ভাবনা 2 ^{−Ω ( n )} ", তখন আমরা এর অর্থ এই করি না যে ত্রুটি হওয়ার সম্ভাবনা কেবলমাত্র অসীম বহু n এর জন্য তাত্পর্যপূর্ণভাবে ছোট !

Comments

আমি লিমসআপ সংজ্ঞাগুলিও ব্যবহার করি, তবে যেসব শিক্ষার্থীরা লিমসআপটি দেখেনি (তাদের প্রায় সবগুলি) তাদের যেভাবেই হোক আমাকে স্পষ্ট পরিমাণে প্রসারিত করতে হবে।

— জেফি

@ জেফি: আমি সম্মত হই যে বেশিরভাগ শিক্ষার্থী লিমসআপ দেখেনি, সুতরাং আমরা যদি লিমসপ সংজ্ঞা ব্যবহার করি তবে আমাদের ক্লাসের পরিবর্তে কোয়ান্টিফায়ার ব্যবহার করতে হবে।

— Tsuyoshi Ito

কোয়ান্টিফায়ার সংস্করণগুলির সমস্যা হ'ল এগুলি মনে রাখা এবং কল্পনা করা শক্ত। আমি পছন্দ করি কারণ এটি "সর্বোচ্চ সীমা বিন্দু" হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। একটি সম্ভাব্য ব্যাখ্যা: "এটি ভালো হয় ঠ আমি আছি , যে ব্যতীত ঠ আমি আছি । শুধুমাত্র যখন ক্রম এগোয় কাজ করে ক্রম মিলিত না হলে, উদাহরণস্বরূপ কারণ কিছু খুব দ্রুত মধ্যবর্তী অ্যালগরিদম oscillates এন অপরের জন্য এবং ধীর এন , তারপরে আমরা সর্বোচ্চ সীমা বিন্দু নিই take $limsup$$lim$$lim$$n$$n$

— হেইনিরিচ অ্যাপফেলমাস

প্রকৃতপক্ষে, অ্যালগরিদমের কোনও প্রাকৃতিক উদাহরণ রয়েছে যেখানে চলমান সময়টি দোলা দেয়?

— হেইনিরিচ অ্যাপফেলমাস

@ হেইনরিচ: এন শর্টিকাগুলিতে কোনও গ্রাফের নিখুঁত মিল খুঁজে পেতে আমি ইতিমধ্যে অ্যালগরিদমের চলমান সময়টির কথা উল্লেখ করেছি, তবে এটি কি প্রাকৃতিক উদাহরণ হিসাবে গণ্য হয়? আমি আরেকটি উদাহরণ যুক্ত করেছি যেখানে চলমান সময় দোলা দেয় না তবে চ (এন) / জি (এন) দোলনা দেয়। উদাহরণ স্পেস জটিলতা সম্পর্কে কথা বলে, তবে একই উদাহরণের সময়ের জটিলতায় একই সম্পত্তি রয়েছে।

— Tsuyoshi Ito

Answer 3

সীমাবদ্ধতা ব্যবহার করা কিছুটা বিভ্রান্তিকর কারণ (1) এর আরও জটিল ধারণা (2) এটি f = O (ছ) কে সুন্দরভাবে ক্যাপচার করে না (যেমন আমরা উপরের আলোচনায় দেখতে পাচ্ছি)। আমি সাধারণত প্রাকৃতিক (কঠোরভাবে ইতিবাচক) সংখ্যাগুলি থেকে প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলিতে (যা চলমান সময়গুলির জন্য যথেষ্ট) পক্ষে ফাংশন সম্পর্কে কথা বলি, লিটল-ও স্টাফ এড়িয়ে যায় এবং তারপরে সংজ্ঞাটি সংক্ষিপ্ত এবং 1 ম বছরের আন্ডারগ্র্যাডের জন্য উপযুক্ত:

Dfn: f = O (g) কিছু সি এর জন্য সকল n এর জন্য আমাদের কাছে সেই চ (এন) <= সি * জি (এন) রয়েছে

Comments

প্রথমে আমি এই সংজ্ঞাটি পছন্দ করি নি কারণ "সমস্ত এন" উল্লেখ করা গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টিকে অস্পষ্ট করে যে হে () স্বরলিপিটি কেবল বড় এন এর জন্য কার্যকারিতা সম্পর্কে যত্নশীল। তবে, আমরা কোন সংজ্ঞাটি বেছে নিই না কেন, আমি অনুমান করি যে আমাদের এই সত্যটি সংজ্ঞা সহ এক সাথে ব্যাখ্যা করা উচিত। সেভাবে চিন্তা করে, এই সাধারণ সংজ্ঞাটি উল্লেখ করে বেশ ভাল লাগছে।

— Tsuyoshi Ito

যদিও এটি সারাংশটি ধারণ করে, আমি অপছন্দ করি যে যদি সকল n এর জন্য হয় , g ( n ) = 0 সমস্ত n এর জন্য N 0 পর্যন্ত এবং g ( n ) = f ( n ) + 1 অন্যথায়, তবে চ = ও ( ছ ) কিন্তু এই সংজ্ঞাটি এই সম্পর্কটি ক্যাপচার করতে ব্যর্থ। সুতরাং একটিকে কিছু ফাংশন সম্পর্কে কিছু হ্যান্ডওয়েভিং যুক্ত করতে হবে যা কিছু দিক থেকে ভাল আচরণ করা হয়েছে। $f(n) = n$$n$$g(n) = 0$$n$$N_0$$g(n) = f(n)+1$$f=O(g)$

— আন্দ্রেস সালামন

যার পরিসীমাটি প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি (0 সহ নয়) সম্পর্কে কথা বলার বিষয়টি হ'ল g (n) = 0 নিয়ে সমস্যায় পড়ে না।

— নোটাম

তার বইয়ে @Warren ভিক্টর Shoup কম্প্যুটেশনাল সংখ্যা তত্ত্ব স্বরলিপি ব্যবহার পরিবর্তে লগ ইন করুন একটি সময় বিশ্লেষণ, যা আমি ঝরঝরে পাওয়া চলমান হবে। $len(a)$$\log a$

— শ্রীভাতসান নারায়ণন

@Warren (ক্রমাগত) এই তিনি কিভাবে এটা ব্যাখ্যা করেছেন: 'একটি ইনপুট পরিপ্রেক্ষিতে আলগোরিদিম চলমান বার প্রকাশ সালে , সাধারণভাবে আমরা করতে লেখার পছন্দ ঠ ই এন ( একটি ) বদলে লগ ইন করুন একটি একটি কারন সৌন্দর্যবোধবিশিষ্ট হল:। লেখার ঠ ই এন ( একটি ) যে চলমান সময় বিট দৈর্ঘ্যের একটি ফাংশন জোর একটি আরেকটি কারণ প্রযুক্তিগত হল:। big- জন্য হে একটি অবাধ ডোমেনে ফাংশন জড়িত অনুমান উপযুক্ত অসাম্য ডোমেইন সর্বত্র জন্য রাখা, এবং উচিত এই কারণে, লগের মতো ফাংশনগুলি ব্যবহার করা খুব অসুবিধে হয়$a$$len(a)$$\log a$$len(a)$$a$$O$$\log$, যা কিছুটা ইনপুট মুছে যায় বা অদৃশ্য হয় ""

— শ্রীবতসান নারায়ণন

Answer 4

আমি যখন বেসিক কোর্স নিয়েছি তখন আমাদেরকে $\exists c,n_0 \dots$ সংজ্ঞা হিসাবে জিনিস এবং উপপাদ্য হিসাবে অন্যান্য জিনিস দেওয়া হয়েছিল।

আমি মনে করি যে অনেক লোকের পক্ষে প্রথমটি একটানা না হয়ে স্বচ্ছ মনে করে, এটি বেশিরভাগ কম্পিউটার বিজ্ঞানী (আমার অভিজ্ঞতায়)। আমরা সাধারণত যে বিষয়গুলি সম্পর্কে আরও ভালভাবে কথা বলি সেভাবে এটিও ফিট করে: "এখানে 3 ডিগ্রিটির একটি বহুপদী ফাংশন রয়েছে যা এই চ এর জন্য একটি উচ্চতর আবদ্ধ is$f$ একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর পর্যন্ত " "

সম্পাদনা : আপনি যদি এই সংজ্ঞাটি ব্যবহার করেন তবে আপনি এইভাবে কথা বলার আরও কাছাকাছি যেতে পারেন: (দ্রষ্টব্য যে ডি = এফ ( এন 0 ) সাধারণত প্রদত্ত কোনওটির সাথে এই সংজ্ঞাটি সংযুক্ত করে)$f \in \mathcal{O}(g) :\Leftrightarrow \exists c,d > 0 \forall n \geq 0 : f(n) \leq c\cdot g(n) + d$$d=f(n_0)$

কলম এবং কাগজের সাহায্যে জটিলতার ক্লাস গণনা করার জন্য সীমা স্টাফ বেশ কার্যকর।

যাই হোক না কেন, আমি মনে করি শিক্ষার্থীরা এটি শিখতে খুব দরকারী যে এখানে (আশাবাদী) সমতুল্য সংজ্ঞা রয়েছে। তাদের এটি উপলব্ধি করতে এবং অবিশ্বাস্য সংজ্ঞাগুলির ক্ষেত্রে পার্থক্যগুলি বেছে নিতে সক্ষম হওয়া উচিত।

Answer 5

কয়েক বছর আগে এই ধারণাগুলি অধ্যয়ন করে, তারা আমার শ্রেণীর জন্য উপলব্ধি করা সবচেয়ে কঠিন ছিল না (অন্তর্ভুক্তির মতো ধারণা বা বিপরীত ধনাত্মকগুলির বিরুদ্ধে)। আমার মতে ক্যালকুলাসের সাথে পরিচিতদের জন্য সীমাবদ্ধতা এবং লিমসআপগুলি কেবলমাত্র "স্বজ্ঞাত"। তবে এই জাতীয় গণিতের গ্রাউন্ডিং সহ শিক্ষার্থীরা যেভাবেই হোক সেট-তাত্ত্বিক পটভূমি থাকবে, যাতে তারা পৃথক যোগ্যতা অর্জন করতে পারে।

এছাড়াও, আরও গুরুত্বপূর্ণ, মনে রাখবেন যে শেষ পর্যন্ত আপনার ছাত্ররা অন্যান্য সিএস তত্ত্বের পাঠ্যপুস্তক এবং সম্ভবত গবেষণামূলক গবেষণাপত্রগুলি একদিন পড়তে যাবে (আশাবাদী)। যেমন, প্রাথমিকভাবে এটি ধারণা করা না হলেও, ক্ষেত্রের মানক স্বরলিপি দিয়ে স্বাচ্ছন্দ্য বোধ করা তাদের পক্ষে ভাল। একবার তারা আদর্শ সংজ্ঞা দেওয়ার পরে তাদের বিকল্প সংজ্ঞা দেওয়ার কোনও ক্ষতি নেই।

Answer 6

ইস্যুটি সম্পর্কে আকর্ষণীয়ভাবে বিবেচনা করার জন্য, ডন নুথের সুন্দরভাবে লেখা চিঠি "ক্যালকুলাসের মাধ্যমে ও নোটেশন" দেখুন । তিনি বিপরীত দৃষ্টিভঙ্গির পক্ষে ছিলেন যে ক্যালকুলাসটি 'এ', 'ও' এবং 'ও' স্বরলিপিগুলির মাধ্যমে শেখানো উচিত।

$x$$A$$y$$x = A(y)$$|x| \leq y$$100$$A(200)$

Answer 7

1. স্যুওশি ইটোর সংজ্ঞাগুলি মোটেই ঠিক দেখাচ্ছে না। লিটল-ওমেগা এবং বড়-ওমেগার জন্য সংজ্ঞাগুলিতে লিমিন্ফ ব্যবহার করা উচিত, লিমসআপ নয়। বিগ-থিটা সংজ্ঞাটি লিমিনেফের উপর একটি নিম্ন-সীমা এবং লিমসআপের উপরের-আবদ্ধ উভয়ই প্রয়োজন।

2. F (n) = O (g (n)) এর একটি সংজ্ঞা হ'ল f '(n)> = f (n) এর মতো অন্য ফাংশন রয়েছে যা এফ চ' (এন) / জি (এন) <অনন্ত।

3. নবাবিদের কেন উত্তর পোস্ট করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে তবে মন্তব্য করা হচ্ছে না?

Comments

আইটেম 1 হিসাবে, আমার অর্থ সমস্ত ক্ষেত্রে লিম্সআপ, এবং কারণটি আমার উত্তরের দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

— Tsuyoshi Ito

দুর্ভাগ্যক্রমে এটি একটি স্প্যাম ব্লক করার প্রক্রিয়া।

— সুরেশ ভেঙ্কট

সুতরাং, আপনি আপনার উত্তরগুলিতে ক্ষীর ব্যবহার করতে পারেন।

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 8

প্রথমত , আমি সমীকরণগুলি দেখানোর আগে শিক্ষার্থীদের কিছুটা স্বজ্ঞাততা বিকাশের চেষ্টা করি ।

• "মার্জ-বাছাই বনাম সন্নিবেশ-বাছাই করুন" ভাল সূচনা পয়েন্ট।

তারপরে, পরে ... আমি উভয় উপায় দেখানোর চেষ্টা করি। শিক্ষার্থীরা, যা অন্তর্নিহিত পছন্দ বেশি পছন্দ করে

$$f = O(g) \mbox{ iff } (\exists c > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \leq c \cdot g(n)).$$ while those who relies more on math, equasions, algebra etc. , they prefer "$\lim_{n \rightarrow \infty}$" definitions.

Another aspect is that, it heavily depends on concrete studies' program. IMHO depending on previous subjects one of definitions will be more suitable - while IMHO still it is good idea to show both and accept both types of solutions.