জ্যামিতিক জটিল জটিলতার তত্ত্বের উইকিপিডিয়া-শৈলীর ব্যাখ্যা

মলমুলির জিসিটি পদ্ধতির কোনও অ-বিশেষজ্ঞের দ্বারা বোঝার জন্য একটি সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা সরবরাহ করতে পারে? একটি ব্যাখ্যা যা এই উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠার জন্য উপযুক্ত হবে (যা এই মুহুর্তে অনড়)।

অনুপ্রেরণা: আমি স্কট অ্যারনসনের বই কোয়ান্টাম কম্পিউটিং থেকে ডেমোক্রিটাসের আমার এক বন্ধুর সাথে যারা স্ট্রিং তত্ত্বের গবেষক with বইয়ের প্রবন্ধে, অ্যারনসন জিসিটিকে "কম্পিউটার বিজ্ঞানের স্ট্রিং থিয়োরি" বলেছেন। স্ট্রিং থিওরিস্ট হওয়ার কারণে, আমার বন্ধু এই দাবিটি সম্পর্কে উত্সাহিত হয়েছিল এবং আমাকে জিসিটি কী তা জিজ্ঞাসা করেছিল। এই মুহুর্তে আমি লজ্জাজনকভাবে বুঝতে পারি যে তাঁর প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমার কাছে উইকিপিডিয়া-প্রস্তুত উত্তর নেই।

cc.complexity-theory gct

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো
সূত্র

উত্তরটি একটি হতে পারে :)। বা কমপক্ষে এটি শুরু করুন।

— সুরেশ ভেঙ্কট

একটি স্টাব তৈরি করুন - আপনাকে নিজেরাই পুরো জিনিসটি লিখতে হবে না :)।

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ কাভেঃ অবশ্যই দুটি ক্ষেত্রের মধ্যে সরাসরি সম্পর্ক নেই! বাস্তবে স্কট টিসিএসের স্ট্রিং থিওরিটি কোন অর্থে জিসিটি ব্যাখ্যা করেছেন (তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের ক্ষেত্রের লোকেরা যথাক্রমে কীভাবে সেই পদ্ধতিগুলি উপলব্ধি করতে পারে - এটি অবশ্যই সম্পূর্ণ ভিন্ন প্রশ্নের জন্য!)। আমি গল্পটি কেবল আমার প্রশ্নের সূত্রপাত ঘটানোর জন্যই জানিয়েছি, আমি বলতে চাইনি যে দুটি ক্ষেত্রই সম্পর্কিত।

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো

সংশ্লিষ্ট প্রশ্ন: Mulmuley এর GCT প্রোগ্রাম

— Kaveh

আরো দেখুন কতটা কঠিন দেখানোর জন্য Mulmuley-Sohoni GCT পদ্ধতির ব্যবহার করা পরিচিত জটিলতা বিচ্ছিন্নতার? এবং নিম্ন সীমা উত্পাদন করার জন্য মুলমুলে-সোহনি জ্যামিতিক পদ্ধতি কীভাবে প্রাকৃতিক প্রমাণ (রাজবরোভ-রুডিক অর্থে) উত্পাদন এড়াতে পারে? এবং প্রাকৃতিক প্রুফ এবং জ্যামিতিক জটিলতায় গঠন

— vzn

উত্তর:

আমি ঠিক নিশ্চিত নই যে উইকিপিডিয়া নিবন্ধের জন্য কোন স্তরটি উপযুক্ত (বিভিন্ন নিবন্ধগুলি দক্ষতার বিভিন্ন স্তরের দিকে লক্ষ্য করা যায় বলে মনে হয়) বা আপনি ঠিক কী খুঁজছেন। সুতরাং এখানে চেষ্টা করুন, তবে আমি প্রতিক্রিয়া জানাতে খোলা।

জ্যামিতিক জটিলতা তত্ত্ব জটিলতার অন্তর্নিহিত প্রতিসাম্য এবং অধ্যয়নরত ফাংশনের অতিরিক্ত প্রতিসাম্যগুলিকে কাজে লাগিয়ে কম্পিউটিং ফাংশনগুলির গণ্য জটিলতা (বলুন, বহুবচনগুলি) অধ্যয়নের প্রস্তাব দেয় ।

অনেক আগের পন্থা হিসাবে, চূড়ান্ত লক্ষ্য দুই জটিলতা শ্রেণীর আলাদা হয় দেখানোর সময় একটি বহুপদী নেই দ্বারা যা ফাংশন লাগে ইনপুট হিসাবে (বলুন তাদের সহগ ভেক্টর দ্বারা) যেমন যে প্রতি ফাংশন উপর vanishes কিন্তু কিছু ফাংশন উপর বিলুপ্ত না । $\mathcal{C}_{easy}, \mathcal{C}_{hard}$ $p$ $f$ $p$ $f \in \mathcal{C}_{easy}$ $g_{hard} \in \mathcal{C}_{hard}$

প্রথম মূল ধারণাটি (সিএফ। [জিসিটি 1, জিসিটি 2]) হ'ল প্রতিফলনগুলি নিজেরাই ফাংশনগুলি সংগঠিত করতে নয়, তবে এই ফাংশনগুলির ( বীজগণিত-জ্যামিতিক ) বৈশিষ্ট্যগুলিকে সংগঠিত করা , যেমন উপরের হিসাবে বহুবচন দ্বারা ক্যাপচার করা হয়েছে । এটি এমন একটি সন্ধানের প্রয়াসে প্রতিনিধিত্বমূলক তত্ত্বের ব্যবহার সক্ষম করে । প্রতিনিধিত্বমূলক তত্ত্ব এবং বীজগণিত জ্যামিতি সম্পর্কিত অনুরূপ ধারণাগুলি আগেও বীজগণিত জ্যামিতিতে ব্যবহৃত হয়েছিল, তবে আমার জ্ঞানের কাছে কখনও এইভাবে হয়নি। $p$ $p$

দ্বিতীয় মূল ধারণা (সিএফ। [জিসিটি 6]) ফলাফল প্রতিনিধিত্বমূলক-তাত্ত্বিক সমস্যার জন্য সংযুক্তি (এবং বহু-কালীন) অ্যালগরিদমগুলি সন্ধান করা এবং তারপরে এই ধরণের বিদ্যমান রয়েছে তা দেখানোর জন্য এই অ্যালগরিদমগুলিকে বিপরীত ইঞ্জিনিয়ার । লিনিয়ার প্রোগ্রামিং (একটি অ্যালগোরিদম) ব্যবহার করে কিছু বিশুদ্ধ সংশ্লেষমূলক বক্তব্য প্রমাণ করার জন্য এটি নেওয়া যেতে পারে । $p$

প্রকৃতপক্ষে, [জিসিটি]] উপস্থাপনা-তাত্ত্বিক সমস্যাগুলি ইন্টিজার প্রোগ্রামিং সমস্যাগুলির তুলনায় হ্রাস করার পরামর্শ দেয় , তারপরে দেখায় যে ফলিত আইপিগুলি তাদের এলপি শিথিলকরণের মাধ্যমে সমাধান করা হয় এবং শেষ পর্যন্ত ফলিত এলপিগুলির জন্য সম্মিলিত আলগোরিদিম দেয়। [জিসিটি]] এর অনুমানগুলি লিটলউড-রিচার্ডসন সহগের জন্য বিপরীত প্রকৌশল প্রকৃতির ফলাফল দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়, প্রতিনিধিত্বমূলক তত্ত্বের একটি অনুরূপ তবে সহজ সমস্যা। এলআর সহগের ক্ষেত্রে, লিটলউড-রিচার্ডসন সম্মিলিত নিয়মটি প্রথম আসে। পরে বেরেনস্টেইন এবং জেলভিনস্কি [বিজেড] এবং নটসন এবং টাও [কেটি] (বন্ধুত্বপূর্ণ ওভারভিউয়ের জন্য [কেটি 2] দেখুন) এলআর সহগের জন্য একটি আইপি দিয়েছেন। নটসন এবং টাও স্যাচুরেশন অনুমানও প্রমাণ করেছিলেন, যা বোঝায় যে আইপিটি তার এলপি শিথিলকরণ (সিএফ। [জিসিটি 3, বিআই]) দ্বারা সমাধান করা হয়েছে।

[জিসিটি 5] এর ফলাফলগুলি দেখায় যে নোথরের নর্মালাইজেশন লেমাকে স্পষ্টভাবে অবতরণ করার বিষয়টি বহুবর্ষীয় পরিচয় পরীক্ষার ব্ল্যাক-বাক্সের অবতরণকরণ জটিলতার তত্ত্বের কুখ্যাত উন্মুক্ত সমস্যার সমতুল্য । বৃহত্তর প্রোগ্রামের সাথে এটি কীভাবে ফিট করে তা হ'ল the (যে ক্ষেত্রে নির্ধারক সম্পূর্ণ হয় সেই শ্রেণীর জন্য ) যে ফাংশনগুলি ((না) অদৃশ্য হয়ে যায় তার জন্য একটি স্পষ্ট ভিত্তিক সন্ধান করা be বীজগণিত জ্যামিতির অন্যান্য সেটিংসে যেমন হয়েছে, তেমন উপস্থাপনা তত্ত্বে কাঙ্ক্ষিত সমস্যার জন্য একটি সংহত নিয়ম তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়েছিল। এখানে মধ্যবর্তী পদক্ষেপটি হ'ল সেই জন্য একটি ভিত্তিক সন্ধান করা যা সাধারণীকরণের উপর বিলুপ্ত হয় না (যা না) $p$ $\mathcal{C}_{easy}$ $p$ $\mathcal{C}_{easy}$ , যা নির্মাণের মাধ্যমে একটি উত্তম বীজগণিত বৈচিত্র্যপূর্ণ - অন্য কথায়, ডিইটি-র জন্য নোথরের নরমালাইজেশন লেমাকে অবতরণ করতে।

জটিলতা এবং ফাংশনগুলির প্রতিসাম্যের উদাহরণ

উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনের জটিলতা - জটিলতার বেশিরভাগ প্রাকৃতিক ধারণার জন্য - যদি আমরা some কিছু অনুচ্ছেদে i । সুতরাং ক্রমবিকাশ জটিলতা নিজেই প্রতিসাম্য হয়। জটিলতার কিছু ধারণার জন্য (যেমন বীজগণিত সার্কিট জটিলতায়) ভেরিয়েবলের সমস্ত বিবর্তনীয় রৈখিক পরিবর্তনগুলি প্রতিসাম্য। $f(x_1, \dotsc, x_n)$ $f(x_{\pi(1)}, \dotsc, x_{\pi(n)})$ $\pi$

পৃথক ফাংশনগুলিতে অতিরিক্ত প্রতিসাম্য থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নির্ধারক এর সকল ম্যাট্রিকের জন্য মতো এর প্রতিসাম্য । (আমি এই সম্পর্কে যা কিছুটা তুলেছিলাম তা থেকে আমি সংগ্রহ করি যে এটি পদার্থবিজ্ঞানের স্বতঃস্ফূর্ত প্রতিসাম্যতা ভাঙার ঘটনাটির সাথে সাদৃশ্য )) $\det(X)$ $\det(AXB) = \det(X^{T}) = \det(X)$ $A,B$ $\det(AB) = 1$

কিছু সাম্প্রতিক অগ্রগতি [এই বিভাগটি অবশ্যই অসম্পূর্ণ এবং আরও প্রযুক্তিগত, তবে একটি সম্পূর্ণ অ্যাকাউন্ট দশেক পৃষ্ঠা নেবে .... আমি কেবল সাম্প্রতিক কিছু অগ্রগতি হাইলাইট করতে চেয়েছিলাম]

বুর্গিজার এবং ইকেনমিয়ার [বিআই 2] জিটিটি প্রোগ্রামের পরে মেট্রিক্স গুণনের উপর একটি দেখিয়েছে যতক্ষণ না শূন্য বনাম নানজারো গুণকগুলির সাথে উপস্থাপনা ব্যবহার করে। ল্যান্ডসবার্গ এবং অট্টাভিয়ানী [এলও] বীজগণিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি সংগঠিত করতে প্রতিনিধিত্বমূলক তত্ত্ব ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সের গুণনের সীমান্ত র‌্যাঙ্কে মূলত of সর্বাধিক পরিচিত নিম্নতর সীমাটি প্রদান করেছিলেন , তবে প্রতিনিধিত্বমূলক গুণাবলী বা সংযোজনীয় বিধিগুলি ব্যবহার না করে। $\frac{3}{2}n^2$ $2n^2$

লিটলউড-রিচার্ডসন সহগের পরের সমস্যা হ'ল ক্রোনেকার সহগ । এগুলি উভয়ই এমন এক ধরণের সমস্যার মধ্যে দেখা যায় যা জিসিটির মধ্যে উত্থিত প্রতিনিধিত্ব-তাত্ত্বিক সমস্যাগুলি এবং ম্যাট্রিক্সের গুণ এবং স্থায়ী বনাম নির্ধারকের জিসিটি পদ্ধতির বহুগুণের সীমানা হিসাবে সরাসরি পৌঁছানোর সন্দেহ হয়। ক্রোনেকার সহগের জন্য একত্রিত নিয়ম সন্ধান করা প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বের দীর্ঘস্থায়ী উন্মুক্ত সমস্যা; ব্লাসিয়াক [বি] সম্প্রতি এক হুক আকারের ক্রোনেক্কার সহগের জন্য এই জাতীয় সংযোজনীয় নিয়ম দিয়েছে।

কুমার [কে] দেখিয়েছেন যে ননজারো গুণিতক সহ নির্ধারকটির স্থানাঙ্কের রিংয়ে কিছু উপস্থাপনা উপস্থিত হয়েছে, এটি কলাম লাতিন বর্গক্ষেত্র অনুমান (সিএফ। হুয়াং-রোটা এবং অ্যালন-তারসি ধরেছিলেন; এই অনুমানও সম্ভবত কাকতালীয়ভাবে নয়, [বিআই 2-তে প্রদর্শিত হয়েছে ])। সুতরাং এই উপস্থাপনাগুলি শূন্য বনাম নানজারো গুণগুলির ভিত্তিতে স্থিরকারী থেকে স্থায়ী আলাদা করতে ব্যবহার করা যায় না, যদিও এখনও এটিগুলি বহুগতির মধ্যে আরও সাধারণ বৈষম্য দ্বারা নির্ধারক থেকে স্থায়ী পৃথক করতে ব্যবহার করা সম্ভব হতে পারে।

তথ্যসূত্র [খ] জে ব্লেশিয়াক। এক হুক আকারের জন্য ক্রোনেকার সহগ। আরএক্সিভ: 1209.2018, 2012।

[বিআই] পি। বার্গিজার এবং সি আইকনমেয়ার। লিটলউড-রিচার্ডসন সহগের ইতিবাচকতার জন্য একটি সর্বাধিক-প্রবাহ অ্যালগরিদম। এফপিএসএসি 2009।

[বিআই 2] পি। বুর্গিজার এবং সি আইকনমেয়ার। জ্যামিতিক জটিল জটিলতা তত্ত্বের মাধ্যমে সুস্পষ্ট নিম্নতর সীমাগুলি। আরএক্সিভ: 1210.8368, 2012।

[বিজেড] এডি বেরেনস্টেইন এবং এভি জেলেভিনস্কি। এবং স্থগিত প্রতিনিধিত্বের বহিরাগত বীজগণিতের বর্ণালীর জন্য ট্রিপল গুণক । $\mathfrak{sl}(r+1)$ জে বীজগণিত কম্বিন। 1 (1992), নং। 1, 7-22।

[জিসিটি ১] কেডি মুলমুলি এবং এম সোহনি। জ্যামিতিক জটিল জটিলতা থিয়োরি আই: পি বনাম এনপি এবং সম্পর্কিত সমস্যাগুলির প্রতি দৃষ্টিভঙ্গি। সিয়াম জে। কম্পিউটার। 31 (2), 496–526, 2001।

[জিসিটি ২] কেডি মুলমুলি এবং এম সোহনি। জ্যামিতিক জটিল জটিলতা থিয়োরি 2: শ্রেণীর বৈচিত্রগুলির মধ্যে এম্বেডিংয়ের জন্য সুস্পষ্ট বাধার দিকে। সিয়াম জে.কম্পুট।, 38 (3), 1175–1206, 2008।

[জিসিটি 3] কেডি মুলমুলি, এইচ। নারায়ণন এবং এম। সোহনি। জ্যামিতিক জটিলতার তত্ত্ব তৃতীয়: লিটলউড-রিচার্ডসন সহগকে নাকচ করার সিদ্ধান্ত নেওয়ার বিষয়ে। জে বীজগণিত কম্বিন। 36 (2012), না। 1, 103-110।

[জিসিটি 5] কেডি মুলমুলি। জ্যামিতিক জটিল জটিলতা তত্ত্ব ভি: বহুবর্ষীয় পরিচয় পরীক্ষার ব্ল্যাকবক্স ডেরানডমাইজেশন এবং নোথারের নরমালাইজেশন লেমার ড্রানডমাইজেশনের মধ্যে সমতা। FOCS 2012, এছাড়াও arXiv: 1209.5993।

[জিসিটি 6] কেডি মুলমুলি। জ্যামিতিক জটিল জটিল তত্ত্ব ষষ্ঠ: ইতিবাচকতার মাধ্যমে ফ্লিপ। , প্রযুক্তিগত প্রতিবেদন, কম্পিউটার বিজ্ঞান বিভাগ, শিকাগো বিশ্ববিদ্যালয়, জানুয়ারী ২০১১।

[কে] এস কুমার। নির্ধারকের কক্ষপথ বন্ধ দ্বারা সমর্থিত উপস্থাপনাগুলির একটি অধ্যয়ন। আরএক্সিভি: 1109.5996, 2011।

[এলও] জেএম ল্যান্ডসবার্গ এবং জি ওটাভিয়ানি। ম্যাট্রিক্স গুণনের সীমান্ত র‌্যাঙ্কের জন্য নতুন নিম্ন সীমা। আরএক্সিভ: 1112.6007, 2011।

[কেটি] এ। নটসন এবং টি। টাও। টেনসর পণ্যগুলির মধুচক্র মডেল । I. স্যাচুরেশন অনুমানের প্রমাণ। $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ জে আমের। ম্যাথ। SOC। 12 (1999), না। 4, 1055–1090।

[কেটি 2] এ। নটসন এবং টি। টাও। হানি কম্বস এবং হার্মিটিয়ান ম্যাট্রিক্সের যোগফল। নোটস আমের ম্যাথ। SOC। 48 (2001), নং। 2, 175–186।

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

উইকিপিডিয়ায় কোন স্তরটি উপযুক্ত তা সম্পর্কে আপনার খোলার বাক্যটি পুনরায় দিন: সংক্ষিপ্ত উত্তরটি যতটা সম্ভব সহজ, তবে সহজ নয়। উইকিপিডিয়া নিবন্ধের শুরুতে, বিশেষত, বিস্তৃত শ্রোতাদের জন্য যতটা লেখা যেতে পারে (বিষয়টির একটি হ্যাশ না করে) লেখা উচিত; পরবর্তী অংশগুলি আরও প্রযুক্তিগত হয়ে উঠতে পারে। আরও তথ্যের জন্য উইকিপিডিয়া গাইডলাইন en.wikedia.org/wiki/WP:TECHNICAL দেখুন (এবং সম্ভবত এটি বলা ছাড়াই উচিত যে সমস্ত নিবন্ধগুলি এই লক্ষ্যে সফল হয় না।)

— ডেভিড এপস্টেইন

একটি ভাল ধারণা এন.ইউইকিপিডিয়া.আর / উইকি / রিপ্রেসিভেশনেশন_থিয়োর সাথে একই স্তরের লক্ষ্যে লক্ষ্য রাখতে পারে যা কিছুটা মৃদুভাবে শুরু হয় তবে আরও অনেক প্রযুক্তিগত হয়।

— মুগজি র্বেবাঙ্গীরা

আমি সিএসের অ-বিশেষজ্ঞদের দ্বারা বোধগম্য এমন একটি ব্যাখ্যা খুঁজছিলাম, যারা এখনও অন্য কোনও ক্ষেত্রে বিজ্ঞানী (বিশেষত পদার্থবিজ্ঞান)। আপনার উত্তর পুরোপুরি এই প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে। ধন্যবাদ!

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো

কেন এটি উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় যুক্ত করবেন না?

— সাদাতাম

আমি সম্প্রতি ম্যাথওভারফ্লো https://mathoverflow.net/questions/277408/ কি-are-the-current-breakthroughs-of-geometric-complexity-theory- এ সম্পর্কিত একটি প্রশ্নের উত্তর দিয়েছি

যেহেতু এই সাইটটি সম্ভবত একটি ভাল ভেন্যু, তাই আমাকে নীচে কেবল উত্তরটি পুনরাবৃত্তি করুন। জোসেফ বা তীমথিয়ের উল্লেখগুলি এমও প্রশ্নের অন্যান্য পোস্টগুলির বিষয়ে।

যাক একটি জেনেরিক হতে ম্যাট্রিক্স এবং ডিগ্রী সজাতি বহুপদী কর্তৃক প্রদত্ত নির্ধারক। যাক যা লাগে একটি সাবম্যাট্রিক্স স্থায়ী এবং ডিগ্রি এর আরও একজাতীয় বহুপদী তৈরির জন্য নিজের পছন্দসই রৈখিক ফর্মের সাথে বহুগুণ ( পরিবর্তে entry এন্ট্রিও ব্যবহার করতে পারে )। এই পরিবর্তনটিকে প্যাডিং বলা হয় । তারপরে সংখ্যাটি সংজ্ঞায়িত করুন $X=(X_{ij})_{1\le i,j\le n}$ $n\times n$ $F_1(X)={\rm det}(X)$ $n$

F_{2} (X) = (X_{n n})^{n - m} \times p e r m [(X_{i j})_{1 \leq i, j \leq m}]

$F_2(X)=(X_{nn})^{n-m}\times {\rm perm}\left[(X_{ij})_{1\le i,j\le m}\right]$

m \times m

$m\times m$

n

$n$

X_{11}

$X_{11}$

X_{n n}

$X_{nn}$

c (m) = min {n | n \geq m a n d \bar{G \cdot F_{2}} \subset \bar{G \cdot F_{1}}}

$c(m)=\min\{\ n\ |\ n\ge m\ \ {\rm and}\ \ \overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}\ \}$ যেখানে হয় মাত্রা এর অ্যাফিন স্থান অভিনয় যেখানে জীবন ও কক্ষপথ এর Zariski বন্ধ হয়। এলাকা অথবা বীর এর অনুমান বড় অনুমান (এক জটিল সংস্করণ ) যে দ্রুত যে কোন বহুপদী চেয়ে বৃদ্ধি ।

G

$G$

G L (n^{2})

$GL(n^2)$

n^{2}

$n^2$

X

$X$

\bar{G \cdot F_{i}}

$\overline{G\cdot F_i}$

P \neq N P

${\rm P}\neq{\rm NP}$

c (m)

$c(m)$

m

$m$

এখন যদি সিডট এফ_1 , তবে একটির একটি সার্জিক ইকুইভারিয়েন্ট মানচিত্র ম্যাথবিবি সিডট এফ_1 এই কক্ষপথ বন্ধের স্থানাঙ্কের রিংগুলির ডিগ্রি অংশগুলির মধ্যে। সুতরাং খেলা দেখাতে হবে যে এই, ঘটবে না জন্য চেষ্টা হয় করতে অপ্রতুল বৃহৎ আপেক্ষিক , একটি অস্তিত্ব প্রতিপাদন দ্বারা সংখ্যাধিক্য বাধা , অর্থাত্, একটি সরলীকরণযোগ্য উপস্থাপনা , যার জন্য multiplicities সন্তুষ্ট $\overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}$ $G$

C [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d} ⟶ C [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d}

$\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d\longrightarrow \mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d$

d

$d$

n

$n$

m

$m$

λ

$\lambda$

{m u l t}_{λ} (C [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d}) < {m u l t}_{λ} (C [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d})

${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)<{\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)$ বা আদর্শের স্তরে

{m u l t}_{λ} (I [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d}) > {m u l t}_{λ} (I [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d}) .

${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)>{\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_2}]_d)\ .$

একটি আশাবাদী দৃষ্টিভঙ্গি হ'ল সেখানে উপস্থিতি বাধা রয়েছে , অর্থাৎ try এর মতো দেখানোর চেষ্টা করা এবং । এই আশাটি তীমথির দ্বারা বর্ণিত বার্গিজার, ইকেনমিয়ার এবং পানোভা-র কাজগুলিতে ছড়িয়ে পড়েছে। তবে বহুগুণে বাধার সম্ভাবনা এখনও খোলা আছে। $\lambda$ ${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)=0$ ${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)>0$

আমি মনে করি মুলমুলির এই পদ্ধতির মাধ্যমে এই সংখ্যাবৃদ্ধির গণনার জন্য উপস্থাপনা তত্ত্ব থেকে প্রাপ্ত সমস্ত সরঞ্জামকে কাজে লাগিয়ে এই জাতীয় বহুবৃত্তির বাধার অস্তিত্ব প্রমাণ করার চেষ্টা করা হয়েছে। ব্যক্তিগতভাবে, আমি কখনও এই পদ্ধতির ভক্ত হইনি। উনিশ শতকের আক্রমণাত্মক তত্ত্বটি কিছুটা গভীরতার সাথে অধ্যয়ন করার পরে, আমার কাছে এ যুগের সুস্পষ্ট সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করে কক্ষপথ বিচ্ছেদ সমস্যার কাছে যাওয়া আরও স্বাভাবিক বলে মনে হয়। গোরচোর এই নিবন্ধটিও অনুরূপ দিক নির্দেশ করে বলে মনে হচ্ছে (আমি সন্দেহ করি যে জোসেফের দ্বারা বর্ণিত তৃতীয় নিবন্ধটি একই শিরাতে রয়েছে)। শাস্ত্রীয় ভাষায় ( টার্নবুল বা লিটলউড দেখুন ), কোনও ব্যক্তিকে স্পষ্টভাবে একটি মিশ্র সহগঠন তৈরি করতে হবে যা অদৃশ্য হয়ে যায় $F_1$ তবে । মহা-পরাশক্তি বৃদ্ধির সম্পত্তি প্রতিষ্ঠার জন্য একজনকেও অনন্তকালীন ( ) প্রায়শই এটি করতে হয় । অবিচ্ছিন্ন উপস্থাপনের জন্য আপনার পছন্দসই মডেল থেকে থেকে ভেরিয়েবল এর বহুভুজ বীজগণিতের জন্য (যেমন গ্রাচো বলছে যে একটি পৃথক পৃথক মডিউল ) যেমন একটি সহগামী আপনার নির্দিষ্ট মডেল থেকে নির্দিষ্ট বৈচিত্রের মানচিত্রের সমান । উনিশ শতকের আগত তাত্ত্বিকদের কাছে এ জাতীয় অবজেক্ট তৈরির জন্য দুটি পদ্ধতি ছিল: নির্মূল তত্ত্ব এবং ডায়াগ্রাম্যাটিক বীজগণিত । $F_2$ $m$ $G$ $\lambda$ $n^2$ $X$

খুব শিশুর উদাহরণ যেখানে এবং কর্ম অধীনে বাইনারি গণিত চতুর্ঘাত সমীকরণ ফর্ম (দেখুন এই এমও প্রশ্ন ) বলে এবং বিভাজন সহকারী (এখানে প্রকৃতপক্ষে একটি সমবায়ু) হ'ল জেনেরিক বাইনারি কোয়ার্টিক এর হেসিয়ান এটি জন্য (একইভাবে ) অদৃশ্য হয়ে যায় তবে জন্য নয় $F_1$ $F_2$ $G=SL(2)$

F_{1} (x, y) = x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + 16 y^{4}

$F_1(x,y)=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$

F_{2} (x, y) = 16 x^{4} - 24 x^{3} y + 12 x^{2} y^{2} - 2 x y^{3} .

$F_2(x,y)=16x^4-24x^3y+12x^2y^2-2xy^3\ .$

F

$F$

H (F) (x, y) = \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}} - {(\frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y})}^{2} .

$H(F)(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}-\left( \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} \right)^2\ .$

x, y

$x,y$

F = F_{1}

$F=F_1$

F = F_{2}

$F=F_2$ । এই ক্ষেত্রে, হেসিয়ানকে দ্বি-কোয়ার্টিক্সের সংলগ্ন স্থানের জন্য স্থানাঙ্কের রিংয়ের মধ্যে দ্বিতীয় প্রতিসম শক্তি (মৌলিক দ্বি-মাত্রিক উপস্থাপনার) দ্বারা প্রদত্ত অপ্রত্যাশিত আকারের সমতুল্য মানচিত্র হিসাবে দেখা যেতে পারে।

সুতরাং জিসিটির জন্য একটি সম্ভাব্য সুপারপটিমাস্টিক "পরিকল্পনা" এর মধ্যে নিম্নলিখিত ধাপগুলির ক্রম জড়িত।

1) প্রচুর পরিমাণে সহজাত উত্পাদন করার একটি উপায় খুঁজুন।

২) এফ_1 এ হওয়ার জন্য কিছু সুস্পষ্ট প্রার্থী শনাক্ত করুন এবং সেই সম্পত্তি প্রমাণ করুন। $F_1$

3) তারা বিলুপ্ত হবে না তা দেখান । $F_2$

পদক্ষেপ 1) নীতিগতভাবে জন্য প্রথম মৌলিক উপপাদ্য দ্বারা সমাধান করা হয়েছে তবে এর মধ্যে একটি মিল নেই: (সারিগুলিতে অভিনয় করা জন্য আবর্তন তত্ত্বে নির্ধারক একটি প্রাকৃতিক বস্তু এবং কলামগুলি) । জন্য of জন্য একটি হিসাবে শর্তাবলী এর বেসিক বিল্ডিং ব্লকটি প্রকাশ করে অমিলটি পুনরুদ্ধারের চেষ্টা করা যেতে পারে অনুরূপ হ্রাস সমস্যার জন্য এই এমও প্রশ্নটি দেখুন থেকে থেকে )। $GL(n^2)$ $GL(n)\times GL(n)$ $GL(n^2)$ $GL(n^2)$ $GL(n)\times GL(n)$ $SL(n(n+1)/2)$ $SL(n)$

দ্বিতীয় পদক্ষেপের জন্য সঠিক প্রার্থীদের অনুমান করা) আমার কাছে শক্ত লাগে। আগে থেকেই জানা ছিল যে কিছু গুণগুলি ননজারো অবশ্যই সাহায্য করবে। যদিও, কেউ তত্ক্ষণাত্ এবং পদক্ষেপ 3 সহকারে সম্মতিহীনভাবে অদৃশ্যতার অদৃশ্যতার প্রমাণ মুলতবি করতে পারে which যা যাইহোক এটির চেয়ে বেশি প্রদর্শন করা উচিত। যদি কারও কাছে এমন সঠিক প্রার্থী থাকে তবে তাদের পক্ষে এ হওয়া যুক্তি দিয়ে পাওলির বর্জন নীতি (এন্টিসিমমেট্রাইজেশনগুলির সাথে প্রতিসামগ্রীকরণের চুক্তি), উচ্চ ক্রোম্যাটিক সংখ্যার সম্পত্তি বা কেবল "জায়গার অভাব" বলা যেতে পারে argu ${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)$ $F_1$

তবে, আমি মনে করি সবচেয়ে কঠিন অংশটি ধাপ 3)। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, আমার কাগজে "ঘন threefolds এর Ottaviani এর পরিবর্তিত জন্য 16.051 সূত্র" Ikenmeyer এবং Royle সঙ্গে, মনন কম্পিউটার অনুসন্ধান দ্বারা সম্পন্ন হয়, কিন্তু হাতে ডান প্রার্থী সঙ্গে, উপর অন্তর্ধান ব্যাখ্যা করতে অপেক্ষাকৃত সহজ ছিল (এটা বরং একটি ব্যাপার কিছু বড় চক্রের পরিবর্তে গ্রাফের বৈশ্বিক বৈশিষ্ট্যের কারণে ক্রোম্যাটিক সংখ্যার দুর্দান্ত উদাহরণ)। আমাদের নিবন্ধে পদক্ষেপ 3) এর অ্যানালগটি নিষ্ঠুর ফোর্স কম্পিউটার গণনা দ্বারা সম্পন্ন হয়েছিল এবং কেন এটি সত্য তা নিয়ে আমাদের এখনও কোনও ধারণা নেই। পদক্ষেপ 3 সম্পর্কিত দৃষ্টান্তমূলক সমস্যাটি হ'ল অ্যালন-তারসি অনুমান ( এই এমও প্রশ্নটি দেখুন এবং এটি একটি $F_1$ খুব)। আমার মতে, ভ্যালিয়েন্টের কনজেকচারের আগে এই ধরণের প্রশ্নে ( ফোর কালার উপপাদ্যটিও এই ধরণের, কাউফম্যান এবং বার-নাটনের কারণে হ্রাসের মাধ্যমে) অগ্রগতি করা উচিত।

যেহেতু প্রশ্নটি জিসিটি-তে ব্রেকথ্রু নিয়ে। আমি মনে করি ল্যান্ডসবার্গ এবং রেসায়ারের এই নিবন্ধটিও কিছুটা মনোযোগের দাবিদার কারণ এটি থেকে বোঝা যায় যে সঠিক মানটির জন্য একটি যুক্তিসঙ্গত অনুমান is দ্রষ্টব্য যে খুব সহজ সমস্যা সম্পর্কে সুস্পষ্ট "পদক্ষেপ 1), 2), 3) পদ্ধতির" ধারণার প্রমাণ, এই নিবন্ধে বার্গিজার এবং আইকনমেয়ার দিয়েছিলেন । পরিশেষে, জিসিটি সম্পর্কিত আরও তথ্যের জন্য, আমি ল্যান্ডসবার্গের দ্বারা "জ্যামিতিক জটিলতা তত্ত্ব: জিওমিটারগুলির জন্য একটি ভূমিকা" পর্যালোচনা করার জন্য অত্যন্ত পরামর্শ দিচ্ছি । $c(m)$

(\begin{matrix} 2 m \\ m \end{matrix}) - 1 .

$\left(\begin{array}{c}2m\\ m \end{array}\right)-1\ .$

পিএস: আমার যুক্ত করা উচিত যে আমার হতাশাবাদটি ভ্যালেন্টিয়াল হাইপোথিসিসের সাথে নির্দিষ্ট যা ক্ষেত্রের 'রিমন হাইপোথেসিস'। অবশ্যই, কারও বাচ্চাকে স্নানের জলে ফেলে দেওয়া উচিত নয় এবং জিসিটি অবমাননা করা উচিত কারণ এটি এখনও এই অনুমানটি প্রমাণ করতে ব্যর্থ হয়েছিল। এই অঞ্চলে প্রচুর আরও সহজলভ্য সমস্যা রয়েছে যেখানে অগ্রগতি হয়েছে এবং আরও অগ্রগতি প্রত্যাশিত। বিশেষ করে গ্রোচো দ্বারা উল্লিখিত নিবন্ধটি এবং ল্যান্ডসবার্গ দ্বারা পর্যালোচনা দেখুন।

— আবদেলামেক আবদেসেলাম
সূত্র

-4

জিসিটি জটিলতা তত্ত্বের সীমা প্রমাণ করার জন্য একটি গবেষণা প্রোগ্রাম এবং একরকমভাবে তার ভারী বিমূর্ততার কারণে একটি উইকিপিডিয়া-স্টাইলের বিমূর্ততা / সারাংশকে অস্বীকার করে, তবে টিসিএসের ভিড়ের জন্য ভাল জরিপ পাওয়া যায় available [২] [৩] [৪] (এবং অবশ্যই উইকিপিডিয়া উইকিপিডিয়া প্রবেশের জন্য সেরা জায়গা)। এটি মুলমুলিয়ে 2000 এর দশকের গোড়ার দিকে প্রণীত হয়েছিল এবং জটিলতা তত্ত্বের ক্ষেত্রে উভয়ই তুলনামূলকভাবে নতুন এবং উন্নত গণিত (বীজগণিত জ্যামিতি) ব্যবহার করে এবং প্রয়োগ করে যা টিসিএস / জটিলতা তত্ত্বে উদ্ভূত হয়নি।

কিছুটি কর্তৃপক্ষের কাছে এই পদ্ধতির প্রতিশ্রুতিবদ্ধ হিসাবে বিবেচিত হয়েছে তবে সম্ভবত অন্যান্য কর্তৃপক্ষের পক্ষে এটি অত্যন্ত জটিল ie এটি প্রমাণিত নয় এবং তাই এটি বিতর্কিত নয় যা এটি স্ট্যান্ডার্ড পরিচিত "বাধা" কাটিয়ে উঠতে পারে কিনা controversial (এই অর্থে এটি একটি তথাকথিত কুহনিয়ান "দৃষ্টান্তের শিফট" এর কিছু লক্ষণ প্রদর্শন করে।) এমনকি মুলমুলেও প্রস্তাব দিয়েছেন যে এটি বাস্তবিকভাবে সফল হতে না পারে (বড় জটিলতা শ্রেণির বিচ্ছেদ প্রমাণ করতে) কয়েক দশক পরে আরও উন্নয়নের পরে। এখানে জটিলতা তত্ত্বের ক্ষেত্রে এক শীর্ষস্থানীয় কর্তৃপক্ষ, ফোর্টনউয়ের একটি সংশয়মূলক মতামত: [1]

একটি বিশাল পর্বত বিবেচনা করুন এবং আপনি পর্বতমালার উপরে পৌঁছাতে চান। কেতন পাশাপাশি এসে বলল যে তিনি আপনাকে শিখিয়ে দেব কীভাবে পাহাড়ে আরোহণের জন্য প্রয়োজনীয় সরঞ্জামগুলি কীভাবে তৈরি করা যায়। এটি অধ্যয়নের এক কঠিন মাস সময় নেবে এবং আসলে এই সরঞ্জামগুলি পর্বতমালায় আরোহণের পক্ষে যথেষ্ট ভাল নয়। তাদের উন্নতি করা দরকার এবং এই উন্নতিগুলি আপনার জীবদ্দশায় ঘটবে না। তবে আপনি কী শিখতে চান না যে এখন থেকে অন্যরা কীভাবে পাহাড়ে উঠবে?

[1] পি ফোর্টনো ব্লগের চেয়ে এনপি কীভাবে আলাদা তা প্রমাণ করবেন

[২] পি বনাম এনপি রেগানের কাছে মুলমুলি-সোহনি দৃষ্টিভঙ্গি বোঝা

[3] পি বনাম এনপি এবং জ্যামিতিক জটিল জটিলতা থিওরি মুলমুলায়

[৪] জিসিটি প্রোগ্রাম পি বনাম এনপি সমস্যাটি মুলমুলেয়ের দিকে

— vzn
সূত্র

আরো দেখুন পরিচিতি জন্য জ্যামিতজ্ঞদের: জ্যামিতিক জটিলতা তত্ত্ব জে এম Landsberg

— vzn