এনপি-কমপ্লিট সমস্যার মধ্যে বহুবর্ষীয়ভাবে সমাধানযোগ্য সমস্যাগুলির জন্য কি খুব বড় একটি লুকানো উপসেট থাকতে পারে?

Question

ধরুন পি! = এনপি।

আমরা জানি যে আমরা যে কোনও সময় 3-SAT এর সহজ দৃষ্টান্ত তৈরি করতে পারি। আমরা শক্ত উদাহরণস্বরূপ যা বিশ্বাস করি তা উত্পন্ন করতে পারি (কারণ আমাদের অ্যালগরিদমগুলি সেগুলি দ্রুত সমাধান করতে পারে না)। কঠোর উদাহরণস্বরূপ ছোট হওয়া থেকে কোনও শক্ত পরিস্থিতি সেটকে প্রতিরোধ করার মতো কিছু আছে কি না, যতক্ষণ না কোনও নির্দিষ্ট আকারের (এন) আকারে পলি (এন) (বা এমনকি ধ্রুবক) আকারের পলি (এন) বা তার চেয়ে ছোট আকার রয়েছে?

যে কোনও শক্ত 3-স্যাট উদাহরণের জন্য, আমাদের এনপি-কমপ্লিটনেস হ্রাস চক্রের মধ্য দিয়ে লুপিংয়ের মাধ্যমে হ্রাস করা সমস্ত 3-স্যাট উদাহরণগুলির সেটটি যুক্ত করতে হবে, তবে আমি এটিকে খুব শক্ত উদাহরণগুলির সংখ্যায় যোগ করার পূর্বেই আশা করি না I ।

এই বিশ্বে আমরা একটি অ্যালগরিদম তৈরি করতে পারি যা ব্যতিক্রমী কয়েকটি বাদ দিয়ে বহু এনপি সম্পূর্ণ সমস্যা সমাধান করে।

সম্পাদনা: প্রশ্নের একটি নরম রূপ: এমনকি যদি আমরা পি! = এনপি দেখিয়েছি, তবে আমরা কীভাবে জানতে পারি যে একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতিতে এন 3-স্যাট সমস্যা উত্পন্ন করার জন্য কিছু প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা রয়েছে যা উত্পন্ন হয়? যদি একা পি! = এনপি থেকে জানার উপায় না থাকে তবে আমরা কী শক্ত এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা তৈরি করতে পারি তা দেখাতে কী প্রয়োজন?

Comments

হ্যাঁ. এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে are এটি সম্ভব যে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার বেশিরভাগ দৃষ্টান্ত দক্ষতার সাথে সমাধানযোগ্য। তবে রাসেল ইম্পাগলিয়াজো এমন একটি বিশ্ব (প্যাসিল্যান্ড) প্রস্তাব করেছিলেন যেখানে গড়-কেস এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা রয়েছে তবে একমুখী ফাংশন বিদ্যমান নেই। এই বিশ্বে আমরা জ্ঞাত সমাধান সহ এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার শক্ত উদাহরণ তৈরি করতে পারি না।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

যদি প্রতিটি দৈর্ঘ্যের শক্ত উদাহরণগুলির সেটটি বহুত্বপূর্ণভাবে ছোট হয় তবে পি / পলিতে এনপি থাকে। এটি দেখার অন্যান্য উপায়ও রয়েছে, হুরপ অনুসন্ধান করুন।

— কাভেহ

এই প্রশ্নের আপনার ঠিকানা সম্পাদনা করুন বলে মনে হয় - আমরা (determinstically) স্যাট কঠিন দৃষ্টান্ত তৈরি করতে পারেন যদি এবং কেবল ইউনারী যদি ইউনারী । $\mathsf{NP} \neq$$\mathsf{P}$

— usul

@ সারিলহর-পিল্ড বিশেষত, এনপি সাবটেক পি / পলি পিএইচ দ্বিতীয় স্তরে পতিত হয়েছে, যা পি! = এনপির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। $\subseteq$

— সুরেশ ভেঙ্কট

সবচেয়ে খারাপ-কেস এবং এনপির গড়-কেস কঠোরতার সাথে সংযুক্ত হওয়ার কোনও উপায় নেই। তবে "হালকা" গড়-কেস দৃ .়তার সাথে "দৃ strong়" গড়-কেস দৃness়তার সাথে সংযুক্ত করার উপায় রয়েছে। আমার থিসিস উভয়ের জন্য একটি সূচনা পয়েন্ট। ccs.neu.edu/home/viola/papers/thesis.pdf

— মনু

Answer 1

1) ঠিক কী বোঝানো হয়েছিল তার উপর নির্ভর করে কাভের পর্যবেক্ষণে উপসংহারটি আরও শক্তিশালী করা যায় $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ প্রতি $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$, মূলত মহানির উপপাদ্য ব্যবহার করা। এটি হ'ল যদি কোনও অ্যালগরিদম থাকে যা SAT সমাধান করে এবং সময় মতো চালায়$\leq p(n)$ দৈর্ঘ্যের সব ক্ষেত্রে $n$ সম্ভবত বাদে $q(n)$ যেমন উদাহরণস্বরূপ, যেখানে $p$ এবং $q$ উভয়ই বহুবচন, তবে বাস্তবে $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$। দেখুন, উদাহরণস্বরূপ মায়ার এবং প্যাটারসন এবং এর উল্লেখগুলি বা শোনিংয়ের মনোগ্রাফ "জটিলতা এবং কাঠামো" । সুতরাং এটি যদি আপনার "কঠোর দৃষ্টান্তগুলির" ধারণাটি ক্যাপচার করে তবে এর চেয়ে আরও বেশি কিছু থাকতে হবে$poly(n)$ প্রত্যেকের জন্য অনেক শক্ত উদাহরণ $n$, ধরে নিচ্ছি $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$।

এফওয়াইআই, এই জাতীয় অ্যালগরিদমগুলিকে মাঝে মধ্যে "প্রায় বহুবর্ষ সময়" (আরও আধুনিক জটিলতা শ্রেণীর সাথে বিভ্রান্ত না করার জন্য) "অ্যাপ্ট" বা "এপিটি" অ্যালগরিদম হিসাবে চিহ্নিত করা হয় $\mathsf{almostP}$যা সমান হয় $\mathsf{BPP}$)।

2) উপরেরগুলি নীচে আরও জোরদার করা যেতে পারে। ধরে$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$। তারপরে উপরের অংশটি বলে যে কোনও অ্যালগরিদম সমাধানের জন্য স্যাট এবং যে কোনও বহুপদী রয়েছে$p$, অতি-বহুভুজ আকারের উদাহরণগুলির একটি সেট রয়েছে যার উপরে অ্যালগরিদম তার চেয়ে বেশি নেয় $p(n)$সময়। তবে সেটটি অ্যালগরিদমের উপর নির্ভর করতে পারে।

শক্তিশালী ফলাফল কোয়ান্টিফায়ারগুলিকে স্যুইচ করে এবং উপসংহারে আসে: একটি অতি-বহুভুজ আকারের সেট এইচ ("হার্ড" এর জন্য) রয়েছে যে কোনও অ্যালগোরিদম এ সলিং স্যাট এবং যে কোনও বহুপদী পি এর জন্য, এ এর ​​চেয়ে বেশি লাগে $p(n)$এইচ-এর চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি উপাদানকে সময় দেয় এই জাতীয় এইচকে একটি জটিলতা কোর বলে (আকার অনুমান করা জটিলতা সংজ্ঞাটির অংশ নয়)। সংজ্ঞা ও জটিলতা কোর অস্তিত্ব দ্বারা দেওয়া হয় লিঞ্চ । আমি সবেমাত্র উদ্ধৃত ফলাফলটি অর্পোনেন এবং শোনিং দ্বারা প্রমাণিত ।

Answer 2

ইমপাগলিয়াজোর বিখ্যাত "পাঁচ বিশ্বের" কাগজের কথা কেউ উল্লেখ করেনি।

http://www.cs.ucsd.edu/users/russell/average.ps

Comments

এটি প্রথম মন্তব্য দ্বারা রেফারেন্স করা হয়েছিল?

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 3

এই প্রশ্নের অন্য একটি কোণ (মহানয়ের উপপাদ্য থেকে রেফার বাইরে)। স্যাট-এর "ট্রানজিশন পয়েন্ট" হ'ল ইজি বনাম হার্ড ইন্সট্যান্ট ডিস্ট্রিবিউশনের এই ঘটনার সমীক্ষা একটি "সমালোচনামূলক বিন্দু" এর আশেপাশে যেখানে শক্ত উদাহরণগুলির সম্ভাবনা সর্বাধিকতর হয়। বিষয়টির সাহিত্য দীর্ঘ এবং জটিল। এটি অভিজ্ঞতা এবং বিশ্লেষণাত্মক উভয় পদ্ধতির আছে। এর পদার্থবিজ্ঞান / থার্মোডিনামিক্সের সাথে গভীর সম্পর্ক রয়েছে। [3] দুর্ভাগ্যক্রমে এই অত্যন্ত তাত্পর্যপূর্ণ এবং মৌলিক জটিলতার তত্ত্ব বিষয়টিতে কোনও উইকিপিডিয়া প্রবেশ নেই। এছাড়াও, বিষয়টিতে অনেকগুলি সামগ্রিক বা "স্ট্যান্ডার্ড" জরিপ বলে মনে হচ্ছে না। স্যাট [1] এবং সাধারণভাবে টিসিএস পর্বের রূপান্তর শুরু করার জন্য এখানে একটি সাম্প্রতিক রেফ রয়েছে [[4] আপনার প্রশ্নটি "একটি সত্যিই ভাল উত্তর মূলত প্রায় একটি পি হতে পারে একটি বিভাগে পড়ে$\stackrel{?}{=}$এনপি প্রুফ। "

কঠোর উদাহরণস্বরূপ ছোট হওয়া থেকে কোনও শক্ত পরিস্থিতি সেটকে প্রতিরোধ করার মতো কিছু আছে কি না, যতক্ষণ না কোনও নির্দিষ্ট আকারের (এন) আকারে পলি (এন) (বা এমনকি ধ্রুবক) আকারের পলি (এন) বা তার চেয়ে ছোট আকার রয়েছে?

আবার মহানয়ের উপপাদ্য (কিছুটা ভিন্ন উপায়ে বর্ণিত) সরাসরি এর উত্তর দেয়। এটি দেখার আরেকটি উপায় হ'ল কিছু কী / বৈশিষ্ট্যযুক্ত উপায়ে দৃষ্টান্ত বিতরণকে সংকুচিত করার প্রচেষ্টা এনপি-সম্পূর্ণ ফাংশনগুলির দিকে পরিচালিত করে। মনোোটোন সার্কিট জটিলতার এটির একটি উদাহরণ হ'ল "স্লাইস ফাংশন" [

[1] ফেজ ট্রানজিশন লিন জু, হোলার এইচ। হুস, কেভিন লেটন-ব্রাউন এ সন্তুষ্টির পূর্বাভাস

[২] পল ই এস ডান: সেন্ট্রাল স্লাইস ফাংশনগুলির জটিলতা। Theor। Comput। সী। 44: 247-257 (1986)

[3] বিশৃঙ্খলা সন্তুষ্টিজনিত সমস্যার বিশ্লেষক এবং অ্যালগরিদমিক সমাধান এম। মিজার্ড, জি। প্যারাসি, আর জেকিনা

[৪] এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার মধ্যে পর্যায়ক্রমে রূপান্তর: মুর দ্বারা সম্ভাব্যতা, সংযোজক এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের জন্য একটি চ্যালেঞ্জ