এক সেট ম্যাট্রিকের সমস্ত পণ্য শেষ পর্যন্ত শূন্যের সমান কিনা তা পরীক্ষা করা হচ্ছে

Question

আমি নিম্নলিখিত সমস্যাটিতে আগ্রহী: প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যার ম্যাট্রিক্স $A_1,A_2, \ldots, A_k$ সিদ্ধান্ত নিয়েছে যে এই ম্যাট্রিকগুলির প্রতিটি অসীম পণ্য শেষ পর্যন্ত শূন্য ম্যাট্রিক্সের সমান হয় কিনা।

এই উপায়ে ঠিক আপনি কি মনে করেন এটা আছে: আমরা বলবে ম্যাট্রিক্সের সেট $\{A_1, \ldots, A_k\}$ সম্পত্তি যে তার পণ্য অবশেষে সমান শূন্য সব যদি না হয়েছে না অসীম অনুক্রম অস্তিত্ব $i_1, i_2, i_3\ldots$ সব $\{1, \ldots, k\}$ , যেমন যে

$$A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_l} \neq 0$$ সবার জন্য $l$ ।

প্রতিটি পণ্য অবশেষে শূন্যের সমান হওয়ার আগে কি অধ্যয়ন করা হয়েছিল তা নিয়ে সমস্যা আছে? এটা কি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য?

দেখে মনে হচ্ছে এটি ম্যাট্রিক্সের মৃত্যুর সাথে সম্পর্কিত হতে পারে, যা অনির্বাচ্য, তবে আমি একটি স্পষ্ট সংযোগ দেখতে পাচ্ছি না।

Comments

অসীম পণ্যটি সংজ্ঞায়িত হয়েছে তা নিশ্চিত করতে আপনার ম্যাট্রিকের সেটে এক ধরণের কনভার্জেনশন সম্পত্তি প্রয়োজন।

— অ্যান্ড্রেস সালামন

আপনি কি সসীম ক্ষেত্রে কাজ করছেন বা আনবাউন্ডেড বৃদ্ধি সহ পূর্ণসংখ্যার? $k$ = 1 ক্ষেত্রে এটা নিজস্ব ডানদিকে আকর্ষণীয়। 5x5 ম্যাট্রিক্সে -100 থেকে 100 পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যা ব্যবহার করে, জিরোস বের হওয়ার আগে আপনি যে সর্বোচ্চ শক্তি পেতে পারেন?

— চাদ ব্রিউবেকার

@ ইউভালফিল্মাস - আমি বিশ্বাস করি এটি মৃত্যুহার থেকে আলাদা। ম্যাট্রিকের মাত্রাগুলি হতে দিন , যাতে আমাদের কেবল সংখ্যা থাকে এবং ধরুন A 0 = 0 , A 1 = 1 । মরটাল? হ্যাঁ কারণ এ 0 = 0 । প্রতিটি পণ্য সমান? নং: না পণ্যের 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋯ । অন্যদিকে, যদি A 0 = 0 , A 1 = 0 হয় তবে আপনার একটি ক্রম রয়েছে যা উভয়ই প্রাণঘাতী এবং প্রতিটি পণ্য শূন্য। $1$$A_0 = 0, A_1=1$$A_0 = 0$$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots$$A_0=0,A_1=0$

— রবিনসন

@ চ্যাডব্রেউবেকার - আমি ভাবছিলাম যে ম্যাট্রিকগুলির প্রবেশ কেবলমাত্র পূর্ণসংখ্যা। আমি অনুমান করি যে দৃষ্টিকোণ থেকে আকর্ষণীয়: ঠিক কতটা অপারেশন আপনার মেট্রিক্স নিলপোটেন্ট তা পরীক্ষা করতে হবে? মনে রাখবেন যদি একটি nilpotent হয়, তাহলে এটা সহজ কিনা দেখতে যে একটি এন = 0 যেখানে এন মাত্রা হল একটি , যাতে সম্ভবতঃ আপনি ম্যাট্রিক্স বর্গ দ্বারা এটি সমাধান করতে পারে লগ এন বার। আপনি যদি এটি করতে পারেন তবে এটি সেরা কিনা আমার কোনও ধারণা নেই। $k=1$$A$$A^n = 0$$n$$A$$\log n$

— রবিনসন

মজার বিষয় হল এটি কেবল: arxiv.org/abs/1306.0729 । সমস্ত পণ্য শেষ পর্যন্ত শূন্য কিনা তা জিজ্ঞাসার পরিবর্তে তারা জিজ্ঞাসা করে যে কোনও পণ্য শেষ পর্যন্ত ইতিবাচক কিনা। তারা দেখায় যে সমস্যাটি এনপি-হার্ড (বা কমপক্ষে এটি আমি বিমূর্ত থেকে সংগ্রহ করি) gather

— জোশুয়া গ্রোচো

Answer 1

আপনার প্রশ্নটি নীলপোটেন্ট বীজগণিত উত্পন্ন করে কিনা এর সমতুল্য , যা ঘুরতে ঘুরতে A আমি নিলপোটেন্ট হচ্ছে তার প্রত্যেকটির সমান । সুতরাং এটি কেবলমাত্র সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্যই নয়, ˜ O ( n 2 ω ) সময়ে যেখানে mat ম্যাট্রিক্সের গুণকের প্রকাশক।$A_1, \dotsc, A_k$$A_i$$\tilde O(n^{2 \omega})$$\omega$

যাক মিশুক দ্বারা উত্পন্ন বীজগণিত হতে একজন আমি : যে সব রৈখিক সমন্বয় নিতে একটি আমি এবং তার সব সসীম পণ্য। A কে nilpotent বলা হয় যদি এমন কিছু N থাকে যে A এর N উপাদানগুলির প্রতিটি পণ্য শূন্য হয়।$\mathcal{A}$$A_i$$A_i$$\mathcal{A}$$N$$N$$\mathcal{A}$

প্রথমত, দেখা যাক কেন আপনার অবস্থা যে বোঝা nilpotent হয়। এই König এর থিম (সংহতি) থেকে অনুসরণ করে: দৈর্ঘ্য প্রতিটি স্ট্রিং এন বর্ণমালা ধরে { 1 , ... , ট } এর একটি পণ্য সাথে সঙ্গতিপূর্ণ একটি 1 , ... , একটি ট দৈর্ঘ্যের এন একটি সুস্পষ্ট পদ্ধতিতে। অসীম বিবেচনা ট -ary মূলী গাছ, যার নোড উপর স্ট্রিং সঙ্গে bijective চিঠিপত্রের প্রাকৃতিকভাবে হয় { 1 , ... , ট } । উপ-গাছ টি বিবেচনা করুন$\mathcal{A}$$n$$\{1, \dotsc, k\}$$A_1, \dotsc, A_k$$n$$k$$\{1, \dotsc, k\}$$T$যে নোডগুলি সমন্বিত যেখানে এর সাথে সম্পর্কিত পণ্যটি নানজারো। কোনিগের লেমা বলেছেন যে টি যদি অসীম হয় তবে এর অনন্ত পথ রয়েছে (ঠিক আপনার সম্পত্তি লঙ্ঘন করা) তাই টি সীমাবদ্ধ। তারপরে আমরা টি তে যে কোনও স্ট্রিংয়ের সর্বাধিক দৈর্ঘ্য হতে N কে নিতে পারি । সুতরাং আপনার সম্পত্তি বোঝায় যে এ নিলপোটেন্ট।$A_i$$T$$T$$N$$T$$\mathcal{A}$

বিপরীতটি, সত্য থেকে প্রতিটি উপাদান পণ্য একটি রৈখিক সমন্বয় একজন আমি ।$\mathcal{A}$$A_i$

এরপরে, নোট করুন যে n × n ম্যাট্রিক্সের একটি subalgebra , এবং তাই সীমাবদ্ধ-মাত্রিক।$\mathcal{A}$$n \times n$

পরিশেষে: বৈশিষ্ট্যযুক্ত শূন্যের একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক সংশ্লেষ বীজগণিতের নীলপোটেন্ট উপাদানগুলির একটি ভিত্তি রয়েছে (চলাচল করা বা না - এটি সেই অংশ যা যুবালের উত্তরের বিপরীতে রয়েছে) যদি এটি শোষক হয় (দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, এখানে )।

সুতরাং, আপনার সমস্যা সমাধানের জন্য, (প্রস্থ-প্রথম অনুসন্ধানের লিনিয়ার-বীজগণিত সংস্করণ দ্বারা) উত্পাদিত সহযোগী বীজগণিতের জন্য একটি ভিত্তিক সন্ধান করুন এবং দেখুন যে ভিত্তিতে প্রতিটি ম্যাট্রিক্স শূন্যপরায়ণ। উপরের সীমানা ˜ O ( n 2 ω ) প্রস্থ-প্রথম অনুসন্ধানে এন 2 ভেরিয়েবলগুলিতে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করে আসে । অস্পষ্ট A ≤ n 2 হিসাবে বিএফএস খুব বেশি দিন স্থায়ী হতে পারে না এবং কারণ এগুলি ম্যাট্রিক্স এ নিলপোটেন্ট কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য n × n ম্যাট্রিক্স কেবল একটি এন$A_i$$\tilde O(n^{2\omega})$$n^2$$\dim \mathcal{A} \leq n^2$$n \times n$$A$ ।$A^n = 0$

Comments

Do you think there is a way to show this without using any choice principles (even one as weak as König's Lemma, which is equivalent to $\text{AC}_\omega$)?

— András Salamon

@Andras: I'd say that's a question for Chris Conidis. He's studied questions like that in (computable) reverse mathematics. I'll ask him and point him here.

— Joshua Grochow

@robinson: 1) Yes, the problem is decidable, in fact in $O(n^{2\omega})$ time where $\omega$ is the exponent of matrix multiplication. This comes from solving systems of linear equations over $\mathbb{Q}$ when doing the linear algebra breadth-first search. 2) Yes, usual notion of basis when viewing the matrices as vectors in $\mathbb{Q}^{n^2}$ (or over $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$).

— Joshua Grochow

You start with a basis $\mathcal{B}$ of $\mathcal{A}$. Now you try to find matrices $A \in \mathcal{A}$ and $B \in \mathcal{B}$ such that $AB$ or $BA$ is not in the span of $\mathcal{B}$. If you succeed, add the product to $\mathcal{B}$ and continue. Otherwise, multiplying any matrix in the span of $\mathcal{B}$ by any finite product of matrices in $\mathcal{A}$ always ends up in the span of $\mathcal{B}$. Since the dimension of the algebra is bounded, the process terminates (in at most $n^2$ steps).

— Yuval Filmus

@robinson: No. If the algebra is nilpotent, then every element of the algebra is nilpotent. So if you find any non-nilpotent element then the algebra is not nilpotent (and then there are infinite products of your matrices which are never zero).

— Joshua Grochow

Answer 2

I got a poly-time algorithm for this (rather trivial problem)problem, i.e. for checking whether the joint spectral radius(JSR) is zero or not, in 1995: http://en.wikipedia.org/wiki/Joint_spectral_radius

The story behind the algorithm is roughly as follows: Blondel and Tsitsiklis wrongly stated that for boolean matrices checking whether JSR < 1 is NP-HARD. For any set of integer matrices JSR is ether zero or greater or equal 1. So the counter example to their statement was my algorithm(see the errata to their paper). The main moral: consult the Wikipedia first!

Answer 3

The question you are asking is exactly equivalent to deciding whether the joint spectral radius (JSR) of the set of matrices is strictly less than one. Decidability of this question has remained open for quite some time now. (In control theory, this is equivalent to decidability of stability of switched linear systems under arbitrary switching.)

The following variant of your question is known to be undecidable: Given a finite set of square matrices, decide whether all products remain bounded; see here.

The undecidability of the above remains valid even if you have only 2 matrices of size 47x47: see here.

In the JSR language, the question of testing "is JSR $\le 1$?" is undecidable (see references above), but decidability of testing "is JSR $< 1$?" is open. The latter question is related to the so-called "rational finiteness conjecture": If the rational finiteness conjecture is true, then the question you are asking is decidable.

Finally, unless P=NP, the JSR is not approximable in polynomial time (in the precise sense defined in this paper).

As a result, one of the answers above which claims an efficient algorithm must be false.

On the positive side, there are several algorithms (e.g. based on semidefinite programming) for approximating the JSR. The different algorithms come with different performance guarantees. See e.g. the following (shamelessly by myself and my colleagues - but see also references therein).

In several special cases, the question you are asking is polynomial time decidable. For example, when the matrices are symmetric, or rank one, or if they commute.

Finally, a great book on the subject is the following.

Comments

Please read the formal statement of the question I asked - it is not equivalent to deciding whether the JSR is strictly less than one. You are, perhaps, misled by the title of the question. In short, I'm asking about every product equaling zero in finite time, rather than in an asymptotic sense.

— robinson

Then the question you are asking is much simpler. The following are equivalent: (i) The condition you define (ii) All finite products are nilpotent (iii) The JSR = 0 (iv) All products of length n are zero (n is the dimension, this is independent of the number of matrices k) . The last condition obviously implies decidability, and if fact you can check the condition in polynomial time. See Section 2.3.1 of the book by Jungers linked at the end of my post. My apologies for thinking that you meant the asymptotic version. (I was misled by the phrase "all products eventually equal zero".)

— Amir Ali Ahmadi

In which case, @AmirAliAhmadi doesn't the answer by Joshua Grochow cover it ?

— Suresh Venkat

It seems to me that it does, with a different algorithm than what I have in mind. (Again, my apologies for thinking that the question was "do all products converge to zero" (i.e., JSR<1?) whose decidability is open.) There are a few differences though with the answer of Joshua. (1) In the equivalence of (i)-(iv) in my previous comment, I don't think Konig's Lemma needs to be used. (2) I don't understand why he is taking linear combinations of the matrices. (3) I copy below a simple alternative algorithm from Section 2.3.1 of the book by Jungers, attributed there to Leonid Gurvits.

— Amir Ali Ahmadi

[continued from above...] All we need to check is whether all products of length $n$ are zero, but there are $k^n$ such matrices. To avoid this, define the following matrices iteratively: $X_0=I,\ X_j=\sum_{i=1}^k A_i^TX_{j-1}A_i$. Then, one has $X_n=\sum_{A\mbox{ product of length n}}A^TA$. This matrix can be computed by $kn$ matrix multiplications, and is zero if and only if all products of length $n$ are zero.

— Amir Ali Ahmadi

Answer 4

Edit: This answer is unfortunately incorrect. The error is highlighted below. The argument does work if we are allowed to transpose the matrices.

We start by proving a lemma.

Lemma. Let $A$ be an $n\times n$ matrix and let $N$ be the $n\times n$ matrix with ones on the secondary diagonal. If $AN^t$ and $N^tA$ are nilpotent for all $t \geq 0$ then $A = 0$. Correct conclusion: $A$ is upper triangular with zeroes on the diagonal. (The original conclusion is recovered if we are also allowed to multiply by powers of the transpose of $N$.)

Proof. Suppose for example that $n = 3$, and write

$$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ We start by calculating $AN^2$: $$AN^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & g \end{pmatrix}.$$ This matrix is in triangular form, and so if $AN^2$ is nilpotent then $g = 0$. Continue with $AN^1$: $$AN^1 = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & h \end{pmatrix}.$$ Again the matrix is in triangular form, and so if $AN^1$ is nilpotent then $d = h = 0$. Continuing, $$AN^0 = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & i \end{pmatrix}.$$ As before, we conclude that $a = e = i = 0$, and so $A$ is upper triangular with zeroes on the diagonal.

If we now consider $N^2A,N^1A,N^0A$ instead, then we conclude that $A$ is lower triangular with zeroes on the diagonal. In fact, we don't get anything new from considering $N^tA$. Therefore $A = 0$. $\square$

This is how the proof would go if the original version of the lemma were correct. Now back to the problem at hand. Say that the matrices $A_1,\ldots,A_k$ satisfy property P if for every infinite sequence $i_1,\ldots \in [k]$, we have $A_{i_1} \cdots A_{i_m} = 0$ for some $m$. If one of the matrices $A_i$ is not nilpotent then property P clearly fails, so suppose that all the matrices are nilpotent. If all matrices commute then property P clearly holds, so suppose that $A_1 A_2 \neq A_2 A_1$. Change basis so that $A_1$ is in Jordan normal form, and let the corresponding decomposition of the vector space be $V_1 \oplus \cdots \oplus V_t$. Let $V_i$ be a vector space on which $A_1 A_2 \neq A_2 A_1$; note that $\dim V_i > 1$ since $0$ commutes with everything. Restricted to $V_i$, $A_1 = N$ and $A_2 \neq 0$. Therefore the lemma implies that for some $t \geq 0$, either $A_2 A_1^t$ or $A_1^t A_2$ is not nilpotent, and therefore property P clearly fails.

Summarizing, property P holds iff all matrices are nilpotent and all of them commute.

Comments

The last sentence of your lemma's proof is not correct. $N^2 A$ nilpotent implies $g = 0$, $N^1 A$ nilpotent gives $d = h = 0$, and $N^0 A$ nilpotent gives $a=e=i=0$. So we only conclude that $A$ is upper triangular with zeros on the diagonal, not that $A$ is diagonal (and hence zero).

— Joshua Grochow

Indeed , this answer is not correct. If no one else does, I'll post a counter example to both the lemma and the final assertion when I get home later today.

— robinson

As usual, it is when something is claimed but not proved that the proof fails. Oh well...

— Yuval Filmus

So the example I had in mind was: $$A_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ One can verify that every product of sufficient length of these two matrices is zero but they don't commute, and the second one is not zero.

— robinson