কখন

Question

ন্যাশ ইক্যুইলিবিরিয়া সাধারণভাবে আপত্তিজনক। একটি$\epsilon$-ন্যাশ ভারসাম্য কৌশলগুলির একটি সেট যেখানে প্রতিপক্ষের কৌশলগুলি দেওয়া, প্রতিটি খেলোয়াড়ের মধ্যেই প্রাপ্ত হয় $\epsilon$সর্বাধিক সম্ভাব্য প্রত্যাশিত পরিশোধের একটি সন্ধান করা$\epsilon$-ন্যাশ ভারসাম্য, দেওয়া $\epsilon$ এবং একটি খেলা, হয় $\mathsf{PPAD}$-complete।

সংজ্ঞাগুলি দ্বারা কঠোরভাবে যেতে, বিশ্বাস করার কোনও বিশেষ কারণ বলে মনে হয় যে প্রদত্ত কৌশলগুলি $\epsilon$-ন্যাশ ভারসাম্য যে কোনও ন্যাশ ভারসাম্যের কৌশলগুলির কাছাকাছি। যাইহোক, আমরা প্রায়শই দেখি যে সাহিত্যে কিছুটা opিলেilyালাভাবে "আনুমানিক গণনা একটি ন্যাশ ভারসাম্য" এর মতো শব্দগুচ্ছ ব্যবহার করা হয় যখন এটি "আনুমানিক-ন্যাশ ভারসাম্যকে গণনা করুন" বলে বোঝায়।

সুতরাং, আমি ভাবছি যখন দ্বিতীয়টি প্রথম বোঝায়; এটি হ'ল আমরা কী গেমসের জন্য আশা করতে পারি$\epsilon$-নাশ ভারসাম্যহীন ন্যাশ ভারসাম্যের "নিকট" হতে হবে?

---

আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, ধরুন আমার একটি খেলা চলছে $n$ খেলোয়াড় এবং কৌশল প্রোফাইলের ক্রম $(s_1^{(1)},\dots,s_n^{(1)}), (s_1^{(2)},\dots,s_n^{(2)}), (s_1^{(3)},\dots,s_n^{(3)}), \dots$।

প্রতি $(s_1^{(i)},\dots,s_n^{(i)})$ ইহা একটি $\epsilon_i$ন্যাশ ভারসাম্য, এবং ক্রম $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,\dots$ শূন্যে রূপান্তরিত হয়।

আমার প্রশ্নগুলো:

1. কখন (কোন অবস্থার / অনুমানের অধীনে) সমস্ত কৌশল একত্রিত হয়? অর্থাৎ প্রতিটি খেলোয়াড়ের জন্য$j$, $s_j^{(1)},s_j^{(2)},s_j^{(3)},\dots$ অগত্যা রূপান্তরিত।

2. আরও কি শর্তে এই ক্রমের সীমাটি আসলে গেমের ন্যাশ ভারসাম্য? (এটি আমার কাছে মনে হয় যে আর কোনও অনুমানের প্রয়োজন হবে না; অর্থাত্ যদি সমস্ত কৌশল রূপান্তরিত হয় তবে সীমাটি NE হওয়া উচিত))

3. যখন কম্পিউটিংয়ের জন্য একটি অ্যালগরিদম হয় $\epsilon$ন্যাশ ভারসাম্যহীনভাবে ন্যাশ ভারসাম্যের প্রায় কম্পিউটিং কৌশলগুলির জন্য একটি অ্যালগরিদম বোঝানো হয়েছে? উপরের শর্তগুলি কি যথেষ্ট?

অনেক ধন্যবাদ!

---

2014-03-19 সম্পাদনা করুন

রাহুলের উত্তরে রেফারেন্স পড়ার পরে, বিষয়টি বিবেচনা করা আরও যুক্তিসঙ্গত বলে মনে হয় $\ell_1$কনভারজেন্ট সিকোয়েন্সের চেয়ে বিতরণগুলির মধ্যে দূরত্ব। সুতরাং আমি প্রশ্নগুলি পুনরায় جواب দেওয়ার চেষ্টা করব এবং সাম্প্রতিক কিছু চিন্তাভাবনাও রাখব।

1. (ঠিক আছে, এটি সত্যই উত্তর দেওয়ার জন্য এটি খুব অ্যালগরিদম নির্ভর। অ্যালগরিদমের উপর কোনও বিধিনিষেধ না থাকলে আপনার দুটি পৃথক ন্যাশ ভারসাম্যতা থাকতে পারে এবং তারপরে, আপনি যখন ছোট এবং ছোট প্লাগ করেন $\epsilon$ অ্যালগরিদম মধ্যে, $\ell_1$ ক্রমাগত আউটপুটগুলির মধ্যে দূরত্ব এখনও বড় হতে পারে কারণ আউটপুটগুলি ভারসাম্যহীনতার মধ্যে দোলায়)

2. অনুমান করা $p$একটি কৌশল প্রোফাইল, প্লেয়ারদের কৌশলগুলির উপরে পণ্য বিতরণ। কি গেমসের জন্য আমরা এটি বলতে পারি$p$ একটি $\epsilon$-ন্যাশ ভারসাম্য বোঝায় $\|p - q\|_1 \leq \delta$কিছু ন্যাশ ভারসাম্য , যেখানে হিসাবে ? (দ্রষ্টব্য যে পেও অফসটি দ্বারা আবদ্ধ হলে কনভার্সটি ধারন করে ))$q$$\delta \to 0$$\epsilon \to 0$$1$

   এটি আসলেই জটিল কারণ আমরা "গেম" বলি এমন জটিলতার সেটিংয়ে আমরা আসলে দ্বারা প্যারামিটারাইজড গেমগুলির ক্রম , শুদ্ধ কৌশলগুলির সংখ্যা ("ক্রিয়া")। সুতরাং হিসাবে এবং আপেক্ষিক হারগুলি গুরুত্বপূর্ণ। উত্তরটি দেখানোর জন্য এখানে একটি সাধারণ পাল্টে দেওয়া নমুনাটি "সমস্ত গেমস" নয়। ধরুন আমরা হ্রাস করার একটি ক্রম ঠিক করেছি । তারপরে প্রতিটি জন্য ক্রিয়াগুলিতে দ্বি-খেলোয়াড়ের গেমটি তৈরি করুন যেখানে কোনও খেলোয়াড় যদি প্রথম ক্রিয়াটি খেলেন, অন্য খেলোয়াড় যা খেলুক না কেন , তারা পয়সা পাবে ; যদি কোনও খেলোয়াড় দ্বিতীয় ক্রিয়াটি খেলেন তবে তারা$n$$n \to \infty$$\epsilon \to 0$$\epsilon_1,\epsilon_2,\dots$$\epsilon_n$$n$$1$$1-\epsilon_n$অন্য খেলোয়াড় যা খেলুক না কেন; এবং যদি কোনও খেলোয়াড় অন্য কোনও ক্রিয়াকলাপ খেলেন, তবে অন্য খেলোয়াড় যা খেলুক তা নির্বিশেষে তারা প্রদত্ত বেতন পাবে।$0$

   সুতরাং প্রতিটি গেম এর একটি epsilon_n -quilibrium থাকে (উভয়ই দ্বিতীয় ক্রিয়া খেলেন) যা তার একমাত্র ন্যাশ ভারসাম্য থেকে distance দূরত্বে (উভয়ই প্রথম ক্রিয়াটি খেলুন)।$n$$\epsilon_n$$\ell_1$

   সুতরাং, দুটি আকর্ষণীয় উপ-প্রশ্ন:

   1. একটি নির্দিষ্ট খেলার জন্য এবং স্থির , "ছোট যথেষ্ট" জন্য কিনা উপরে শর্ত ঝুলিতে (সমস্ত -equilibria ন্যাশ ভারসাম্য কাছাকাছি)।$n$$\epsilon$$\epsilon$
   2. সম্ভবত একই প্রশ্নটি মূলত, তবে শর্তটি কিনা পরিশোধের ক্ষেত্রে পার্থক্যগুলি হিসাবে ধ্রুবক দ্বারা আবদ্ধ হয় কিনা ।$n \to \infty$

3. একই প্রশ্ন (2), তবে অ্যালগোরিদম দ্বারা গণনা করা আসল ভারসাম্য সম্পর্কিত। আমি অনুমান করি সম্ভবত আমরা হয় আলগোরিদিম / গঠনমূলক উত্তর পাব বা মোটেও কিছুই পাব না, তাই পার্থক্যটি খুব বেশি গুরুত্বপূর্ণ নয়।

Comments

সর্বদা একটি সীমা বিন্দু থাকে যার সাথে অ্যাপসিলন-ভারসাম্যহীনতার একটি উপ-অনুক্রম হয় এবং এই সীমাটি ন্যাশ ভারসাম্যহীন একটি সঠিক ভারসাম্য হয়। এটি মিশ্র কৌশল প্রোফাইলগুলির স্পেসের সংক্ষিপ্তকরণ এবং মিশ্র কৌশল সম্ভাবনার ফাংশন হিসাবে ইউটিলিটি ফাংশনের ধারাবাহিকতার দ্বারা বোঝানো হয়। $(s_1^* ... s_n^*)$

— নওম

Answer 1

নিম্নোক্ত কাগজটি কমপক্ষে আনুষ্ঠানিক ভারসাম্যহীনতার সাথে সঠিক ভারসাম্যের খুব কাছাকাছি থাকার ধারণাটি আনুষ্ঠানিক করে এবং কিছু সম্পর্কিত কাঠামোগত ফলাফল প্রমাণ করে।

প্রাণজাল અવস্তি, মারিয়া-ফ্লোরিয়া বালকান, অ্যাভিরাম ব্লুম, বা শেফেট, এবং সন্তোষ ভেম্পালা (২০১০)। আনুমানিক-স্থিতিশীল গেমগুলির ন্যাশ সাম্যাবস্থায়। অ্যালগোরিদমিক গেম তত্ত্ব (SAGT'10), 78-89-এর তৃতীয় আন্তর্জাতিক সম্মেলনের কার্যক্রমে In

বিশেষত, কাগজটি প্রশ্ন 3 এর জন্য এক শ্রেণির গেমের উদাহরণ দেয়।

Comments

ধন্যবাদ! আমি অনুমান করি এটি শিল্পের রাজ্য। আমি আমার প্রশ্নে কিছু চিন্তা যুক্ত করব।

— usul