বহুবর্ষের সময়তে আপনি দুটি ক্রমের যোগফল সনাক্ত করতে পারেন?

Question

ছিল দুই প্রশ্নের cs.se যেগুলি হয় এর সাথে সম্পর্কিত দেখেছিলেন অথবা নিচের প্রশ্নগুলোর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে সমতুল্য ছিল সম্প্রতি জিজ্ঞেস করেন:

ধরুন আপনার কাছে এর ক্রম রয়েছে যেমন দুই একাধিক বিন্যাসন, এর সমষ্টি সেটিকে পচা এবং , এর , যাতে । n ∑ n i = 1 a i = n ( n + 1 ) । π σ 1 … n a i = π i + σ $a_1, a_2, \ldots a_n$$n$$\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$$\pi$$\sigma$$1 \dots n$$a_i = \pi_i + \sigma_i\,$

কিছু প্রয়োজনীয় শর্ত রয়েছে: যদি এমনভাবে বাছাই করা হয় যাতে , তবে আমাদের অবশ্যইa 1 ≤ a 2 ≤ … ≤ a $a_i$$a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$

$$\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1).$$

তবে এই শর্তগুলি পর্যাপ্ত নয়। আমি এই গণিতের উত্তর থেকে প্রশ্ন করেছি, প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করে, 5,5,5,9,9,9 ক্রমটি দুটি অনুক্রমের যোগফল হিসাবে ক্ষয় করা যায় না (1 বা 5 উভয়ই কেবল এই বিষয়টি ব্যবহার করে এটি দেখতে পাবে) 4 এর সাথে জুড়ি দেওয়া)।

সুতরাং আমার প্রশ্ন: এই সমস্যার জটিলতা কী?

Comments

বিটিডাব্লু, একটি সাধারণ প্রকরণ আমার মনে আসে এবং আমি এর জটিলতা সম্পর্কে নিশ্চিত নই। আপনি বহুপদী সময়ে দুটি ক্রম নির্ধারিত বিন্দু ফ্রি যোগফল সনাক্ত করতে পারেন? (আমরা চাই যে দুই একাধিক বিন্যাসন প্রতিটি অবস্থানে অসম্মতি অর্থাত সবার জন্য )$\pi_i \ne \sigma_i$$i$

— মোহাম্মদ আল-Turkistany

Answer 1

না, আপনি পি = এনপি না থাকলে বহুবর্ষে দুটি ক্রমের যোগফল সনাক্ত করতে পারবেন না। আপনার সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ, যেহেতু আপনার সমস্যার সিদ্ধান্তের সংস্করণ এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার সমতুল্য - টার্গেটের অঙ্কের সাথে সংখ্যাসূচক মিল:$2$

ইনপুট: ক্রম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা জন্য, , জন্য∑ $a_1, a_2, \ldots a_n$1≤ai≤2n1≤i≤$\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$$1 \le a_i \le 2n$$1 \le i \le n$

প্রশ্ন: করছেন দুই একাধিক বিন্যাসন এবং যেমন যে জন্য ?ψ 2 ψ 1 ( i ) + ψ 2 ( i ) = এ i 1 ≤ i ≤ $\psi_1$$\psi_2$$\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$$1\le i \le n$

রেফারেন্সে, NUMERICAL 3-DIMENSIONAL ম্যাচিং (আরএন 3 ডিএম) এর একটি মারাত্মকভাবে সীমাবদ্ধ রূপটি এনপি-সম্পূর্ণরূপে প্রমাণিত হয়েছিল।

আরএন 3 ডিএম, একটি মাল্টিসেট পূর্ণসংখ্যার এবং একটি পূর্ণসংখ্যা যেমন যে , সেখানে রয়েছে দুই একাধিক বিন্যাসন এবং যেমন যে , জন্য ?$U = \{u_1, . . . , u_n\}$Σ এন ঞ = 1 তোমার দর্শন লগ করা ঞ + + এন ( N + + 1 ) = ঢ ই λ μ তোমার দর্শন লগ করা ঞ + + λ ( ঞ ) + + μ ( ঞ ) = ঙ ঞ = 1 , । । । , $e$$\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$$\lambda$$\mu$$u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$$j = 1, . . . , n$

লক্ষ্য অঙ্কের সমস্যা সহ আরএন ডিএম থেকে সংখ্যাসূচক ম্যাচিংয়ে সহজ হ্রাস রয়েছে: আরএন ডিএম এর একটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে। আমরা জন্য তৈরি করে সংশ্লিষ্ট উদাহরণটি তৈরি$2$$a_i= e-u_i$$1 \le i \le n$

ডব্লু। ইউ, এইচ। হুগভিন এবং জে কে লেনস্ট্র্রা। বিলম্ব এবং ইউনিট-টাইম ক্রিয়াকলাপ সহ দুটি মেশিনের ফ্লো শপে মেকপ্যান্স হ্রাস করা এনপি-হার্ড । নির্ধারিত জার্নাল, 7: 333–348, 2004

1 ই অক্টোবর সম্পাদনা করুন : আপনার সমস্যাটিকে পারমুটেশন Sums বলা হয়। স্টিভ হেডটেনিয়েমির যৌথ উদ্যোগে ওপেন সমস্যাগুলিতে এটি 1998 সাল থেকে তালিকাভুক্ত ।

Comments

উত্তর করার জন্য ধন্যবাদ. আমি উত্তর দিলাম থাকেন এক যা এই এক (যা একটি ফর্ম ছিল না আপনার অবগতির করে সরাসরি উত্তর দিলেন) অনুপ্রাণিত cs.se উপর সমস্যার, কিন্তু আমি মনে করি আপনি উত্তর দিতে প্রথম সুযোগ থাকা উচিত দ্বিতীয় যেহেতু উত্তর দেওয়া হয় আপনার রেফারেন্সে

— পিটার শোর

অনেক অনেক ধন্যবাদ পিটার। আমি আনন্দিত যে আমি আপনাকে সহায়তা করতে পেরেছি। আমি মনে করি আপনি আরও ভাল উত্তর দিতে হবে। সুতরাং, দয়া করে এগিয়ে যান এবং সেই প্রশ্নেরও উত্তর দিন।

— মোহাম্মদ আল-তুরস্কিস্তি

উপরের ওয়েব পৃষ্ঠায় এটি উপস্থিত হওয়ার সাথে সাথে সমস্যার বিবৃতিটি এখানে রয়েছে: পারমুটেশন সम्स [চেস্টন, 198X] ইনস্ট্যান্স: ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার একটি অ্যারে এ [1..n]। প্রশ্ন: ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার {1,2, ..., n two এর দুটি ক্রিয়াকলাপ রয়েছে কি যেমন 1 <= i <= n, r (i) + s (i) = A [i] ?

— মোহাম্মদ আল-তুর্কিস্তানি

Answer 2

অন্যদিকে, মার্শাল হল দেখিয়েছে যে দুটি আদেশের পার্থক্য সহজেই সনাক্ত করা সম্ভব ।

Comments

মার্শাল হলের উপপাদ্য পাশাপাশি সমষ্টি ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, কিন্তু উভয় পার্থক্য এবং সমষ্টি মডিউল নির্ণিত করা থাকতে হবে তার ফলাফলের প্রয়োগ করার জন্য। ওভার টু Z , উভয় সমষ্টি এবং পার্থক্য দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হয়। $n$$\mathbb{Z}$

— পিটার শর

@ পিটারশোর সম্পূর্ণতার জন্য, দয়া করে দুটি আদেশের পার্থক্য চিহ্নিত করার জন্য এনপি-সম্পূর্ণতার প্রমাণ স্কেচ সরবরাহ করে আপনার মন্তব্যটি পৃথক উত্তর হিসাবে পোস্ট করুন।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তিনি

সম্পূর্ণতার জন্য: ধরুন আমরা দুটি একাধিক বিন্যাসন আছে এবং π । তারপরে আমাদের কাছে ˉ π ( i ) = n + 1 - π ( i ) এছাড়াও একটি ক্রমবিন্যাস। এখন, যদি φ + + π multiset হয় { এক্স 1 , x এর 2 , ... , x এর এন } , তারপর φ - ˉ π multiset হয় { এক্স 1 - ( এন + + 1 $\phi$$\pi$$\bar{\pi}(i) = n+1 - \pi(i)$$\phi+\pi$$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$$\phi-\bar{\pi}$ । উদাহরণস্বরূপ, { - 2 , - 2 , - 2 , 2 , 2 , 2 } দুই একাধিক বিন্যাসন একটি পার্থক্য যেমন কারণ প্রতিনিধিত্ব করা যাবে না { 5 , 5 , 5 , 9 , 9 , 9 } না দুই একাধিক বিন্যাসন পরিধি এ পর্যন্তই।$\{x_1-(n+1), x_2-(n+1), \ldots, x_n-(n+1)\}$$\{-2,-2,-2,2,2,2\}$$\{5,5,5,9,9,9\}$

— পিটার শোর