সূচকীয় ফাংশনের জটিলতা

আমরা জানি যে প্রাকৃতিক সংখ্যার চেয়ে বেশি ফাংশন বহুবর্ষের সময় গণনাযোগ্য নয়, কারণ আউটপুটটির আকার ইনপুটগুলির আকারের ক্ষেত্রে বহিরাগতভাবে আবদ্ধ হয় না। $\exp(x,y) = x^y$

সূচকীয় ফাংশনটি গণনা করতে অসুবিধার মূল কারণ কি, বা বিবেচ্যতা স্বতন্ত্রভাবে গণনা করা শক্ত, এই বিবেচনার বাইরে?

এক্সফোনেনশিয়াল ফাংশনের বিট গ্রাফের জটিলতা কী?
${⟨ x, y, i ⟩ ∣ x, y, i \in N and the i -th bit of x^{y} is 1}$ $\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}$

cc.complexity-theory nt.number-theory

— পিটার
সূত্র

আমি "এক্সপি" ধারণাটি "এল" তে পরিবর্তন করেছি, যেহেতু এক্সপি একটি বিখ্যাত জটিল শ্রেণীর নাম এবং এতে বিভ্রান্তির সৃষ্টি হতে পারে।

— এমএস দৌস্তি

যদি

2 এর শক্তিতে সীমাবদ্ধ থাকে তবে

হ'ল

। এছাড়াও গ্রাফ exponentiation

কম জটিলতা রয়েছে।

x

$x$

L

$L$

A C^{0}

$AC^0$

Γ e x p = {(x, y, z) : x^{y} = z}

$\Gamma exp=\{(x,y,z) : x^y=z\}$

— কাভেহ

সাদেক: আপনি যদি জটিলতা ক্লাস এড়াতে চান তবে এল এপপ থেকে কোনওভাবেই ভাল নয় ... এটি এক্সে পরিবর্তন করা হয়েছে

— পিটার

@ পিটার: প্রসঙ্গে, এল অবশ্যই লগ-স্পেস জটিলতার শ্রেণির চেয়ে একটি "ভাষা"। যাইহোক, এক্স একটি আরও ভাল পছন্দ।

— এমএস দৌস্তি

@ কাভেঃ: প্রশ্নটি বলে যে এটি প্রাকৃতিক সংখ্যার ঘনিষ্ঠ কার্যকারিতা সম্পর্কে।

— Tsuyoshi Ito

উত্তর:

এখানে কিছু উপরের সীমানা দেওয়া হয়।

বারবার স্কোয়ারিংয়ের মাধ্যমে সমস্যাটি PSPACE এ রয়েছে।

কিছুটা উন্নত উপরের আবদ্ধ আছে। 0 এবং উপরন্তু, বিয়োগ এবং গুণ সঙ্গে 1 থেকে শুরু একটি সরল-রৈখিক প্রোগ্রাম একটি পূর্ণসংখ্যা প্রতিনিধিত্বমূলক দেওয়া হলে সমস্যা BitSLP সমস্যার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে দেখা যায় এন , এবং প্রদত্ত আমি , ∈ℕ কিনা তা স্থির আমি -th বিট (থেকে কাউন্টিং এন এর বাইনারি উপস্থাপনার মধ্যে সর্বনিম্ন উল্লেখযোগ্য বিটটি হ'ল বিটএসএলপি সমস্যা গণনা স্তরক্রম ( সিএইচ ) [এবিএমএম09] এ। ([ABKM09] এ বলা হয়েছে যে এটি দেখানো যেতে পারে যে বিটএসএলপি সমস্যা পিএইচ ^{পিপি ^{পিপি ^{পিপি ^{পিপিতে রয়েছে}}}} ))

সিএইচ-এর সদস্যপদ প্রায়শই একটি প্রমাণ হিসাবে বিবেচিত হয় যে সমস্যাটি পিএসপিএসিই-হার্ড হওয়ার সম্ভাবনা নেই, কারণ সমতা সিএইচ = পিএসপিএসিই ইঙ্গিত দেয় যে গণনাক্রমক্রম হ্রাস পায়। তবে এই প্রমাণটি কতটা শক্তিশালী বলে বিবেচিত তা আমি জানি না।

কঠোরতার জন্য, বিটএসএলপি একই কাগজে [ABKM09] # পি-হার্ড হিসাবে দেখানো হয়েছে। তবে, সেখানে প্রমাণগুলি প্রশ্নের ক্ষেত্রে X ভাষার কোনও কঠোরতা বোঝায় না ।

তথ্যসূত্র

[ABKM09] এরিক অ্যালেন্ডার, পিটার বার্গিজার, জোহান কেজেল্ডগার্ড-পেদারসেন এবং পিটার ব্রো মিল্টারসেন। সংখ্যা বিশ্লেষণের জটিলতায়। কম্পিউটারে সিয়াম জার্নাল , 38 (5): 1987–2006, জানুয়ারী 2009. http://dx.doi.org/10.1137/070697926

— সোসোশি ইতো
সূত্র

সম্পূর্ণ উত্তর নয়, তবে অন্তত একটি আংশিক উত্তর।

আমি লক্ষ্য করেছি যে দুটি উত্তর যা এখনও হাজির হয়েছে মডেলুলার এক্সফোনশিয়াল গণনা করার জন্য একটি অ্যালগরিদম আছে তা উল্লেখ করেনি $O(n^{1+\omega})$ $x^y ~\mbox{mod }z$ যেখানে বিট সংখ্যা , এবং যেখানে দ্রুততম গুণকের অ্যালগরিদমের সাথে সংগতিপূর্ণ exp সুতরাং সূচকীয়ের কম তাত্পর্যপূর্ণ বিটগুলি দক্ষতার সাথে গণনা করা যায় ( বা তার চেয়ে কম)। $n$ $z$ $\omega$ $O(n^3)$

এটি করার উপায় মোটামুটি সহজ: আপনি , , গণনা করতে পারেন । স্পষ্টত , এবং তাই , কিন্তু আছে শুধুমাত্র পদ এই শুধুমাত্র লাগে $c_1 = x$ $c_2 = x^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = c_{j-1}^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = x^{2^j}~\mbox{mod }z$ $x^y \equiv \prod_j c_j^{y_j}~\mbox{mod }z$ $n$ $c_j$ $n$ multiplications।

$x^y$ $(\sum_{i=0}^n 2^i x_i)^y$ $2^{ny}$ $x$

$x^y$

— জো ফিটজসিমন্স
সূত্র

এই উত্তর এবং আমার মধ্যে একটি আকর্ষণীয় সম্পর্ক আছে। যদি আমার ভুল না হয় তবে, আমার উত্তরে উদ্ধৃত [ABKM09 ] এর অ্যালগরিদমের একটি মোটামুটি পর্যালোচনা হ'ল উচ্চতর বিট অর্জনের জন্য এই ধারণাটি চীনা বাকী উপপাদ্যের সাথে একত্রিত করা।

— Tsuyoshi Ito

আহ, আমি বুঝতে পারি নি।

— জো ফিটৎসিমনস

[এই উত্তরটি পের ভোগেনসনের উত্তর সম্পর্কে কিছু আকর্ষণীয় দিক ব্যাখ্যা করে । এটি ওপি-র প্রশ্নের সরাসরি উত্তর নয়, তবুও এ জাতীয় প্রশ্নগুলির সমাধানে সহায়তা করতে পারে]]

প্রথমে নীচের লিঙ্কটি একবার দেখুন: বেইলি-বোরওইন-প্লুফ ফর্মুলা (বা কেবল বিবিপি সূত্র)। এটি গণনা করার জন্য একটি উপায় $i$ অযৌক্তিক সংখ্যার বিট $\pi$ , প্রথম গণনা ছাড়াই $i-1$ বিট। নিবন্ধটি দেখায় যে অন্যান্য অযৌক্তিক সংখ্যাগুলির জন্য বিপিপি-জাতীয় সূত্রগুলিও বিদ্যমান।

এরপরে, ডিক লিপটনের বিষয়টি দেখুন: কুকের ক্লাসে পাই রয়েছে । নিবন্ধটি মূলত সেই সিদ্ধান্তটি বর্ণনা করে $i$ তম বিট $\pi$ স্টিভ কুকের ক্লাসে ( $\rm SC$ , বহুশাসিত সময় এবং বহু-লোগারিথমিক স্পেসে ভাষার শ্রেণীর ভাষা গ্রহণ করা হয়েছিল) এবং তিনি এটিকে "প্রচলিত জ্ঞান" বলে অভিহিত করার কারণে এই সত্যটি অদ্ভুতরূপে অদ্ভুত।

পিএস: তার নিবন্ধের শেষে, ডিক স্বীকার করেছেন যে অ্যালগরিদম আসলেই বাইরে ছিল $\rm SC$ , তবুও এ জাতীয় সম্ভাবনা "ব্যবহারিক ব্যবহারের বাইরে"।

— এমএস দৌস্তি
সূত্র