বহুবর্ষীয় হির্চ অনুমানের জন্য একটি সংযুক্ত সংস্করণ

Question

বিবেচনা করুন এর সাব-সেট নির্বাচন এর গ্রন্থিচ্যুত পরিবারের {1,2 ..., এন}, ।এফ 1 , এফ 2 , … এফ $t$${\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t}$

হটাত যদি

(*)

প্রতি এবং প্রতিটি , এবং , সেখানে রয়েছে যা ধারণ করে ।R ∈ F i T ∈ F k S ∈ F j R ∩ $i \lt j \lt k$$R \in {\cal F}_i$$T \in {\cal F}_k$$S \in {\cal F}_j$$R \cap T$

মূল প্রশ্নটি হ'ল:

কত বড় হতে পারে ???

---

যা জানা যায়

সব থেকে বহুল পরিচিত ঊর্ধ্বসীমা আপাতদৃষ্টিতে বহুপদী হয় ।$t \le n^{\log n+1}$

সর্বাধিক পরিচিত নিম্ন সীমাটি (লোগারিদমিক ফ্যাক্টর অবধি) চতুর্ভুজ।

এই বিমূর্ত সেটিংটি কাগজের ব্যাস অফ পলিহেড্র থেকে নেওয়া হয়েছে : ফ্রেডরিখ আইসেনব্র্যান্ড, নিকোলাই হাহ্নলে, সাশা রাজবরোভ এবং টমাস রোথভোস দ্বারা বিমূর্ততার সীমাবদ্ধতা । চতুর্ভুজ নিম্ন বাঁধার পাশাপাশি উপরের গণ্ডির একটি প্রমাণ তাদের কাগজে পাওয়া যাবে।

প্রেরণা

প্রতিটি উপরের গণ্ডিটি এন ফ্যাসাস্ত্র সহ ডি-ডাইমেনশনাল পলিটোপের গ্রাফের ব্যাসের জন্য প্রযোজ্য। এই সহযোগীটি প্রতিটি প্রান্তিকের সাথে এটিতে যুক্ত দিকগুলির সেট S_v সেট করুন v তারপর একটি প্রান্তবিন্দু থেকে শুরু W এলইটি {\ ক্যাল এফ} _r দূরত্বের polytope ছেদচিহ্ন সংশ্লিষ্ট সেট হতে দ + 1 টি থেকে W ।$v$$S_v$$w$${\cal F}_r$$r+1$$w$

অধিক

এই সমস্যাটি পলিম্যাথ 3 এর বিষয় । তবে আমি ভেবেছিলাম এটি ওপেন সমস্যা সত্ত্বেও এটি এখানে এবং এমওতে উপস্থাপন করা দরকারী । যদি প্রকল্পটি নির্দিষ্ট সাব-প্রবলেমগুলি নিয়ে যায় তবে আমি (বা অন্যরা) তাদের জিজ্ঞাসা করার চেষ্টাও করতে পারি।

---

(আপডেট; 5 অক্টোবর :) বিশেষ আগ্রহের একটি নির্দিষ্ট সমস্যা হ'ল আকারের সেটগুলিতে মনোযোগ সীমাবদ্ধ করা। যখন সমস্ত পরিবারে সমস্ত সেটের আকার d থাকে তখন f (d, n) টির সর্বাধিক মান হতে দিন। আমরা যখন d এর আকারের মাল্টিসেটগুলিকে অনুমতি দিই তখন f * (d, n) টি এর সর্বাধিক মান হয়। চ * (3, এন) বোঝা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

সমস্যা: f * (3, n) 3n বা 4n এর মতো আচরণ করে?

পরিচিত নিম্ন এবং উচ্চতর সীমানা যথাক্রমে 3n-2 এবং 4n-1। এবং যেহেতু 3টি সিকোয়েন্স 'ডি' এর সূচনা হয়, যখন 4 টি 2 বা 4 র সিকোয়েন্সের সূচনা হয় সিদ্ধান্ত নেয় যে সত্যটি 3 বা 4 এর গুরুত্ব নেই কিনা। দেখুন দ্বিতীয় থ্রেড ।$2^{d-1}$

Comments

হির্চ অনুমান, উইকিপিডিয়া

— vzn

মনে হচ্ছে এই অনুমানটি খুব পরীক্ষামূলক হবে এবং এটি মন্টি কার্লো পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি গণনা / অভিজ্ঞতা / পরীক্ষামূলক পদ্ধতির কাছেও সংবেদনশীল। কেউ কি এটা চেষ্টা করেছে?

— vzn

আপনার নতুন অনুগ্রহ কারণ "বর্তমান উত্তরগুলি পুরানো এবং সাম্প্রতিক পরিবর্তনগুলি দেখিয়ে পুনর্বিবেচনার প্রয়োজন" মনে হচ্ছে আপনার মনে বিশেষ কিছু আছে ...? এই 2013 এর গবেষণাপত্রটি পলিহেড্রার ব্যাসের সাম্প্রতিক অগ্রগতি এবং সান্টোসের সিম্পিক্সিয়াল কমপ্লেক্সেস বলেছেন হির্চ অনুমান "এখন অসম্মতিযুক্ত"।

— vzn

প্রিয় ভিজেএন, এটি এক ধরণের রসিকতা ছিল: বর্তমান উত্তর সম্পর্কে কোনও বক্তব্য সঠিক নয় যে কোনও উত্তর নেই।

— গিল কালাই

Answer 1

আমার এবং আমার একটি বন্ধু নিষ্ঠুর-শক্তি পদ্ধতিটি চেষ্টা করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে এবং এবং এর ছোট মানগুলির জন্য কয়েকটি মান গণনা করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে । ছাঁটাইকে নিয়োগ ব্যতীত এটি সম্পূর্ণ অসম্ভব এবং আমরা আশা করি আমরা যে কৌশলগুলি পেয়েছি সেগুলি বাকী সমস্যার মধ্যে কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি দেবে। এখনও অবধি, আমরা ব্রুট ফোর্স পদ্ধতির দ্বিগুণ-তাত্পর্যপূর্ণ চলমান সময়টিকে উল্লেখযোগ্যভাবে কমিয়ে আনতে পারি নি (প্রায় এখন পর্যন্ত আমাদের সেরা বাঁধা) এবং তাই আমরা এখনও কোনওভাবে আমাদের মূল লক্ষ্যে পৌঁছতে পারি নি পিছনে ফাংশন পূর্বাভাসn d 3 2 n$t$$n$$d$$3^{2^n}$$f$এর প্রথম কয়েকটি মান থেকে। আমরা পূর্ববর্তী থ্রেডগুলির সমস্ত মন্তব্যও বিশদভাবে অধ্যয়ন করি নি, সুতরাং এর কিছু ইতিমধ্যে জানা থাকতে পারে - আমরা মূলত আমাদের কোডটি দ্রুত তৈরি করতে মজা পেয়েছিলাম এবং আমাদের ফলাফলগুলি কোথাও পোস্ট করতে চেয়েছিলাম, যদি আমার একটি কার্যকরী LaTeX পরিবেশ থাকত তবে এটি আরএক্সআইভিতে রাখুন।

কোড (এটি হ'ল প্রোডাকশন কোড নয় ...): http://pastebin.com/bSetW8JS । মান:

f(d=2, n)=2n-1 for n <= 6

f(d=3, n=3) = 6
{} {0} {01} {012} {12} {2}

f(d=4, n=4) = 8
f(d=3, n=4) = 8
{} {0} {01} {1,02,03} {2,13} {123} {23} {3}
{} {0} {01} {2,013} {1,02,03} {023} {23} {3}

f(d=5, n=5) = 11
f(d=4, n=5) = 11
f(d=3, n=5) = 11
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,3} {02,12,013,014} {13,023,04,124} {123,024} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,13} {02,12,013} {03,123,014,024} {023,124} {23,24} {234} {34} {4}

আমরা যে ক্রম হয় উত্তল (*) ঝুলিতে পারেন। আমাদের পদ্ধতি পরিবারগুলিকে সংক্ষিপ্ত উত্তল ক্রমগুলিতে সংযুক্ত করে উত্তল ক্রমগুলি তৈরি করে, মূলত এটি ব্যবহার করে যে যদি উত্তল হয়, তবে উত্তল। আমরা নোট করি যে এবং কেবল যদি কেবলমাত্র আমাদের কাছে উত্তল। আমরা যে হল সামঞ্জস্যপূর্ণ সঙ্গে যদিএফ 1 ,। । । , এফ টি এফ 1 ,। । । , এফ টি - 1 এফ 1 ,। । । , এফ টি একটি∈ এফ টি এফ 1 ,। । । , এফ টি - 1 ,{একটি}${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$A \in {\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$$A$এফ 1 ,। । । , এফ টি - 1 ,{এ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$উত্তল - আমরা একটি অনুক্রমের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সেটগুলি গণনা করে তারপরে of নির্ধারণ না করে তাদের পাওয়ারসেটের উপাদানগুলিকে নতুন হিসাবে গ্রহণ করে গণনার সময় সাশ্রয় করি সরাসরি উত্তল।এফ 1 ,। । । , এফ${\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$

আমাদের পরবর্তী স্পিডআপটি মূলত গতিশীল প্রোগ্রামিং। আমরা নীচের দুটি বৈশিষ্ট্যের সাথে উত্তল সিকোয়েন্সগুলিতে একটি সমতুল্য সম্পর্ক relation করার চেষ্টা করি । প্রথমত, যদি দুটি উত্তল সিকোয়েন্সের জন্য , তবে সামঞ্জস্যপূর্ণ সঙ্গে যদি এবং কেবল এটি সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ হলে । দ্বিতীয়ত, যদি এবং উত্তল হয়, তারপরেএফ 1 , । । । , এফ টি ~ এফ ' 1 , । । । , এফ ' টন একজন এফ 1 , । । । , এফ টি এফ ' 1 , । । । , এফ ' টি এফ 1 , । । । , এফ টি ~ এফ ' 1 , । । । $\sim$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$${\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ এফ 1 ,। । । , এফ টি , এফ টি + + 1 এফ 1 ,। । । , এফ টি , এফ টি + + 1 ~ এফ ' 1 ,। । । , এফ ' টন , এফ টি + + 1 এফ 1 ,। । । , এফ টি , এফ টি ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1} \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t, {\cal F}_{t+1}$। তদুপরি, আমরা যদি এটি নির্ধারণ করতে পারি যে কোনও সেট সমতুল্য শ্রেণীর উপাদানগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা এবং সমতুল্য শ্রেণির প্রতিনিধি নির্ধারণ করতে পারি দেওয়া এবং এর সমতুল্য শ্রেণির প্রতিনিধি । পরবর্তী ডায়নামিক প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদম তখন সুস্পষ্ট। সমতুল্য শ্রেণীর সংখ্যা (উপরোক্ত দুটি ক্রিয়াকলাপের সময় সহ) তারপরে সুস্পষ্ট গতিশীল প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদমের চলমান সময়ের উপর সীমাবদ্ধ করে।এফ টি + + 1 এফ 1 ,। । । , এফ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$${\cal F}_{t+1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$

আমাদের সমতুল্য হওয়ার জন্য আমরা যে সমতুল্যতাটি ব্যবহার করি তার জন্য, আমরা নিম্নরূপে 'অন্তর' এর উপর ভিত্তি করে উত্তেজনার একটি বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি। একটি উপসেট দেওয়া এর , আমরা বলতে হল সংলগ্ন একটি (অগত্যা উত্তল নয়) ক্রম থেকে সম্মান সঙ্গে যদি কিছু পূর্ণসংখ্যার জন্য । আমরা যে জন্য ব্যবধান হয় wrt এই অনুক্রম। এটি সহজেই দেখা যায় যে উত্তল হয় এবং যদি কেবল all এর সমস্ত থাকে{ 1 , ... , এন } একজন এফ 1 , । । । , এফ টি { ট | ∃ বি ∈ এফ ট : একটি ⊆ বি } = { আমি , ... , ঞ } 1 ≤ আমি ≤ ঞ ≤ এন ( আমি , ঞ ) একটি এফ 1 , । । । , এফ$A$$\{ 1, \dots, n \}$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$\{ k \mid \exists B \in {\cal F}_k : A \subseteq B \} = \{ i, \dots, j \}$$1 \leq i \leq j \leq n$$(i, j)$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$\{ 1, \dots, n \}$ ক্রম সম্মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

এখন, প্রদত্ত উত্তল ক্রম , আমরা সব সাব-সেট নির্বাচন উপলক্ষে যেমন স্পর্শ , অননুমোদিত বা সক্রিয় নিম্নরূপ: সব উপাদান সক্রিয়, সমস্ত উপাদান অননুমোদিত এবং সমস্ত অধিসেটের সেট সম্মান সঙ্গে যার ব্যবধান হয় সঙ্গে এছাড়াও অননুমোদিত করছে। তাৎক্ষণিকভাবে একটি সেট {1,...,এন} এফ টি এফ 1 ,। । । , এফ টি - 1 বিএকটি এফ 1 ,। । । , F t - 1 (i,j)j<t-1A∼BC∈ F t D${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$\{ 1, \dots, n \}$${\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$$B$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$$(i, j)$$j < t - 1$$A$অনুক্রমের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি এবং কেবল যদি এটি স্পর্শ না করে চিহ্নিত করা হয়। আমরা দুটি সিকোয়েন্সকে নীচে সমান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি যদি তাদের চিহ্ন সমান হয়। এটি সহজেই দেখা যায় যে এই সমতার সম্পর্ক আমাদের দুটি সম্পত্তিকে সন্তুষ্ট করে। অন্তর্ভুক্ত অবস্থার দ্বারা কোনও সেট বাতিল করা উচিত কিনা তা গণনা করার জন্য , আমরা সমতুল্য শর্তটি ব্যবহার করতে পারি 'সেখানে একটি সেট রয়েছে কোনও সেট জন্য নেই , '। সমতুল্য শ্রেণীর সংখ্যার উপর তাত্ক্ষণিকভাবে আবদ্ধ।$\sim$$B$$C \in {\cal F}_t$ B∩C⊆D 3 2 $D \in {\cal F}_{t+1}$$B \cap C \subseteq D$$3^{2^n}$

আমরা বিভিন্ন অতিরিক্ত ছাঁটাই ব্যবহার করি। আমরা কেবলমাত্র জন্য antichains বিবেচনা এবং আমরা প্রয়োজন যে তার উপাদানের উপাদান থেকে আসা । শেষ অবধি, আমরা সর্বোত্তম দীর্ঘ সিক্যুয়েন্সের জন্য অপ্টিমাইজেশনটি ব্যবহার করি এবং )। আমরা ধারণা করি যে এর আচরণ তদন্ত করলে আরও কঠোর সঞ্চয় হতে পারে। 1 , … , i F 1 =={1}}, F 2 ={{1,2}} F t - 1 F t F${\cal F}_{t+1}$${1, \dots, i}$${\cal F}_1 = \{ \{ 1 \} \}, {\cal F}_2 = \{ \{ 1, 2 \} \}$${\cal F}_{t-1}$${\cal F}_t$${\cal F}_3$