এন এর চেয়েও বেশি প্রান্তের সাথে কি কোনও ত্রিভুজ মুক্ত, স্টার-কাটসেট-মুক্ত, বৃত্ত গ্রাফ রয়েছে?

Question

আমি আমার পড়াশুনার জন্য এই বৈশিষ্ট্যগুলি সহ একটি গ্রাফ সন্ধান করার চেষ্টা করছি, তবে দুর্ভাগ্যক্রমে আমি এই ধরনের গ্রাফটি খুঁজে পাচ্ছি না।

যে গ্রাফ আছে তা কি কেউ জানেন, বা কেন এটির অস্তিত্ব অসম্ভব?

Comments

আপনি আপনার পরিভাষা ব্যাখ্যা করতে পারেন? "স্টার-কাটসেট-মুক্ত" কী এবং "বৃত্তাকার গ্রাফ" কী?

— যুবাল ফিল্মাস

অবশ্যই। =) একটি বৃত্তের গ্রাফটি এমন একটি গ্রাফ (পুনর্নির্দেশিত) যার কোণগুলি একটি বৃত্তের জলের সাথে জড়িত হতে পারে যেমন দুটি চিহুটি সংলগ্ন হয় যদি সম্পর্কিত কর্ডগুলি একে অপরকে অতিক্রম করে। উদাহরণস্বরূপ এখানে একটি চিত্র দেওয়া হয়েছে (উইকিপিডিয়া থেকে): en.wikedia.org/wiki/File:Circ_graph.svg এবং আমরা যখন বলতে পারি যে কোনও গ্রাফের একটি স্টার-কাটসেট রয়েছে যখন আপনি একটি ভার্টেক্স ভি আছে যা ভি এবং এর প্রতিবেশীদের অপসারণ করে (এন [v]) গ্রাফ থেকে এটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন করে।

— রাফায়েল অলিভিরা লোপেস

আইএসজিসিআইয়ের ত্রিভুজ মুক্ত এবং বৃত্তের গ্রাফের সংজ্ঞা রয়েছে । স্টার-কাটসেট একটি উপসেট$S$ গ্রাফকে পৃথক করে এমন একটি উল্লম্বের মধ্যে যেমন একটি ভার্টেক্স $S$ ইন প্রতিটি অন্যান্য শীর্ষবিন্দু সংলগ্ন $S$।

— জেফি

এই কাগজটি প্রাসঙ্গিক হতে পারে।

— জেফি

Answer 1

অনুমান করা $G$ত্রিভুজমুক্ত তারকা-কাটসেট-মুক্ত চেনাশোনা গ্রাফ। আমি এটা দেখাতে হবে$G$ ডিগ্রি 2 এর চেয়ে বেশি কোন শীর্ষবিন্দু নেই। $G$ সর্বাধিক আছে $n$ প্রান্ত।

একটি বৃত্ত প্রতিনিধিত্ব বিবেচনা করুন $C$ এর $G$। Chords একটি সেট সমান্তরাল হয় যদি তাদের দু'টি ক্রস না ​​করে তবে সমস্ত chords অতিক্রম করে এমন একটি লাইন থাকে।

সম্পত্তি 1 :$C$ 3 টি সমান্তরাল chords আছে।

প্রুফ । অনুমান করা$C$3 সমান্তরাল chords আছে। প্রান্তবিন্দুটি কন্ডিডার করুন$v$মাঝের জর্ডের সাথে সম্পর্কিত। তারপর,$N[v]$একটি কাটসেট এটি সম্পত্তি প্রমাণ করে।

দ্বন্দ্বের খাতিরে ধরে নিই $G$ একটি ভার্টেক্স আছে $v$ কমপক্ষে 3 ডিগ্রি ডিগ্রি। তারপর, জ্যাড অনুরূপ $v$3 টি অন্যান্য জ্যাটি ছেদ করে। যেহেতু এই 3 টি কর্ডগুলি একটি রেখাকে ছেদ করে, সেগুলি হয় সমান্তরাল হয় বা এর মধ্যে দুটি ছেদ করে। সম্পত্তি 1 এর কারণে, তাদের মধ্যে দুটি ছেদ করে, যার অর্থ তাদের অনুপাতগুলি একটি ত্রিভুজ গঠন করে form$v$, যা দ্বন্দ্ব করে $G$ ত্রিভুজমুক্ত হচ্ছে।

Comments

আমি মনে করি না প্রপত্তি 1 সত্য। একটি নিয়মিত দিক তৈরি কর্ডগুলি বিবেচনা করুন$n$-গন, কিছুটা বড় চেনাশোনা সহ যাতে এতে থাকে $n$-গিগুন তবে sides দিকগুলির অন্য কোনও ক্রসিং থাকে না।

— ডেভিড এপস্টিন

ঠিক আছে, সংশোধন করা হিসাবে আমি মনে করি এটি কাজ করে, এবং আমার প্রমাণের চেয়ে সহজ।

— ডেভিড এপস্টিন

Answer 2

না, এরকম কোনও গ্রাফ নেই। কেন নয় তা দেখার জন্য, ধরুন আমাদের কাছে একটি বৃত্ত গ্রাফ রয়েছে যা ত্রিভুজ মুক্ত chords এর সেট দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। দিন$n$ বৃত্তের গ্রাফের উল্লম্ব সংখ্যা (বা তীব্র সংখ্যা) এবং be $m$গ্রাফের প্রান্তের সংখ্যা (দুটি তীরের ক্রসিং) হোন। তারপরে তীরের সংখ্যার উপর একটি সহজে অন্তর্ভুক্তি দেখায় যে জীবাণুগুলির বিন্যাস ঠিকঠাক ছিল$m+n+1$সম্মুখীন হবে। তবে সর্বাধিক রয়েছে$2n$ যে মুখগুলি চেনাশোনাটিকে স্পর্শ করে (কিছু মুখ আরও একবারে বৃত্তের সাথে স্পর্শ করে তবে কম), তাই যদি if $m>n$তারপরে অবশ্যই ব্যবস্থার অন্তত দুটি অভ্যন্তরীণ মুখ থাকতে হবে। দিন$p$সেরকম এক মুখ থেকে অন্য মুখের বিন্যাসের দ্বৈত গ্রাফের কোনও সংক্ষিপ্ত পথ হউক এবং আসুন$c$ কোন প্রান্তে দ্বিগুণ যাক $p$। তারপরে স্টার-কাটসেট দ্বারা প্ররোচিত$c$ এক প্রান্তে মুখ বেঁধে থাকা কয়েকটি জ্যাগুলি পৃথক করে $p$ অন্য প্রান্তে মুখ বেঁধে থাকা কয়েকটি জাল থেকে।