ইন্ডিপেন্ডেন্ট এক্সফোনেনসিয়াল এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল

আমরা কীভাবে স্বতঃস্ফূর্ত ঘন ঘন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের তীব্র ঘনত্বের ফলাফল প্রমাণ করতে পারি, যাক স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেমন । যাক । আমরা কি ফর্মের সীমানা প্রমাণ করতে পারি $X_1, \ldots X_r$ $Pr(X_i < x) = 1 - e^{-x/\lambda_i}$ $Z = \sum X_i$ । এটি সরাসরি অনুসরণ করা হয় যদি আমরা চেরনফ সীমানার বৈকল্পিক ফর্মটি ব্যবহার করি এবং তাই আমি বিশ্বাস করি সত্য, তবে আমি যে সীমাগুলি পড়েছি তার জন্য সীমাবদ্ধ-নেসের প্রয়োজন হয় বা ভেরিয়েবলের বাউন্ড-নেসে কিছুটা নির্ভরতা থাকতে পারে। কেউ কি আমাকে উপরের প্রমাণের দিকে ইঙ্গিত করতে পারে? $Pr(|Z-\mu_Z|>t) < e^{-t^2/\sum (\lambda_i)^2}$

pr.probability randomness chernoff-bound

— টাট্টু ঘোড়া
সূত্র

কেবল চেরনফের প্রমাণ অনুসরণ করুন: তাত্পর্যপূর্ণ এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্ষতিকারক মুহুর্তটি আবদ্ধ করা সহজ।

— সাশো নিকোলভ

আমি চেরনফের প্রমাণ পুনরাবৃত্তি করার চেষ্টা করেছি। আমি এটা সহজ ক্ষেত্রে যখন সমস্ত জন্য করেছিলাম

। আমি সম্পর্ক ধরনের যে আমি একটি হালকা অবস্থার অধীনে খোঁজ করছি পেতে পারেন

। এই জাতীয় অবস্থাটি কি স্বাভাবিকভাবেই উত্থিত হয় বা এটি আমার এত ভাল সমাধানের কারণে নয়?

λ_{i} = λ

$\lambda_i = \lambda$

t < n λ

$t < n\lambda$

— নাগ

এখানে লেমমা 2.8 দেখুন eprint.iacr.org/2010/076.pdf

— সাশো

হ্যাঁ এটি বোধগম্য হয়। এমনকি তাদের থিম তারা একটি শর্ত আছে

হচ্ছে ছোট যথেষ্ট। ঠিক আছে তাহলে আমার সমাধানটি সঠিক বলে মনে হচ্ছে। লিঙ্কগুলি এবং পরামর্শের জন্য অনেক ধন্যবাদ।

t

$t$

— নাগ

@ সুরেশভেঙ্কট শেষ হয়েছে। নাগ, আমি মনে করি আপনার প্রশ্নে কিছু টাইপস রয়েছে। প্রথমত,

জন্য ইতিবাচক একটি খুব অদ্ভুত সিডিএফ হয়

। আপনার অর্থ কি

? যদি আপনি তা করেন তবে তারতম্যটি ফর্মের

এবং আপনার চেরনফের আবদ্ধ হওয়া একেবারেই ঠিক দেখাচ্ছে না।

Pr [X_{i} < x] = e^{- λ_{i} x}

$\Pr[X_i < x] = e^{-\lambda_i x}$

x

$x$

Pr [X_{i} < x] = 1 - e^{- λ_{i} x}

$\Pr[X_i < x] = 1-e^{-\lambda_i x}$

λ_{i}^{- 2}

$\lambda_i^{-2}$

— সাশো নিকোলভ

উত্তর:

Concreteness জন্য বলে যে আরভি এর পিডিএফ $X_i$ হয়

পি ({এক্স}_{আমি} = এক্স) = \frac{1}{2} λ_{আমি} ই^{- λ_{আমি} | এক্স |} ।

$p(X_i = x) = \frac{1}{2} \lambda_i e^{-\lambda_i|x|}.$

এটি ল্যাপ্লেস বিতরণ, বা দ্বিগুণ তাত্পর্য বিতরণ। এর বৈকল্পিকতা $\frac{2}{\lambda_i^2}$ । সিডিএফ হয়

pr [{এক্স}_{আমি} \leq এক্স] = 1 - \frac{1}{2} ই^{- λ_{আমি} এক্স}

$\Pr[X_i \leq x] = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda_i x}$ জন্য

x \geq 0

$x \geq 0$ ।

মুহূর্ত উৎপাদিত ফাংশন $X_i$ হয়

ই ই^{তোমার দর্শন লগ করা {এক্স}_{আমি}} = \frac{1}{1 - {তোমার দর্শন লগ করা}^{2} / λ_{আমি}^{2}},

$\mathbf{E}\ e^{uX_i} = \frac{1}{1 - u^2/\lambda_i^2},$ জন্য

| u | < λ_{i}

$|u| < \lambda_i$ । এই ঘটনাটি এবং চেরোনফের সীমানার প্রমাণে প্রেরণীয় ক্ষণিকের পদ্ধতিটি ব্যবহার করে, আপনি

X = \sum_{i} X_{i}

$X = \sum_i X_i$ এবং

σ^{2} = 2 \sum_{i} λ_{i}^{- 2}

$\sigma^2 = 2\sum_i \lambda_i^{-2}$ জন্য নিম্নলিখিত বৈষম্য ধরে রেখেছেন

pr [এক্স > টি σ] < ই^{- {টি}^{2} / 4},

$\Pr[X > t\sigma] < e^{-t^2/4},$ যতদিন

t \leq 2 σ min_{i} λ_{i}

$t \leq 2\sigma \min_{i}{\lambda_i}$ । আপনিএই কাগজেরলেমা 2.8 এর প্রমাণগুলিতে একটি বিশদ বিবরণ পেতে পারেন।

— সাশো নিকোলভ
সূত্র

ধন্যবাদ উত্তরের জন্য অনেক। তবে আমার আবেদন এটা necessaily সত্য নয় যে

। তবে

in এর ক্ষেত্রে আরও শক্তিশালী ঘনত্বের আশা করবে

t \leq \sqrt{2} σ m i n_{i} λ_{i}

$t \leq \sqrt{2} \sigma min_i \lambda _i$

। যদি আমরা আত এর পড়তা ব্যবহার করি যেমন একটি ফলাফল পেতে পারেন

যার ব্যাপ্তি সীমাবদ্ধ

প্রমাণ কিন্তু যে বিশ্লেষণ বিভিন্ন ক্ষেত্রে দুর্দমনীয় হয়ে

। Front ফ্রন্টের কোন পরামর্শ?

t > \sqrt{2} σ m i n_{i} λ_{i}

$t > \sqrt{2} \sigma min_i \lambda _i$

1 / (1 - x) \leq e^{c x}

$1/(1-x) \leq e^{cx}$

t

$t$

λ_{i}^{'} s

$\lambda _i 's$

— নাগ

এটি কিছু জোরালো হ্যান্ড-ওয়েভিং হতে চলেছে, তবে আমি প্রত্যাশা করি যে

এর বৃহত্তর মানগুলি তখনই ঘটবে সম্ভবত যখন খুব কম সংখ্যক

এর মধ্যমানকে ছাড়িয়ে যাবে

অনেকটা দ্বারা তবে ডাবল এক্সফোনেনশিয়াল ভেরিয়েবলগুলির গাউসিয়ানদের চেয়ে ভারী লেজ থাকে এবং তাদের মধ্যে খুব অল্প

X

$X$

X_{i}

$X_i$

| X_{i} |

$|X_i|$

— সংখ্যকই

আমি যা আমি উপরে লিখেছেন স্পষ্ট নয় নিরূপক করছি: আমি লেজ আউট যে ভাবে আশা

অন্য আরভি এর লেজের মতো দেখতে

যা ডবল সূচকীয় আরভি অল্প সংখ্যক যেমন লেজ এর সমষ্টি

করা উচিত হবে না উপ-গসিয়ান।

X

$X$

X^{'}

$X'$

X^{'}

$X'$

— সাশো নিকোলভ

ল্যাপ্লেস বিতরণের জন্য, আপনি যদি বার্নোল্লি বাউন্ড ব্যবহার করেন তবে লিখতে পারেন

যেখানে । তারপর ধ্রুপদী চেরনোফ পদ্ধতিটি দেয়

E e^{u \sum_{i} X_{i}} = \prod_{i} \frac{1}{1 - u^{2} / λ_{i}^{2}} \leq \frac{1}{1 - u^{2} σ^{2} / 2},

$Ee^{u\sum_i X_i} = \prod_i \frac1{1-u^2/\lambda_i^2} \le \frac1{1-u^2\sigma^2/2},$

σ^{2} = 2 \sum_{i} λ_{i}^{- 2}

$\sigma^2=2\sum_i\lambda_i^{-2}$

Pr [\sum_{i} X_{i} \geq t σ] \leq \frac{1 + \sqrt{1 + 2 t^{2}}}{2} e^{1 - \sqrt{1 + 2 t^{2}}} \leq {\begin{cases} (e t / \sqrt{2} + 1) e^{- \sqrt{2} t} \\ e^{- t^{2} / 2 + t^{4} / 8} \end{cases} .

$\Pr[\sum_i X_i \ge t\sigma]\le \tfrac{1+\sqrt{1+2t^2}}{2} e^{1-\sqrt{1+2t^2}} \le\cases{ (et/\sqrt2+1) e^{-\sqrt{2}t} \\ e^{-t^2/2 + t^4/8}} .$

নোট করুন যে এই সীমাগুলি এবং সীমাহীন মানগুলির জন্য ধারণ করে । ডানদিকে সীমা দুটি সম্ভাব্য ব্যবস্থা দেখায়। ছোট মানের জন্য আমরা পেতে `স্বাভাবিক 'একাগ্রতা , যখন বৃহৎ মানের জন্য আমরা পেতে $t$ $\lambda_i$ $t$ $e^{-t^2/2}$ $t$ , যা একটি একক ল্যাপ্লেস বিতরণ ভেরিয়েবলের সিডিএফ। $\approx e^{-\sqrt{2}t}$

বাউন্ড আপনাকে দুটি পরিস্থিতির মধ্যে বিভক্ত করতে দেয় তবে আমি সন্দেহ করি যে প্রায় সব ক্ষেত্রেই একটি বড়বা ছোটক্যাম্পে়ভাবে অবস্থান করবে। $1-\sqrt{1+2t^2}$ $t$ $t$

সূচকীয় বন্টনের জন্য একই কৌশল আমাদের দিতে $Ee^{u\sum_iX_i}\le\frac{1}{1-u\mu}$ $\mu=\sum_i 1/\lambda_i$

Pr [(\sum_{i} X_{i}) - μ \geq t μ] \leq (t + 1) e^{- t} \leq e^{- t^{2} / 2 + t^{3} / 3} .

$\Pr[(\sum_i X_i)-\mu \ge t\mu]\le (t+1) e^{-t} \le e^{-t^2/2+t^3/3}.$

t μ

$t\mu$

t σ

$t\sigma$

E e^{u (\sum X_{i} - μ)^{2}}

$Ee^{u(\sum X_i-\mu)^2}$

— টমাস আহলে
সূত্র

আমার কাছে বিশদটি কার্যকর করার সময় নেই তবে আমি 99.9% নিশ্চিত যে কোনওটি তাত্পর্যপূর্ণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য একটি আবদ্ধ পেতে পারে যা তারতম্যের উপর নির্ভর করে। মুহুর্তে উত্পাদনের ফাংশনে আপনার আবদ্ধতা অতিরিক্ত আলগা দেখায়।

— ওয়ারেন স্কুডি

@ ওয়ারেন স্কুডি, আপনার পদ্ধতি কী হবে?

— টমাস আহলে

দুটি স্পষ্ট পদ্ধতির আমি দেখতে পাচ্ছি: ১. এন.উইকিপিডিয়া.আর.উইকি / তে তালিকাবদ্ধ দ্বিতীয় সীমাটি দেখে মনে হচ্ছে এটির কাজ করা উচিত। ২. মুহুর্ত তৈরির ফাংশনে একটি শক্ততর আবদ্ধ সন্ধান করুন।

— ওয়ারেন স্কুডি 16'17

Pr [\sum_{i} X_{i} \geq t σ] \leq e^{- t^{2} / 2}

$\Pr[\sum_iX_i\ge t\sigma]\le e^{-t^2/2}$

t \leq σ min_{i} λ_{i} / 2

$t\le\sigma\min_i\lambda_i/2$

এটি অনিবার্য যে গাউসিয়ান স্টাইলের সীমানা কোনও পর্যায়ে থামবে। এমনকি একক তাত্পর্যপূর্ণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল শেষ পর্যন্ত যে কোনও গাউসির চেয়ে মোটা লেজ রয়েছে।

— ওয়ারেন স্কুডি