গ্রাফ ক্লাসগুলির জন্য ব্যাসকে রৈখিক সময়ে গণনা করা যায়

মনে করে দেখুন ব্যাস গ্রাফ এর একটি দীর্ঘতম সবচেয়ে কম পথের দৈর্ঘ্য হল । গ্রাফ দেওয়া, কম্পিউটিং জন্য একটি সুস্পষ্ট অ্যালগরিদম অল-জোড়া সংক্ষিপ্ততম পথ সমস্যা (APSP) এবং আয় দীর্ঘতম পথের দৈর্ঘ্য পাওয়া solves। $G$ $G$ $\text{diam}(G)$

এটি জানা যায় যে বেশ কয়েকটি গ্রাফ ক্লাসের জন্য অনুকূল সময়ে এপিএসপি সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে । সাধারণ গ্রাফের জন্য সময়টিতে একটি বীজগণিত গ্রাফিক তাত্ত্বিক পদ্ধতির উপস্থিতি রয়েছে , যেখানে ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য আবদ্ধ। তবে, ব্যাসকে গণনা করা আপাতভাবে সমালোচিতভাবে এপিএসপির সাথে সংযুক্ত নয়, ইয়াস্টারের দেখানো হিসাবে । $O(n^2)$ $O(M(n) \log n)$ $M(n)$

কিছু অ-তুচ্ছ গ্রাফ শ্রেণি পরিচিত যার জন্য ব্যাসকে আরও দ্রুত গণনা করা যায়, লিনিয়ার সময় বলুন?

আমি বিশেষভাবে কর্ডাল গ্রাফগুলিতে এবং ব্লক গ্রাফের মতো কর্ডাল গ্রাফের যে কোনও সাবক্লাসে আগ্রহী। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, আমি মনে করি একটি স্বরসমন্বয়ঘটিত গ্রাফ ব্যাস মধ্যে নির্ণিত করা যেতে পারে সময়, যদি একটি উপদল গাছ যেমন স্বতন্ত্র representable হয়। এই জাতীয় গ্রাফটি ইউর-কর্ডাল নামেও পরিচিত । $G$ $O(n+m)$ $G$

graph-theory graph-algorithms shortest-path

— Juho
সূত্র

ব্যাসের গণনার জন্য, একবার চক্র গাছ দেওয়া হয়ে গেলে, কর্ডাল গ্রাফগুলি গাছের মতো (প্রায়) একই আচরণ করে। তেমনিভাবে, একটি অন্তর্বর্তী গ্রাফে, একটি প্রভাবশালী যুগল (যা কোনও এটি-মুক্ত গ্রাফগুলিতে বিদ্যমান) অগত্যা ব্যাস স্থির করে।

— যিক্সিন কাও

@ ইয়িক্সিনকাও তবে সাধারণভাবে, একটি কর্ডাল গ্রাফ থাকতে পারে এমন পৃথক চক্রের গাছের সংখ্যাটি উল্লম্বের সংখ্যায় তাত্পর্যপূর্ণ। ফুটারমোর, আমি মনে করি না প্রতিটি চক্র গাছের মধ্যে ব্যাস এক রকম is আমি মনে করি এটি একটি সমস্যা, তবে একটি ur-chordal গ্রাফে চক্র গাছের ব্যাসটি সন্দেহজনক নয়। তোমার মনে কি অন্য কিছু ছিল?

— জুহো

আমি বলছি না যে কর্ডাল গ্রাফের ব্যাস তার চক্র গাছের মতো। (

টি শীর্ষে একটি নক্ষত্রের একটি চক্র গাছ থাকতে পারে যা

নোডের একটি পথ )) আমি যা বোঝাতে চেয়েছিলাম তা গ্রাফের ব্যাসের মধ্যে অবশ্যই চক্র গাছের কয়েকটি জোড়া পাতা (এটিতে কোনও সরল প্রান্তিকের) হতে হবে।

k + 1

$k+1$

k

$k$

— Yixin Cao

@ যিক্সিনকাও ঠিক আছে, এখন আমি আরও ভাল করে বুঝতে পারি। তবুও, একটি (দ্রুত) অ্যালগরিদম এখনও আমার কাছে স্পষ্ট নয়। আপনার যদি কোনও অতিরিক্ত বিবরণ বা রেফারেন্স থাকে তবে দয়া করে নির্দ্বিধায়!

— জুহো

উত্তর:

একটি প্রান্তবিন্দু ছিট $v$ একটি দীর্ঘতম সবচেয়ে কম পথ থেকে শুরু দৈর্ঘ্য হল $v$ । ব্যাস হ'ল সমস্ত শিখর উপর সর্বাধিক উদ্দীপনা। একটি ভার্টেক্স থেকে যে কোনও বিএফএস এর স্বতন্ত্রতা প্রতিষ্ঠা করবে। দক্ষ ব্যাস সন্ধানের জন্য একটি মূল ধারণা হ'ল গ্রাফিক্সকে একটি ছোট ছোট শিখরের সন্ধানের জন্য প্রিপ্রোসেস করা, যার মধ্যে কমপক্ষে একটি সর্বাধিক উদ্দীপনা অর্জন করে।

একটি ডিক্সিকোগ্রাফিক প্রস্থের প্রথম অনুসন্ধান চালানো , প্রান্তটিটি প্রায়শই উচ্চ উত্সাহী থাকে। বিশেষত, কর্ডাল গ্রাফগুলির জন্য এটি ব্যাসের চেয়ে কমপক্ষে এককেন্দ্রিকতার গ্যারান্টিযুক্ত। যেমন স্বরসমন্বয়ঘটিত গ্রাফ কিছু উপশ্রেণী জন্য বিরতি গ্রাফ , এটা সর্বোচ্চ ছিট আছে নিশ্চিত করা হয়। এই যেমন কিছু অ স্বরসমন্বয়ঘটিত শ্রেণীর জন্য ঝুলিতে $\{\text{AT},\text{claw}\}$ মুক্ত গ্রাফ।

$m = \Omega(n^2)$ $K_n$ $o(n^2)$ $O(m+n)$ $o(n^2)$

তাই কর্ডাল গ্রাফের কয়েকটি সাবক্লাসের জন্য, একটি রৈখিক অ্যালগোরিদমকে এলবিএফএস চালাতে হয়, প্রান্তের শীর্ষটি গ্রহণ করতে হবে, তারপরে সেই শীর্ষবিন্দু থেকে শুরু করে বিএফএস চালানো হবে। কর্ডাল গ্রাফগুলির জন্য এটি ব্যাসটি সর্বোচ্চ 1 এর ত্রুটি সহ নির্ধারণ করবে this গ্রাফগুলির জন্য এটি যথাযথ বলে মনে হয় যে এমনকি শক্তিগুলিও কর্ডাল। এগুলি স্পষ্টতই সেই কর্ডাল গ্রাফ যা কোনও উদীয়মান সূর্য বা contain $(\text{rising sun}- K_2)$

_{(সূত্র: graphclasses.org )}

ফিডর এফ। ড্রাগন, ফালক নিকোলাই এবং আন্দ্রেয়াস ব্র্যান্ডস্টেট, লেক্সবিএফএস-ক্রম এবং গ্রাফের ক্ষমতা , ডাব্লুজি 1996, এলএনসিএস 1197, 166-180। doi: 10.1007 / 3-540-62559-3_15

$\log n$

ডেরেক জি। কর্নিল, ডিক্সিকোগ্রাফিক ব্রাডথ ফার্স্ট সার্চ - একটি জরিপ , ডাব্লুজি 2004, এলএনসিএস 3353, 1-1। doi: 10.1007 / 978-3-540-30559-0_1

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

O (n + m)

$O(n+m)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

প্রশ্নে উল্লিখিত ব্লক গ্রাফগুলি দূরত্ব-বংশগত। দূরত্ব-বংশগত গ্রাফগুলির জন্য ব্যাস গণনা করার জন্য একটি রৈখিক সময়ের অ্যালগরিদম [1] (উপপাদ্য 5 দেখুন) এ দেওয়া হয়েছে।

[1] ড্রাগন, ফিওডার এফ। দূরত্ব-বংশগত গ্রাফগুলিতে প্রভাবশালী চক্রগুলি। স্প্রিঞ্জার বার্লিন হাইডেলবার্গ, 1994।

— Juho
সূত্র