জটিলতা নিম্ন সীমা নির্ধারণের জন্য উন্নত কৌশল

Question

আপনারা কেউ কেউ এই প্রশ্নটি অনুসরণ করছেন , যা গবেষণা স্তর না হওয়ার কারণে বন্ধ ছিল। সুতরাং, আমি প্রশ্নের অংশটি বের করছি যা গবেষণা পর্যায়ে is

"সরল" কৌশলগুলি ছাড়াই যেমন বাছাই বা হ'ল এক্সপটাইম-সম্পূর্ণ সমস্যা হ্রাস, কোনও সমস্যার সময় জটিলতার জন্য নিম্ন সীমা প্রমাণ করার জন্য কোন কৌশলগুলি ব্যবহার করা হয়েছে?

নির্দিষ্টভাবে:

• গত দশকে "কাটিং-এজ" কৌশলগুলি কী কী বিকাশ লাভ করেছে?
• অ্যাবস্ট্রাক্ট বীজগণিত, বিভাগ তত্ত্ব বা সাধারণত "খাঁটি" গণিতের অন্যান্য শাখার কৌশলগুলি প্রয়োগ করা যেতে পারে? (উদাহরণস্বরূপ, আমি প্রায়শই বাছাইয়ের "বীজগণিত কাঠামো" এর উল্লেখ শুনতে পাই, এর অর্থের কোনও বাস্তব ব্যাখ্যা ছাড়াই))
• নিম্ন-সীমাবদ্ধ জটিলতার জন্য উল্লেখযোগ্য তবে কম-পরিচিত ফলাফলগুলি কী কী?

Comments

আপনি কি ফাংশন গণনা সমস্যার জন্য নিম্ন সীমানা বা বিতরণ করা কম্পিউটিং, ডেটা স্ট্রাকচার ইত্যাদি সহ যে কোনও কিছুর জন্য নিম্ন সীমানায় আগ্রহী?

— কাভেঃ

আমি মূলত ফাংশনগুলির কম্পিউটিংয়ে আগ্রহী। আমি নিশ্চিত আপনি একবার সমান্তরাল হয়ে যান, এটি মাছের সম্পূর্ণ ভিন্ন কেটলি।

— jmite

বিতরণ সমান্তরাল হিসাবে একই নয়। :)

— কাভেঃ

সত্যি সত্যি. আমার অর্থ, এটি আমার মনে যা ছিল তা নয়, তবে এটি বিতরণের গণনার জবাবের বিপক্ষে নয়।

— jmite

অবশ্যই, আমি কেবল জিজ্ঞাসা করেছি কারণ বিতরণ করা কম্পিউটিংয়ে নিম্নতর ফলাফল রয়েছে যা বেশ উন্নত গণিত ব্যবহার করে।

— কাভেঃ

Answer 1

বীজগণিত সার্কিটের জন্য নিম্ন সীমানা

বীজগণিত সার্কিটগুলির সেটিংয়ে, যেখানে সার্কিটের আকারের উপরের নিচের দিকে আবদ্ধ সময় অনুসারে একটি নিম্ন বাউন্ডের সাথে সমান, সেখানে অনেকগুলি ফলাফল জানা যায়, তবে আরও আধুনিক ফলাফলগুলিতে কয়েকটি প্রাথমিক কৌশল রয়েছে। আমি জানি আপনি সময় নিম্নের সীমা চেয়েছিলেন, তবে আমি মনে করি অনেক ক্ষেত্রে আশা করা যায় যে বীজগণিত নিম্ন সীমানা একদিন বুলিয়ান / টুরিং মেশিনকে নিম্ন সীমানায় নিয়ে যাবে। এই ফলাফলগুলি প্রায়শই "খাঁটি গণিত" থেকে গভীর কৌশল ব্যবহার করে যেমন আপনি এটি রেখেছেন।

আই। সীমাবদ্ধ

স্ট্র্যাসেন দেখিয়েছিলেন যে কোনও নির্দিষ্ট বীজগণিত জাতের ডিগ্রি লগ একটি (সেট) ফাংশন (গুলি) এর সাথে সম্পর্কিত যা এই ফাংশনগুলি গণনার ক্ষেত্রে বীজগণিতীয় সার্কিট আকারের উপর একটি নিম্ন আবদ্ধ bound

২। সংযুক্ত উপাদান (বা আরও সাধারণভাবে কোনও উচ্চতর হোমোলজি গ্রুপের মাত্রা)।

বেন-অর দেখিয়েছেন যে একটি (আধা-বীজগণিত) সেটে সদস্যতার সিদ্ধান্ত নেওয়ার ক্ষেত্রে একটি বাস্তব বীজগণিত সিদ্ধান্ত গাছের আকারটি কমপক্ষে যেখানে সি সেটের সংযুক্ত উপাদানগুলির সংখ্যা। বেন-অথবা এই ব্যবহৃত একটি প্রমাণ করার Ω ( ঢ লগ ইন করুন এন ) (অবশ্য উপাদান বৈশিষ্ট্য, কিন্তু উপাদান বৈশিষ্ট্য বাছাই করার হ্রাস) বাছাই উপর আবদ্ধ বাস্তব বীজগাণিতিক সিদ্ধান্ত গাছ মডেল নত করুন। ইয়াও সংযুক্ত উপাদান থেকে বেটি সংখ্যাগুলির যোগফলকে এটি প্রসারিত করেছিল এবং অন্যান্য সমস্যার জন্য অনুকূল নিম্ন সীমা প্রমাণ করে (যেমন $\log C$$C$$\Omega(n \log n)$$k$ কোয়ালালস) । ইয়াও একটি ভিন্ন কাগজে এটি পূর্ণসংখ্যার উপর বীজগণিত সিদ্ধান্ত গাছগুলিতে প্রসারিত করে।

তৃতীয়। আংশিক অন্তরকলন.

এটি আধুনিক বীজগণিত সার্কিট নিম্ন সীমাগুলির অনেকেরই ওয়ার্কহর্স। আমি বিশ্বাস করি আংশিক ডেরাইভেটিভস প্রথম প্রমাণ করার একটি Baur-Strassen যেখানে তারা দেখিয়েছেন যে সব কম্পিউটিং প্রথম partials দ্বারা আবদ্ধ নিম্ন ব্যবহার করা হয়েছিল আকার মধ্যে সম্পন্ন করা যাবে 5 গুলি যেখানে গুলি আকার কম্পিউট করা প্রয়োজন হয় চ । আবদ্ধ Strassen ডিগ্রি সাথে মিলিত ভাবে দিলেন Ω ( ঢ লগ ইন করুন এন ) বিভিন্ন ফাংশন, যা এখনও একটি সুনির্দিষ্ট ফাংশন জন্য অবাধ গাণিতিক সার্কিট আকারের উপর শক্তিশালী নিম্ন সীমা উপর আকার নিম্ন সীমা।$f$$5s$$s$$f$$\Omega(n \log n)$

আংশিক ডেরিভেটিভগুলির সাম্প্রতিক ব্যবহার নিসানের একটি কাগজ থেকে উদ্ভূত হয়েছে যেখানে তিনি সমস্ত আংশিক ডেরাইভেটিভের জায়গার মাত্রা বিবেচনা করে ননকমুটেশনাল সার্কিটগুলিতে নিম্ন সীমানা প্রমাণ করেছিলেন। এটি নিসান-উইগডারসন দ্বারা সীমাবদ্ধ ধরণের গভীরতা -3 সার্কিটগুলির নিম্ন সীমানা প্রমাণ করার জন্য ব্যবহৃত হয়েছিল, এবং অনুরূপ ধারণাগুলি রাজের দ্বারা বহির্মুখী সূত্র আকারের (এবং রাজা এবং সহযোগীদের দ্বারা সম্পর্কিত মডেল) নিম্ন সীমা প্রমাণ করার জন্য ব্যবহৃত হয়েছিল। গুপ্ত, কায়াল, কামাথ এবং সপ্তারিশির অতি সাম্প্রতিক গভীরতা 4 এবং গভীরতা 3 নীচের সীমানা "স্থানান্তরিত আংশিক ডেরাইভেটিভস" এর স্থানের মাত্রা গণনা করার জন্য এই ধারণার একটি সাধারণীকরণ ব্যবহার করে - যেখানে আপনি আংশিক ডেরিভেটিভগুলি গ্রহণ করতে পারেন এবং তারপরে গুন করতে পারবেন প্রদত্ত ডিগ্রির কোনও মোমোমিয়াল। ) স্থায়ী নাবালিকাদের দ্বারা উত্পন্ন আদর্শের আরও ভাল বোঝার "ন্যায়বিচার" হতে পারে (তাদের কাগজের শেষে অনুমানটি দেখুন)।$\mathrm{VP} \neq \mathrm{VNP}$

চতুর্থ। বিভিন্ন জন্য সমীকরণ সংজ্ঞা।

এখানে ধারণাটি হ'ল একটি সহজ বীজগণিত বৈচিত্র্যের সাথে "সহজ ফাংশনগুলি" যুক্ত করা, এই বৈচিত্র্যের উপর যে সমীকরণ রয়েছে তা সন্ধান করুন এবং দেখান যে এই সমীকরণগুলি আপনার "হার্ড ফাংশন" এ বিলুপ্ত হয় না। (অতএব প্রমাণ করে যে আপনার হার্ড ফাংশনটি বিভিন্ন সহজ ফাংশনগুলিতে নয়, যাতে এটি আসলে শক্ত)) বিশেষত ম্যাট্রিক্স গুণনের নিম্ন সীমানায় কার্যকর। সর্বশেষের জন্য আরএক্সিবের ল্যান্ডসবার্গ - অটোভিয়ানি এবং পূর্বের নিম্ন সীমাগুলির জন্য উল্লেখ দেখুন।

(প্রকৃতপক্ষে, উপরের I, II, এবং III সমস্ত কিছু নির্দিষ্ট জাতের জন্য সংজ্ঞা নির্ধারণ সমীকরণগুলির বিশেষ কেস হিসাবে দেখা যেতে পারে, যদিও I, II, III ব্যবহার করে যে প্রমাণগুলি মূলত সেভাবে কখনই বিভক্ত হয় না, কারণ সত্যিকার অর্থে এটি ছিল না) প্রয়োজন.)

ভি। প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব, এসএসপি জ্যামিতিক জটিলতা তত্ত্ব হিসাবে।

প্রকৃতপক্ষে, ল্যান্ডসবার্গও ব্যবহার করেছেন - নির্দিষ্ট জাতের জন্য কিছু সমীকরণ খুঁজতে অটোভিয়ানি। বার্গিজার-ইকেনমিয়ার দ্বারা "বিশুদ্ধভাবে" উপস্থাপনা-তাত্ত্বিক প্রমাণ পাওয়ার জন্য ম্যাট্রিক্স গুণনের উপর ভিত্তি করে কিছুটা দুর্বল নিম্নতর। বনাম ভি এন পি এবং শেষ পর্যন্ত সমাধানের জন্য দরকারী হওয়ার জন্য মুলমুলি এবং সোহনি (সিএফ। "জ্যামিতিক জটিল জটিলতা তত্ত্ব আই এবং II") দ্বারা অনুমান করা হয়েছে$\mathrm{VP}$$\mathrm{VNP}$ বনাম পি / পি ণ ঠ Y ।$\mathrm{NP}$$\mathrm{P/poly}$

Comments

আপনি কি আরও কিছুটা ব্যাখ্যা করতে পারবেন? $V$

— টি ....

@ জাস: এ কেমন? cstheory.stackexchange.com/a/17629/129

— জোশুয়া গ্রাচো

Answer 2

কাভাহ তার জবাবে আলতো করে পরামর্শ দিয়েছেন যে আমার কিছু কথা বলা উচিত। উত্তরের এই বিস্তৃত বিস্তৃত তালিকায় আমার অবদান রাখার মতো আর কিছু নেই। "কাঠামোগত জটিলতা" কীভাবে নিম্ন দশকের বিগত দশ বছর বা তার পরে বিবর্তিত হয়েছে সে সম্পর্কে আমি কয়েকটি জেনেরিক শব্দ যুক্ত করতে পারি। (আমি কেবল বীজগণিত, যোগাযোগ জটিলতা ইত্যাদি থেকে পৃথক করতে "কাঠামোগত জটিলতা" নামটি ব্যবহার করি)

বর্তমান পন্থাগুলি এখনও মূলত তির্যককরণের উপর ভিত্তি করে এবং বিশেষত নিম্নলিখিত মৌলিক দৃষ্টান্ত: নিম্ন সীমাটির বিপরীতে ধরে ধরে শুরু করুন। এটি আপনাকে কিছু সমস্যার জন্য একটি দুর্দান্ত অ্যালগরিদম দেয়। সময়ক্রমক্রম বা স্থান স্থানক্রমের মতো ডায়াগোনাইজেশনের উপর ভিত্তি করে কিছু শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদ্যের বিরোধিতা করার জন্য সেই অ্যালগরিদমটি ব্যবহার করার চেষ্টা করুন। যেহেতু এককভাবে তির্যক আর্গুমেন্টগুলি নতুন নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করার পক্ষে যথেষ্ট নয়, তাই অন্যান্য উপাদানগুলি বিপরীতে তৈরির রেসিপিটি পেতে মিশ্রণে যুক্ত করা হয়।

আমার বলা উচিত যে 70 এবং 80 এর দশকের অনেকগুলি আর্গুমেন্টকে উপরের ধরণটি অনুসরণ করতেও বলা যেতে পারে; আজকাল প্রাথমিক পার্থক্য হ'ল "অন্যান্য উপাদানগুলি" - বেছে নিতে অনেকগুলি উপাদান রয়েছে এবং যে উপায়ে উপাদান প্রয়োগ করা যেতে পারে তা কেবল আপনার নিজস্ব সৃজনশীলতার দ্বারা সীমাবদ্ধ বলে মনে হয়। কখনও কখনও, যখন আপনি কোনও ভাল রেসিপি পেতে কোনও নির্দিষ্ট উপাদান কীভাবে মিশ্রণ করতে জানেন না, তবে তারা কীভাবে মিশ্রণ করতে পারেন তা আপনি খুব ভালভাবে বুঝতে পারেন , এটি আপনার জন্য নতুন রেসিপিগুলির পরামর্শ দেয় এমন একটি কম্পিউটার প্রোগ্রামের কোড আপ করতে সহায়তা করে।

নিশ্চিতভাবে এই দৃষ্টান্তটি অনুসরণ করে না এমন সাম্প্রতিক নিম্ন সীমাগুলির নতুন প্রমাণগুলি পাওয়া খুব আকর্ষণীয় হবে । উদাহরণস্বরূপ, একটি তির্যক যুক্তির কোনও রেফারেন্স ছাড়াই প্রমাণ করা যায়? শুরু করার জন্য, ননডেটেরিনিস্টিক টাইম হায়ারার্কি উপপাদ্যকে না ডেকে প্রমাণ করা যায় কি? (এর পরিবর্তে কেউ কি "সার্কিট আকারের স্তরক্রম" ব্যবহার করতে পারে? উদাহরণস্বরূপ)$NEXP \not\subset ACC$

Answer 3

কৌশলগুলি মডেল এবং যে ধরণের সংস্থানটি আমরা নিম্ন সীমাবদ্ধ করতে চাই তার উপর নির্ভর করে। দ্রষ্টব্য যে সমস্যার জটিলতার উপর নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করতে আমাদের প্রথমে গণনার গাণিতিক মডেলটি ঠিক করতে হবে: একটি সমস্যা রাষ্ট্রের জন্য একটি নিম্ন গণ্ডীটি হ'ল কিছু পরিমাণ সংস্থান ব্যবহার করে কোনও অ্যালগরিদম সমস্যার সমাধান করতে পারে না, অর্থাৎ আমরা বিশ্বব্যাপী পরিমাণ নির্ধারণ করছি অ্যালগরিদমের ওপরে। আমাদের মাপদণ্ডের ডোমেনের গাণিতিক সংজ্ঞা থাকতে হবে। (এটি অসম্ভব ক্ষতির ফলাফলের জন্য সাধারণত সত্য)) সুতরাং, নিম্ন সীমাবদ্ধ ফলাফলগুলি কেবলমাত্র নির্দিষ্ট মডেলের গণনার জন্যই থাকে। উদাহরণস্বরূপ, $\Omega(n \log n)$বাছাইয়ের জন্য নিম্ন সীমাবদ্ধতা কেবল তুলনামূলক ভিত্তিক বাছাই অ্যালগরিদমগুলির জন্য কাজ করে, এই সীমাবদ্ধতা ছাড়াই এবং গণনার আরও সাধারণ মডেলগুলিতে দ্রুত এমনকি এমনকি লিনিয়ার সময় বাছাইয়ের সমাধান করা সম্ভব। (নীচে জোশের মন্তব্য দেখুন))

গণনার আরও সাধারণ মডেলগুলির (ট্যুরিং মেশিন এবং সার্কিট) জন্য গণনা জটিলতার তত্ত্বের নিম্ন সীমা প্রমাণ করার কয়েকটি প্রাথমিক প্রত্যক্ষ পদ্ধতি রয়েছে।

আই। গণনা:

আইডিয়া: আমরা দেখাই যে আরও কার্যকারিতা রয়েছে যা অ্যালগোরিদমগুলিতে থাকে।

উদাহরণস্বরূপ: এমন ফাংশন রয়েছে যার জন্য দ্রুততর সার্কিট প্রয়োজন।

এই পদ্ধতির সমস্যাটি হ'ল এটি একটি অস্তিত্বযুক্ত যুক্তি এবং সমস্যাটির জটিলতার উপর কোনও সুস্পষ্ট ফাংশন বা কোনও উচ্চতর আবদ্ধতা দেয় না।

২। সংযুক্তিকরণ / বীজগাণিতিক:

আইডিয়া: আমরা সার্কিটগুলি বিশ্লেষণ করে দেখি যে তাদের একটি নির্দিষ্ট সম্পত্তি রয়েছে, যেমন তাদের দ্বারা গণনা করা ফাংশনগুলি গাণিতিক অবজেক্টের কিছু দুর্দান্ত শ্রেণীর দ্বারা প্রায় অনুমান করা যায়, যখন লক্ষ্য ক্রিয়ায় সেই সম্পত্তি থাকে না।

উদাহরণস্বরূপ : হস্তাদের সুইচিং লেমা এবং এর রূপগুলি আনুমানিক এ সিদ্ধান্ত গাছ ব্যবহার করে , রাজবরোভ-স্মোলেস্কি ক্ষেত্রগুলিতে আনুমানিক ফাংশন A C 0 [ p ] ইত্যাদিতে বহুভুজ ব্যবহার করে etc.$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}[p]$

এই পদ্ধতির সমস্যাটি হচ্ছে বাস্তবে এটি কেবলমাত্র ছোট এবং অপেক্ষাকৃত সহজ শ্রেণীর বিশ্লেষণের জন্য কাজ করেছে। রাজবরোভ-রুডিচের প্রাকৃতিক প্রুফ বাধা রয়েছে যা একরকমভাবে সরল সম্পত্তিগুলি কেন আরও সাধারণ সার্কিট নিম্ন সীমা প্রমাণ করার পক্ষে পর্যাপ্ত হওয়ার সম্ভাবনা কম তা একভাবে আনুষ্ঠানিক করে দেয়।

রাজবোরভের কাগজ " আনুমানিক পদ্ধতিতে " যুক্তি দেখায় যে অনুমানের পদ্ধতিটি এক অর্থে নিম্ন সীমা প্রমাণ করার জন্য সম্পূর্ণ।

তৃতীয়। Diagonalization:

ধারণা. আমরা ছোট শ্রেণিতে ফাংশনগুলির বিরুদ্ধে তির্যক। ধারণাটি গডেলের কাছে ফিরে আসে (এবং এমনকি ক্যান্টর)।

যাত্রা। টাইম হায়ারার্কি উপপাদ্য , স্পেস হায়ারার্কির উপপাদ্য ইত্যাদি

এই পদ্ধতির মূল বিষয়টি হ'ল একটি উচ্চতর বাউন্ড পেতে আমাদের আরও ছোট শ্রেণির জন্য একটি সার্বজনীন সিমুলেটর থাকা দরকার এবং ভাল অ-তুচ্ছ সিমুলেটরগুলি খুঁজে পাওয়া শক্ত। উদাহরণস্বরূপ, আলাদা থেকে পি এস পি একটি গ ই আমরা জন্য একটি simulator থাকতে হবে পি ভিতরে পি এস পি একটি গ ঙ এবং সেখানে দেখানো যে, তারা সুন্দর হতে যাচ্ছে না যদি এমন সিমুলেটর হয় ফলাফল। অতএব, আমরা সাধারণত একই ধরণের সংস্থান সহ ক্লাস পৃথক করে শেষ করি যেখানে আরও কিছু সংস্থান ব্যবহার করে আমরা সর্বজনীনভাবে ছোট শ্রেণির অনুকরণ করতে পারি।$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$

আমাদের আবার আপেক্ষিকতা বাধা (বাকের, গিল এবং সলোভায় ফিরে যাওয়া) এবং বীজগণিত বাধাও রয়েছে (অ্যারনসন এবং উইগডারসন দ্বারা) যা উল্লেখ করে যে নির্দিষ্ট ধরণের তির্যক আর্গুমেন্টগুলি অন্যান্য সেটিংসে স্থানান্তরিত করে যেখানে ফলাফলটি প্রমাণিতভাবে ভুল।

নোট করুন যে এই বাধাগুলি আরও সাধারণ তির্যক যুক্তির জন্য প্রযোজ্য নয়। প্রকৃতপক্ষে, ডেক্সটার কোজেনের কাগজ " সাব্রাক্সেসিভ ক্লাসগুলির সূচীকরণ " দ্বারা, নিম্ন সীমা প্রমাণের জন্য মধ্যে তির্যকটি সম্পূর্ণ।

আপনি সম্ভবত লক্ষ্য করেছেন, জটিলতা শ্রেণীর জন্য ভাল সার্বজনীন সিমুলেটর সন্ধান করা এবং সেই জটিলতা শ্রেণিকে বৃহত্তর শ্রেণি থেকে পৃথক করার মধ্যে একটি দৃ relations় সম্পর্ক রয়েছে (আনুষ্ঠানিক বিবৃতিতে কোজেনের কাগজটি দেখুন)।

সাম্প্রতিক কাজ

সাম্প্রতিক অগ্রগতির জন্য, রায়ান উইলিয়ামস সাম্প্রতিক কাগজপত্রগুলি দেখুন। আমি এই উত্তরে সেগুলি নিয়ে আলোচনা করি না কারণ আমি আশা করি রায়ান নিজেই একটি উত্তর লিখবে।

Comments

পুনরায় বাছাই: আসলে, র্যাম মডেল এক বীট করতে পারেন , যদিও হে ( ঢ ) সময় এখনো জানা যায়নি। এছাড়াও, পুনরায়: তৃতীয় (তির্যককরণ): এটি উল্লেখযোগ্য যে রায়ান উইলিয়ামসের এনএক্সপি বনাম এসি ^ 0 ফলাফল অবশেষে ননডেটেরিনিস্টিক সময়ক্রমক্রমের উপপাদ্যের উপর নির্ভর করে (একটি তির্যক যুক্তি), তবে সেখানে পৌঁছানোর জন্য চতুরতার সাথে বিভিন্ন ফলাফল এবং অ্যালগরিদমের সংমিশ্রণ ঘটে। $n \log n$$O(n)$

— জোশুয়া গ্রাচো

প্রতিটি নিম্ন সীমাবদ্ধতা কেবল গণনার নির্দিষ্ট মডেলটিতে কাজ করে, কেবল নিম্ন বাউন্ডকে বাছাই করে না। ট্যুরিং মেশিন এবং বুলিয়ান সার্কিটগুলিও গণনার মডেল।

— জেফি

@ জ ff ই, আমি মনে করি এটি আমার উত্তরের প্রথম বাক্যে অন্তর্নিহিত তবে আমি এটি পরিষ্কার করব।

— কাভেঃ

আমি মনে করি এই বিষয়টি সুস্পষ্ট হওয়া উচিত। এটি প্রায়শই উপেক্ষা করা হয়।

— জেফি

Answer 4

বীজগণিত সিদ্ধান্ত গাছ

এটি সাম্প্রতিক কৌশল নয়, এটি একটি নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য বেশ শক্তিশালী।

বীজগণিত সংক্রান্ত সিদ্ধান্ত গাছের মডেল তুলনা গাছগুলির একটি শক্তিশালী সাধারণীকরণ। এই মডেলটিতে, একটি অ্যালগরিদম সিদ্ধান্ত গাছের একটি অ-ইউনিফর্ম পরিবার হিসাবে মডেল করা হয়, প্রতিটি ইনপুট আকারের । বিশেষত, ডি ডি -অর্ডার বীজগণিত সিদ্ধান্ত গাছটি নীচের কাঠামোযুক্ত একটি মূলযুক্ত টেরিনারি গাছ:$n$$d$

• প্রতিটি নন-লিফ নোড মাল্টিভারিয়েট ক্যোয়ারী বহুপদী q ভি দিয়ে লেবেলযুক্ত$v$ সর্বাধিক ডিগ্রী ঘ । উদাহরণস্বরূপ, তুলনা গাছের ক্ষেত্রে, প্রতিটি ক্যোয়ারীবহুপদীতে কিছু ইনডিজ i এবং j এর জন্য x i - x j ফর্ম থাকে।$q_v(x_1, \dots, x_n)$$d$$x_i-x_j$$i$$j$

• প্রান্ত প্রত্যেক অ পাত নোড যাব লেবেলযুক্ত , 0 , এবং + + 1 ।$-1$$0$$+1$

• প্রতিটি পাতায় একটি সম্ভাব্য আউটপুট বিবরণ লেবেলযুক্ত। উদাহরণস্বরূপ, বাছাই সমস্যার জন্য, প্রতিটি গাছের পাতা সেটের একটি বিন্যাস দিয়ে লেবেল করা হয় । সিদ্ধান্তগত সমস্যার জন্য, প্রতিটি পাতাকে "হ্যাঁ" বা "না" লেবেলযুক্ত রয়েছে।$\{1,2,\dots,n\}$

একটি ইনপুট ভেক্টরকে দেওয়া , আমরা পরিদর্শন করা নোডগুলিতে ক্যোয়ারী বহুপদীগুলির সাইন অনুসারে শাখা করে রুট থেকে নীচের দিকে একটি পথ অতিক্রম করে গণনা করি। ট্র্যাভারসাল অবশেষে একটি পাতায় পৌঁছে; যে পাতার লেবেল আউটপুট হয়। অ্যালগরিদমের "চলমান সময়" ট্র্যাশড পথের দৈর্ঘ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়; সুতরাং, সবচেয়ে খারাপ সময় চলমান সময় সিদ্ধান্ত গাছ গভীরতা হয়।$\vec{x}\in\mathbb{R}^n$

বিশেষ প্রতিটি প্রশ্নের সাথে বহুপদী থাকতে পারে নোট স্বতন্ত্র পদ; তবুও, মডেল ধরে নিয়েছে যে আমরা স্থির সময়ে যে কোনও প্রশ্নের বহুবচনটির চিহ্নটি মূল্যায়ন করতে পারি।$\Omega(n^d)$

প্রতিটি গাছের পাতা জন্য যাক আর ( ℓ ) ⊆ আর এন ইনপুট ভেক্টর সেট, যার জন্য মৃত্যুদন্ড পৌছানোর বোঝাতে ℓ । নির্মাণ করে, আর ( ℓ $\ell$$R(\ell) \subseteq \mathbb{R}^n$$\ell$$R(\ell)$ একটি আধা বীজগাণিতিক উপসেট দ্বারা সংজ্ঞায়িত সর্বাধিক টন = গভীরতা ( ℓ ) সর্বাধিক ডিগ্রী বহুপদী অসাম্য ঘ , কিছু ধ্রুবক জন্য ঘ । পেট্রোভস্কি এবং ওলেজনিক, থম এবং মিলনোর দ্বারা স্বতন্ত্রভাবে প্রমাণিত একটি ধ্রুপদী উপপাদ্যটি বোঝায় যে এইরকম একটি আধা-বীজগণিত সেট সর্বাধিক ( ডি টি $\mathbb{R}^n$$t = \text{depth}(\ell)$$d$$d$ উপাদান।$(dt)^{O(n)}$

আমরা সিদ্ধান্ত নিতে চাইছেন যদি একটি উপসেট ইনপুট ভেক্টর মিথ্যা । ডাব্লু সর্বাধিক 3 টি ( ডি) হলেই আমরা গভীরতা টি সহ ডি-র অর্ডার সিদ্ধান্ত গাছ ব্যবহার করে এই সিদ্ধান্ত নিতে পারি$W\subseteq\mathbb{R}^n$$d$$t$$W$ উপাদান। সমানভাবে, আমাদের কাছে নিম্ন সীমাবদ্ধ টি = Ω ( লগ # ডাব্লু - এন লগ ডি ) রয়েছে ।$3^t (dt)^{O(n)}$$t = \Omega(\log \#W - n\log d)$

উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আমরা নির্ধারণ করতে চাই যে ইনপুট ভেক্টরের সমস্ত স্থানাঙ্কগুলি পৃথক কিনা । "হ্যাঁ" উদাহরণগুলির সেট ডাব্লুতে ঠিক হ'ল এন ! উপাদান, আকার প্রতিটি বিন্যাস জন্য এক এন , তাই আমরা অবিলম্বে বাউন্ড LOWER আছে Ω ( ঢ লগ ইন করুন এন ) ।$n$$W$$n!$$n$$\Omega(n\log n)$

নোট করুন যে এই নিম্ন ক্লাসিকাল Ω ( n লগ এন ) তুলনামূলকভাবে দুটি উপায়ে বাছাইয়ের জন্য কম আবদ্ধকে শক্তিশালী করে। প্রথমত, গণনার মডেল ইউনিট ব্যয়ে তুলনা তুলনায় অনেক বেশি জটিল প্রশ্নের মঞ্জুরি দেয়। দ্বিতীয়ত এবং আরও গুরুত্বপূর্ণভাবে, নীচের গণ্ডি কোনও সিদ্ধান্ত সমস্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য only কেবলমাত্র দুটি স্বতন্ত্র ফলাফল রয়েছে, তাই নিষ্প্রভ তথ্য-তাত্ত্বিক সীমাবদ্ধ তুচ্ছ। $\Omega(n\log n)$

এই তর্কটির এক্সটেনশানগুলি উপাদানগুলির সংখ্যার চেয়ে বেশি আকর্ষণীয় জটিলতার পদক্ষেপগুলি ব্যবহার করে, যেমন উচ্চতর বেটি সংখ্যা, এলিউর বৈশিষ্ট্য, ভলিউম বা নিম্ন-মাত্রিক মুখগুলির সংখ্যা number সমস্ত ক্ষেত্রে, পেট্রোভস্কি-ওলেজনিক-থম-মিল্নোর উপপাদ্যের সাধারণীকরণগুলি বোঝায় যে প্রতিটি সেট বেশিরভাগ ( ডি টি ) ও ( এন ) এর "জটিলতা" রয়েছে ।$R(\ell)$$(dt)^{O(n)}$

এই নিম্ন-সীমাবদ্ধ প্রযুক্তির দুটি উল্লেখযোগ্য ডাউনসাইড রয়েছে। প্রথমত, বহুবর্ষীয় গভীরতার সাথে বীজগণিত সিদ্ধান্ত গাছের পরিবারের সাথে সমাধান করা যায় এমন কোনও সমস্যা বিবেচনা করুন। পেট্রোভস্কি-ওলেজনিক-থম-মিলনোর উপপাদ্য এবং এর সাধারণীকরণগুলি বোঝায় যে এ জাতীয় সমস্যার সংজ্ঞা দেয় এমন অর্ধ-বীজগণিত সেটগুলি বেশিরভাগ জটিলতা রয়েছে । সুতরাং, এই কৌশলটি এই মডেলটিতে এন লগ এন এর চেয়ে কম সীমাটি প্রমাণ করার জন্য ব্যবহার করা যাবে না , যে কোনও সমস্যা যা বহুবর্ষীয় সময়ে সমাধান করা যায় for$n^{O(n)}$$n\log n$

$\Omega(n^2)$$O(n^4\log n)$$2^{O(n)}$$\mathbb{R}^n$$n^4\log n$$k$$k$$k$$k$$O(n^{k/2})$$O(n^4\log n)$বহুবচনগুলি ক্যোয়ারী; এই নির্মাণের সময়টি নিম্ন-সীমাবদ্ধ মডেলটিতে বিনামূল্যে।

দ্বৈত-নেতিবাচক ফলাফলের জন্য হুরারে!

Answer 5

মণীন্দ্র অগ্রওয়ালের একটি দুর্দান্ত কাগজ রয়েছে "সুইডোর্যান্ডম জেনারেটরগুলির মাধ্যমে লোয়ার সীমানা প্রমাণ করে"। নিম্ন সীমানা প্রমাণের জন্য এটি দৌড়ে একটি "গা horse় ঘোড়া" হিসাবে বিবেচিত হতে পারে তবে কাগজটি আকর্ষণীয়।

Comments

নিজের উত্তরটি স্বয়ংসম্পূর্ণ করতে আপনি আরও কিছু বিশদ দিতে পারেন?

— জেফি

@ জেফি: আমি কোনও গডেল পুরষ্কার বিজয়ীর লেখা কাগজে ক্যাপসুলের সারাংশ লেখার চেষ্টা করার স্বপ্ন দেখব না, তবে আমি চেষ্টা করব এবং আরও ভাল করে যাব। আমি মিঃ অগ্রওয়ালকে ইমেল করব এবং দেখুন যে তিনি এখানে কোনও মন্তব্য করতে চান কিনা, তার মনে হয় কেন তিনি মনে করেন যে পিআরজির কম সীমা প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যাবে না / সে সম্পর্কে কেন তার ধারণা রয়েছে।

— উইলিয়াম হেড

লিনিয়ার ফিডব্যাক শিফট রেজিস্টারগুলির উপর ভিত্তি করে পিউশোরডোরম জেনারেটরগুলি বীজগণিতের বৈশিষ্ট্যগুলি ভালভাবে অধ্যয়ন করেছে। জ্যামিতিক কমপ্লেক্সিটি থিওরিটি ব্যবহার করে কিছু জেনারেটর পরবর্তী-বিস্মিত প্রত্যাশিত এবং মিঃ অগ্রওয়ালের মতে, এমন শক্তিশালী স্যুইচোরেন্ডোম জেনারেটর আপনাকে নিম্ন সীমা প্রদান করবে তা দেখানোর জন্য এটি ব্যবহার করা সম্ভব।

— উইলিয়াম হার্ড

Answer 6

এটি একটি 32p জরিপ যা কেবলমাত্র সার্কিট নিম্ন সীমানা কোণে মনোযোগ নিবদ্ধ করে বিষয়টিতে উপস্থিত হয়েছিল (এখানে অন্যান্য উত্তরগুলির সাথে সামগ্রীতে দৃ strong় ওভারল্যাপ রয়েছে)।

• অলিভিরার দ্বারা অ্যালগরিদম বনাম সার্কিট লোয়ার সীমানা

"সার্কিট ক্লাস সি ফলন সার্কিটের জন্য নিম্নতর সীমানার জন্য নন্ট্রিভিয়াল অ্যালগরিদম" রূপটির একাধিক স্থানান্তর উপপাদ্য প্রমাণ করতে বিভিন্ন কৌশল ব্যবহার করা হয়েছে। এই সমীক্ষায় আমরা এই ফলাফলগুলির অনেকগুলি আবার ঘুরে দেখি। আমরা আলোচনা করি কীভাবে ড্যারানডমাইজেশন, সংক্ষেপণ, শেখা এবং সন্তোষজনকতা অ্যালগরিদম থেকে সার্কিট নিম্ন সীমাগুলি পাওয়া যায়। আমরা সার্কিট নিম্নতর সীমা এবং দরকারী বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে সংযোগটিও আচ্ছাদন করি, এমন একটি ধারণা যা এই স্থানান্তর তত্ত্বগুলির প্রসঙ্গে মৌলিক হতে পারে। পথ ধরে, আমরা কয়েকটি নতুন ফলাফল পেয়েছি, বেশ কয়েকটি প্রমাণ সহজীকরণ করেছি এবং বিভিন্ন ফ্রেমওয়ার্ক যুক্ত সংযোগগুলি দেখি। আমরা আশা করি যে আমাদের উপস্থাপনাটি এই ক্ষেত্রে গবেষণা চালাতে আগ্রহীদের জন্য একটি স্ব-অন্তর্ভুক্ত ভূমিকা হিসাবে কাজ করবে।

Comments

কিছুটা অনুরূপ রেফ / জরিপ: আইরোনিক জটিলতা : সন্তুষ্টি অ্যালগরিদম এবং নিম্ন সীমা সান্থানাম দ্বারা, বিএটিসিএস # 106

— ভিজএন