সহজ সিদ্ধান্ত সমস্যা, হার্ড অনুসন্ধান সমস্যা

Question

ন্যাশ ভারসাম্য রয়েছে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া সহজ (এটি সর্বদা হয়); তবে, আসলে এটির সন্ধান করা কঠিন বলে মনে করা হয় (এটি পিপিএডি-সম্পূর্ণ)।

সমস্যাগুলির আরও কয়েকটি উদাহরণ কী যেখানে সিদ্ধান্ত সংস্করণটি সহজ তবে অনুসন্ধান সংস্করণ তুলনামূলকভাবে কঠিন (সিদ্ধান্ত সংস্করণের তুলনায়)?

আমি বিশেষত সেই সমস্যাগুলিতে আগ্রহী যেখানে সিদ্ধান্ত সংস্করণ অ-ট্রিভাল (ন্যাশ ভারসাম্য রক্ষার ক্ষেত্রে ভিন্ন) is

Comments

সম্ভবত সম্প্রদায়ের উইকি হওয়া উচিত: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/225/…

— ডেভ ক্লার্ক

@ সুপেরকোলডেভ: আমি এই ক্ষেত্রে সিডাব্লুয়ের সাথে তাড়াতাড়ি করব না। এটি দেখা দিতে পারে যে একটি অ-তুচ্ছ কিন্তু সহজ সিদ্ধান্ত সংস্করণ এবং হার্ড অনুসন্ধান সংস্করণে খুব কম প্রাকৃতিক সমস্যা রয়েছে। এটি অগত্যা একটি "বড় তালিকা" নয়।

— জুক্কা সুমেলা

আমি সেই বৃহত তালিকার সাথে সম্প্রদায়টি চলেছি = সম্প্রদায় উইকিতে।

— ডেভ ক্লার্ক

সুতরাং এটি প্রশ্ন উত্থাপন করে "কোনও অনুসন্ধান সমস্যার সাথে যুক্ত হওয়ার প্রাকৃতিক সিদ্ধান্তের সমস্যাটি কী?" আমি মনে করি NE এর অস্তিত্ব প্রাকৃতিক সিদ্ধান্তের সমস্যা নয় NE এর সাথে যুক্ত।

— কাভেহ

@ কাভেঃ আপনি ন্যাশের জন্য সিদ্ধান্তের সংজ্ঞাটি সংজ্ঞায়িত করতে পারেন (যদি আপনি ন্যাশের কোনও সমাধানের এনকোডিং নির্দিষ্ট করে থাকেন) তবে সমস্যাটি ন্যাশের মতোই জটিলতা বা না, বা আনুষ্ঠানিকভাবে, সিদ্ধান্ত গ্রহণটি ন্যাশের ক্ষেত্রে হ্রাসযোগ্য কিনা whether । আমি সন্দেহ করি কারণ কিছু অতিরিক্ত বাধা সন্তুষ্ট করে ন্যাশ ভারসাম্য খুঁজে পাওয়া প্রায়শই এনপি-হার্ড।

— Tsuyoshi Ito

Answer 1

একটি পূর্ণসংখ্যা দেওয়া হয়েছে, এটিতে একটি তুচ্ছ ত্রুটিযুক্ত উপাদান রয়েছে? -> তুচ্ছভাবে পি।

একটি পূর্ণসংখ্যা দেওয়া হয়েছে, একটি তুচ্ছ ত্রুটিযুক্ত ফ্যাক্টর সন্ধান করুন, যদি সেখানে একটি থাকে -> এফপিতে থাকার কথা জানা নেই।

Comments

অথবা আপনি জিজ্ঞাসা করতে পারেন, এটিতে কি প্রধান উপাদান রয়েছে? তারপরে আপনার প্রাইমসের দরকার নেই পি কাগজে

— বজরন কেজস-হানসেন

Answer 2

এখানে আরেকটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে: জি-তে একটি ঘন গ্রাফ জি এবং হ্যামিলটোনীয় চক্রটি দেওয়া, জি-তে একটি ভিন্ন হ্যামিল্টোনীয় চক্রটি আবিষ্কার করুন Such এই জাতীয় চক্রটি উপস্থিত রয়েছে (স্মিথের উপপাদ্য অনুসারে) তবে, যতদূর আমি জানি, এটি খোলা আছে কিনা বহুগুণে গণিত

Answer 3

আপনি যদি ন্যাশ ভারসাম্য রক্ষার জন্য নিম্নলিখিত "লিউও" দিয়ে থাকেন তবে তা:

• পূর্ণসংখ্যার ফ্যাক্টরীকরণ, যেখানে সিদ্ধান্তের সমস্যাটি "এই পূর্ণসংখ্যার একটি কার্যকর উপস্থাপনা আছে কি?" (তুচ্ছ, হ্যাঁ), এবং অনুসন্ধানের সমস্যাটি এটি আউটপুট করা

সিদ্ধান্ত সমস্যার সংজ্ঞা দেওয়ার জন্য একই ধরণের উদার ভাতার সাথে এখানে বেশ কয়েকটি জাল সমস্যাগুলি অনুমেয়ভাবে ফিট করতে পারে:

• সংক্ষিপ্ততর ভেক্টর সমস্যা (এসভিপি) - এটি খুঁজে নিন বনাম কোনও সংক্ষিপ্ততম ভেক্টর রয়েছে কিনা তা স্থির করুন
• নিকটতম ভেক্টর সমস্যা (সিভিপি) - এটি সন্ধানের কোনও নিকটতম ভেক্টর রয়েছে কিনা তা স্থির করুন

অবশ্যই, এগুলি এমন সমস্ত ক্ষেত্রে যেখানে আমি বর্ণিত সিদ্ধান্ত সংস্করণটি খুব আকর্ষণীয় নয় (কারণ এটি তুচ্ছভাবে ঘটনা)। একটি সমস্যা যা ততটা তুচ্ছ নয় :

• প্ল্যানার গ্রাফ -colorability জন্য ট ≥ $k$$k \ge 4$

প্ল্যানার গ্রাফ 4-কলারিবিলিটির সিদ্ধান্তের সমস্যাটি পি.এর মধ্যে রয়েছে তবে অভিধানের প্রথম দিক থেকে সমাধান পাওয়া এনপি-হার্ড ( খুলার / ভিজারানী )।

নোট করুন যে সম্পত্তিটিতে আপনি সত্যই আগ্রহী তা হ'ল স্ব-হ্রাসযোগ্যতা (বা বরং, স্ব-স্ব-হ্রাসযোগ্যতা)। প্ল্যানার গ্রাফ রঙিন সমস্যায়, অপরিহার্য সমস্যাটি হ'ল সংস্করণযোগ্যতার সাধারণ ক্ষেত্রে স্ব-হ্রাস করার পদ্ধতি কোনও গ্রাফে প্ল্যানারিটি নষ্ট করে দেয়।$k$

Answer 4

যাক , উপর র্যান্ডম গ্রাফ 1 , ... , এন , যা প্রতিটি প্রান্ত সম্ভাব্যতা সঙ্গে স্বাধীনভাবে উপস্থিত 1 / 2 । চয়ন করুন এন 1 / 3 ছেদচিহ্ন জি অবিশেষে এলোমেলোভাবে এবং এতদুভয়ের মধ্যবর্তী যা প্রান্ত; যোগ করুন ফলাফল গ্রাফ এইচ কল । তারপর এইচ আকারের একটি উপদল রয়েছে এন 1 / 3 ।$G=G(n,1/2)$$1,\ldots,n$$1/2$$n^{1/3}$$G$$H$$H$$n^{1/3}$

অনুসন্ধান করুন সমস্যা: আকার কমপক্ষে একটি উপদল এটি ।$10\log n$

Comments

খুব ঝরঝরে! এ সম্পর্কে কি কোনও প্রাসঙ্গিক কাগজ রয়েছে?

— আন্দ্রেস সালামন

@ অ্যান্ড্রেস: আরও কিছুটা পটভূমি দেওয়ার জন্য এটিকে "লুকানো চক্রের সমস্যা" বলা হয়। যদি লাগানো গোপন চক্রটি ওমেগা (স্কয়ার্ট (এন লগ এন)) শীর্ষে থাকে তবে সহজেই দেখা যায় যে চক্রটির শীর্ষকোষগুলি প্রায় উচ্চতর ডিগ্রিধারী, তারা অবশ্যই। [অ্যালন-ক্রিভলেভিক-সুডাকভ] ( tau.ac.il/~nogaa/PDFS/clique3.pdf ) বর্ণালী কৌশল ব্যবহার করে ওমেগা ( স্কয়ার্ট (এন)) এ এটি উন্নত করে। ছোট আকারের লুকানো চক্রগুলির জন্য যেমন ও (লগ এন), তুচ্ছ-তুচ্ছ কিছুই জানা যায় না।

— অর্ণব

কার্প দ্বারা প্রকাশিত আরেকটি সম্পর্কিত উদ্বেগজনক সমস্যা হ'ল যে কোনও ধ্রুবক 0 <সি <1 এর জন্য জি (এন, 1/2) এর আকার (1 + সি) লগ (এন) এর একটি চক্র খুঁজে পাওয়া find এটি জানা যায় যে জি (এন, 1/2) এর প্রায় 2 মাপের একটি চক্র রয়েছে n একমাত্র বহুপদী সময় অ্যালগরিদমগুলি (যেমন লোভী হিসাবে) আকারের চক্রগুলি খুঁজে পায় (1 + o (1)) লগ (এন)।

— অর্ণব

@ অর্ণব: ফেইজি এবং রন সম্প্রতি একেএস ফলাফলকে সহজ করেছেন (আমার প্রশ্নে রেফারেন্স দেখুন cstheory.stackexchange.com/questions/1406/… )। @ লইগির কাছে আমার প্রশ্নটি আসলে প্রশ্ন সম্পর্কে ছিল: বিশেষ ধ্রুবকটি কী উত্সাহিত করে, এবং এই প্রশ্নটি কোনও কাগজে উত্থাপিত হয়েছিল যা উদ্ধৃত করতে পারে? $10\log n$

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 5

আরও একটি উদাহরণ; উপসেট-সমষ্টি সমতা: সঙ্গে স্বাভাবিক সংখ্যার Σ এন 1 একটি আমি < 2 এন - 1 । পায়রা-গহ্বর নীতি দুই সাব-সেট নির্বাচন অস্তিত্বের নিশ্চয়তা আমি , জে মধ্যে 1 , 2 , । । । , n যেমন ∑ i ∈ I a i$a_1,a_2,a_3,...,,a_n$$\sum_1^n{a_i} \lt 2^n -1$$I, J$${1,2,..., n}$ (যেহেতু সম্ভাব্য অঙ্কের চেয়ে বেশি সাবসেট)। আইএবংজেসেট সন্ধানের জন্য বহুপদী সময় অ্যালগরিদমের অস্তিত্বএকটি বিখ্যাত উন্মুক্ত সমস্যা।$\sum_{i\in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$$I$$J$

সাবসেট-অঙ্কের সমতা (কবুতর সংস্করণ)

Answer 6

অন্য সংখ্যা তত্ত্ব উদাহরণ, উপরের মত অনুরূপ। এটি বার্ট্র্যান্ডের পোষ্টুলেট দ্বারা জানা যায় যে প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার এর জন্য n এবং 2 n এর মধ্যে একটি প্রধান থাকে । কিন্তু বর্তমানে এমন কোনও প্রধান খুঁজে পাওয়ার জন্য আমাদের কাছে কোনও বহুপদী সময় অ্যালগরিদম নেই, এন দেওয়া আছে । (কাঙ্ক্ষিত অ্যালগরিদমটি অবশ্যই পল্লগ ( এন ) সময়ে চলতে হবে )) মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্যের কারণে সহজেই বহুবর্ষের সময়টি এলোমেলোম অ্যালগরিদমগুলি নিয়ে আসতে পারে এবং কিছু স্ট্যান্ডার্ড সংখ্যার তাত্ত্বিক অনুমান (যেমন ক্র্যামারের অনুমান) ধরে ধরে এগুলি ডিএনডেন্ডাইজ করতে পারে one$n$$n$$2n$$n$$n$), but no unconditionally polynomial time deterministic algorithm is known. Related work was recently done in the Polymath4 project; Tao's blog post on the project is a good summary of it.

Comments

Even without Bertrand's postulate, you have a deterministic algorithm with expected polynomial runtime due to the Prime Number Theorem and the AKS primality test.

— Joe Fitzsimons

@JoeFitzsimons, I am not sure what you mean by "deterministic algorithm with expected polynomial runtime".

— Chandra Chekuri

@ChandraChekuri, "deterministic" probably is meant to say that it always gets the correct answer.

— usul

@ChandraChekuri: Sorry, my choice of wording was poor. I meant that you can find a prime number with absolute certainty in expected polynomial time, rather than simply with bounded error. At least, I think that's what I meant. It was 3 years ago.

— Joe Fitzsimons

Answer 7

At the risk of being slightly off-topic, let me give a simple and natural example of a theory C answer: Eulerian cycles and distributed algorithms.

The decision problem is not completely trivial, in the sense that there are are both Eulerian and non-Eulerian graphs.

There is, however, a fast and simple distributed algorithm that solves the decision problem (in the sense that for yes-instances all nodes output "1" and for no-instances at least one node outputs "0"): each node just checks the parity of its own degree and outputs 0 or 1 accordingly.

But if you would like to find a Eulerian cycle (in the sense that each node outputs the structure of the cycle in its own neighbourhood), then we need essentially global information on the graph. It shouldn't be hard to come up with a pair of examples that shows that the problem requires $\Omega(n)$ communication rounds; on the other hand, $O(n)$ rounds is enough to solve any problem (assuming unique IDs).

In summary: $O(1)$-time decision problem, $\Theta(n)$-time search problem, and this is the worst possible gap.

---

Edit: This implicitly assumes that the graph is connected (or, equivalently, that we want to find an Eulerian cycle in each connected component).

Comments

This might be a stupid question (because I know almost nothing about distributed computing), but is there a promise that the graph is connected, or is the connectedness easy to check efficiently in a distributed way?

— Tsuyoshi Ito

Thanks, not a stupid question at all. I clarified my answer, I had forgotten to add the assumption that we deal with connected graphs here. (Usually there is little point in studying disconnected graphs from the perspective of distributed algorithms, as by definition there is no way to transmit information between the connected components, but of course this should be made explicit.)

— Jukka Suomela

Thanks! After reading your answer, I think that it should have been obvious that the graph (= network topology) was assumed to be connected. :)

— Tsuyoshi Ito

Answer 8

Finding Tverberg partitions is of unknown complexity:

Theorem: Let $x_1,x_2,\dots, x_m$ be points in $R^d$, $m \ge (r-1)(d+1)+1$. Then there is a partition $S_1,S_2,\dots, S_r$ of ${1,2,\dots,m}$ such that $\cap _{j=1}^r \text{conv} (x_i: i \in S_j) \ne \emptyset$.

Like with Nash equilibria, the partition is guaranteed by the theorem, but it's not known if a polytime algorithm exists to find one.

Gil Kalai wrote a wonderful series of posts on this topic: One, Two and Three.

Comments

Actually, any problem that falls into TFNP would be a good candidate I think. When an answer is guaranteed to exist by a theorem -- then, define some apparently-harder-than-P search problem over the possible solutions to accompany it.

— Daniel Apon

Answer 9

In all the examples above the decision problem is in P and the search problem is not known to be in P but not known to be NP-hard either. I want to point out that it is possible to have an NP-hard search problem whose decision version is easy.

Consider the generalized satisfiability problem for given relations $R_1,\ldots,R_k$ over Boolean domain $\{0,1\}$. An instance is an expression of the form

$$R_{i_1}(t_{11},\ldots,t_{1r_1}) \wedge \cdots \wedge R_{i_m}(t_{m1},\ldots,t_{mr_m})$$ where the $t_{ij}$'s are either variables or constants in ${0,1}$, and $r_1,\ldots,r_m$ are the arities of $R_1,\ldots,R_k$ (this is the same framework as in Schaeffer's dichotomy theorem with constants, in case you know what it is). The search problem is: given such an expression, find a lexicographically minimal solution, if there is one.

It was shown by Reith and Vollmer here that there exists a choice of relations $R_1,\ldots,R_k$ that make this problem NP-hard (actually OptP-complete) but keep the satisfiability problem easy (quite trivial actually). An example given in the paper is $R = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$ (here $k = 1$). Once the satisfiability problem is solvable in polynomial-time, the question whether there exists a lexicographically minimal satisfying assignment is trivial.

See Corollary 13 and the example following it in the paper above (at least in this on-line version).

Answer 10

• Decision version is (highly) non-trival in P: $k$-colourability ($k$ fixed) on graphs without induced path with five vertices; due to this paper.
• Search version is NP-hard: Finding the chromatic number of graphs without induced path with five vertices; due to this paper.

Comments

You perhaps meant to say that for fixed $k$, the decision version is in P.

— András Salamon

Answer 11

Take a "pairing-friendly" elliptic curve. That is, a curve that has a one bilinear map $e$ associated with it - with $e (a + b, c + d) = e (a c) e (a d) e (b c) e (b d)$ such that $e$ is difficult to invert).

Such pairings are used widely in cryptography, partially since given $e$, it is trivial to solve Decisional Diffie-Hellman (given $(g, h, g^a, h^b)$, decide if $a = b$: just verify whether $e (g, h^b) = e (h, g^a)$). However, it is still conjectured that the search/computational Diffie-Hellman problem is difficult.

Such groups are also generalized to "gap groups".

Answer 12

I guess Planar Perfect Matching got missed out from this list.

• The decision version is in NC (even the counting version is in $\mathsf{NC}$) by a parallel version (see Mahajan-Subramanya-Vinay) of Kastelyn's algorithm
• The search version remains unparallelised to date i.e there is no known deterministic $\mathsf{NC}$ algorithm for this problem (though if we drop either of the parallel or deterministic restrictions there are well known algorithms - Edmonds and Mulmuley-Vazirani-Vazirani/Karp-Upfal-Wigderson, respectively.

Answer 13

Let's notch up the complexity a bit.

Many decision problems about vector addition systems (VAS) are EXPSPACE-complete, but may require much larger witnesses. For instance, deciding whether the language of a VAS is regular is EXPSPACE-complete (e.g. Blockelet & Schmitz, 2011), but the smallest equivalent finite-state automaton might be of Ackermannian size (Valk & Vidal-Naquet, 1981). The explanation behind this huge gap is that there exist much smaller witnesses of non-regularity.