জেনারালাইজড প্ল্যানার গ্রাফ এবং জেনারেলাইজড আউটপ্ল্যানার গ্রাফ সম্পর্কে

Question

কোন প্ল্যানার যথাক্রমে outerplanar গ্রাফ $G=(V,E)$ সন্তুষ্ট , যথাক্রমে , যে subgraph জন্য এর । এছাড়াও, (বহিরাগত) প্ল্যানার গ্রাফগুলি বহুপদী সময়গুলিতে স্বীকৃত হতে পারে।| E ′ | ≤ 2 | ভি ′ | - 3 জি ′ = ( ভি ′ , ই ′ ) $|E'|\le 3|V'|-6$
$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

গ্রাফগুলি সম্পর্কে যা জানা যায় যেমন প্রতিটি প্রতি অনুচ্ছেদে জি '= ' এর জন্য | ই '| 3 লে 3 | ভি' | -6 (শ্রদ্ধা | ই '| \ লে 2 | ভি' | -3 ) (v ', ই') এর জি ? বহুবারের সময়গুলিতে কি তাদের চিনতে পারছেন?| E ′ | । 3 | ভি ′ | - 6 | E ′ | ≤ 2 | ভি ′ | - 3 জি ′ = ( ভি ′ , ই ′ ) $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

সম্পাদনা করুন (Eppstein এর চমৎকার উত্তর পরে): যেকোনো প্ল্যানার গ্রাফ সন্তুষ্ট প্রত্যেক subgraph জন্য এর সঙ্গে অন্তত তিনটি শীর্ষে । সুতরাং, "জেনারালাইজড প্ল্যানার গ্রাফগুলি" হবেন যারা এই সম্পত্তি সন্তুষ্ট করবেন এবং বহুবচনীয় সময়ে তাদের স্বীকৃতি দেবেন এটি একটি (আকর্ষণীয়) উন্মুক্ত প্রশ্ন বলে মনে হচ্ছে।$G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$G'=(V',E')$$G$ $|V'|\ge 3$

Comments

আপনার প্রশ্ন এবং সম্পাদনা দ্বারা, আমি শিরোনাম পরিবর্তন করেছি; ফিরে রোল নির্দ্বিধায়।

— ব্যবহারকারী 13136

Answer 1

লি এবং স্ট্রেইনুর স্বীকৃতিতে (নীচে উদ্ধৃতি দিয়ে) আপনি যে দ্বিতীয় শ্রেণীর তালিকাভুক্ত হলেন তা হ'ল (২,৩) -স্পার্স গ্রাফ। বহিরাগত সময়ে গ্রাফ (কে, এল) -স্পারস কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য তারা একটি অ্যালগরিদম দেয়। তবে প্ল্যানার গ্রাফ এবং সাথে পরিস্থিতি E ′ | । 3 | ভি ′ | - 6 কারণ যে বৈষম্য ছেদচিহ্ন সব সেট (যদি এটি সত্য, দুই ছেদচিহ্ন একটি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত করা যেতে পারে জন্য সত্য নয়, একটু বেশি জটিল, কারণ 3 ⋅ 2 - 6 = $|E'|\le 3|V'|-6$$3\cdot 2-6=0$)। সুতরাং (3,6) -স্পার্স গ্রাফগুলির শ্রেণি (তাদের স্বীকৃতিতে) কেবল খালি গ্রাফ নিয়ে থাকে। সম্ভবত তাদের অ্যালগরিদমগুলি গ্রাফগুলিতে প্রসারিত হতে পারে যার জন্য অসম্পূর্ণতা দুটিরও বেশি কোণে সমস্ত সেট স্থাপন করে।

লি, অড্রে; Streinu, Ileana (2008), "নুড়ি খেলা আলগোরিদিম ও বিক্ষিপ্ত গ্রাফ", বিচ্ছিন্ন গণিত 308 (8): 1425-1437, ডোই: 10,1016 / j.disc.2007.07.104 , arXiv: গণিত / 0702129 ।

Answer 2

"জেনারেলাইজড আউটারপ্ল্যানার গ্রাফ" বা (২,৩) স্পার্স গ্রাফ সম্পর্কে কী জানা যায়? ডেভিড এপস্টিনের উত্তরের কিছু অতিরিক্ত তথ্য:

1982 সালে, এই গবেষণাপত্রে (Corollaries 1 এবং 2), লভেস এবং ইয়েমিনি সাধারণ আউটপ্ল্যানার গ্রাফকে চিহ্নিত করেছেন (তাদের স্বীকৃতি হিসাবে , জেনেরিক স্বতন্ত্র গ্রাফগুলি ) সেই গ্রাফের হিসাবে সম্পত্তি রয়েছে যা জি এর কোনও প্রান্ত দ্বিগুণ করে এমন একটি গ্রাফের ফলাফল যা প্রান্তটি রয়েছে - দুটি বনের মিশ্রণ।$G$$G$

খুব আগে, ১৯ 1970০ সালে, হেনেনবার্গ এবং লামান প্রমাণ করেছিলেন যে সাধারণীকৃত আউটপ্ল্যানার গ্রাফগুলি থেকে তিনটি তথাকথিত হেনেনবার্গ মুভ দ্বারা পুনরাবৃত্তভাবে প্রাপ্ত করা যায় (একটি ডিগ্রি -1 ভার্টেক্স যুক্ত করে, একটি ডিগ্রি -2 মেরু এবং একটি নির্দিষ্ট ধরণের যোগ করা যায়) ডিগ্রি -3 ভার্টেক্স)।$K_2$

এই বৈশিষ্ট্যগুলি সাধারণীকরণের আউটপ্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য প্রথম বহুপদী স্বীকৃতি দেয়।

জেনারালাইজড প্ল্যানার গ্রাফ সম্পর্কিত কিছু মন্তব্য এই কাগজের শেষ অংশে পাওয়া যাবে । আমি মনে করি, সাধারণীকৃত প্ল্যানার গ্রাফগুলি চিহ্নিতকরণ এবং সনাক্তকরণ এখনও খুব আকর্ষণীয় উন্মুক্ত প্রশ্নে রয়ে গেছে।