একটি বাস্তব বহুপদী হিসাবে স্বল্প ডিগ্রির এলোমেলো ক্রিয়াকলাপ

একটি অভিন্ন র্যান্ডম বুলিয়ান ফাংশন নমুনার জন্য (যুক্তিসঙ্গত) উপায় কি যার প্রকৃত বহুপদী হিসাবে ডিগ্রি সর্বাধিক ? $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $d$

সম্পাদনা: নিসান এবং সজেজেডি দেখিয়েছে যে ডিগ্রি একটি ফাংশন সর্বাধিক স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে , তাই আমরা ধরে নিতে পারি যে । আমি যে সমস্যাগুলি দেখছি সেগুলি নিম্নরূপ: 1) একদিকে আমরা যদি স্থানাঙ্কের এলোমেলো বুলিয়ান ফাংশনটি বেছে নিই , তবে এর ডিগ্রি কাছাকাছি হবে , চেয়ে অনেক বেশি । 2) অন্যদিকে, যদি আমরা সর্বাধিক ডিগ্রী প্রতিটি সহগ বাছাই এলোমেলোভাবে, তারপর ক্রিয়াটি বুলিয়ান হবে। $d$ $d2^d$ $n \leq d2^d$ $d2^d$ $d2^d$ $d$ $d$

সুতরাং প্রশ্নটি হ'ল: এই দুটি সমস্যা এড়ানো একটি নিম্ন ডিগ্রী বুলিয়ান ফাংশন নমুনার উপায় আছে কি?

randomness boolean-functions bounded-degree

— ইগর শিংকার
সূত্র

আপনি কি চান যে আসল ফাংশনটি ডিগ্রি থেকে 0-1 ইনপুটগুলির প্রকৃত বহুবর্ষের সীমাবদ্ধতা হোক বা আপনি কি চান যে কিছু আসল বহুবর্ষীয় এর জন্য iff হওয়া উচিত ডিগ্রি সর্বাধিক ? অথবা অন্য কিছু?

d

$d$

f (x) = 1

$f(x) = 1$

p (x) > 0

$p(x) > 0$

p

$p$

d

$d$

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া গ্রাচো আমি এমন একটি ফাংশন চাই যার ফুরিয়ার সম্প্রসারণের ডিগ্রি রয়েছে । এটি আপনার প্রথম বিকল্প।

d

$d$

— ইগর শিংকার

আপনার মডেল কি? নমুনাযুক্ত ফাংশনটি লিখতে সময় লাগে , বা আপনি যদি ফুরিয়ার সম্প্রসারণকে আউটপুট করতে চান তবে। হয় একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক?

2^{n}

$2^n$

n^{O (d)}

$n^{O(d)}$

d

$d$

— এমসিএইচ

আমি প্রশ্নে আরও কিছু বিবরণ যুক্ত করেছি।

— ইগর শিংকার

@ এমসিএইচ যদি ডিগ্রি এর কোনও ফাংশন হয় (স্তরের উপরে শূন্য ওজন সহ ), তবে এটি স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করতে পারে না । এটি নিসান এবং সজেজেদির কারণে ফলাফল। এর বিশেষ কেস সম্পর্কে চিন্তা করুন । এই ক্ষেত্রে আমরা জানি যে ফাংশনটি (সর্বাধিক) 1 স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে।

d

$d$

d

$d$

d 2^{d}

$d2^d$

d = 1

$d=1$

— ইগর শিংকার

এখানে একটি অ্যালগরিদম যা তুচ্ছ প্রচেষ্টা চালায়।

নিম্নলিখিতটি একটি জ্ঞাত সত্য (ও'ডনেলের বইতে 1.12 অনুশীলন করুন): যদি একটি বুলিয়ান ফাংশন যা ডিগ্রি হিসাবে রয়েছে একটি বহুপদী, তারপর প্রতিটি ফুরিয়ার সহগ , এর একটি পূর্ণসংখ্যা একাধিক হয় । কোশি-কালো এবং Parseval ব্যবহার পায় আছে সর্বাধিক অশূন্য ফুরিয়ার কোফিসিয়েন্টস এবং । $f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$ $\le d$ $f$ $\hat{f}(S)$ $2^{-d}$ $4^d$ $\sum_{S}{|\hat{f}(S)|}\le 2^{d}$

এটি একটি নমুনা পদ্ধতি প্রস্তাব করে -

সর্বাধিক এর আকারের আকারের জন্য এলোমেলো অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যক চয়ন করুন , যা sum পর্যন্ত যোগফল । $a_S$ $S\subseteq[n]$ $d$ $\le 4^d$
যাক । $f(x) = \sum_{S}{\frac{a_S}{2^d} \chi_S(x)}$
যাচাই করুন যে বুলিয়ান। যদি তা হয় তবে । অন্যথায়, ফিরে যান । $f$ $f$ $1$

নোট করুন যে প্রতিটি ডিগ্রির জন্য বহুবর্ষীয় যথাযথ পদক্ষেপ 1 এ র্যান্ডম পূর্ণসংখ্যার এক পছন্দ বহুভেন্দ্রিক তৈরি করবে । নির্দিষ্ট ডিগ্রি বহুবর্ষ পাওয়ার সম্ভাবনা হ'ল সুতরাং, আমাদের আগে প্রত্যাশায়, বেশিরভাগ বারে এই প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করতে হবে । $\le d$ $f$ $f$ $\le d$

1 / (\binom{(\binom{n}{\leq d}) + 4^{d}}{4^{d}}) = 1 / O (n / d)^{d 4^{d}} .

$1/\binom{\binom{n}{\le d}+4^d}{4^d} =1/O(n/d)^{d4^d}.$

O (n / d)^{d 4^{d}}

$O(n/d)^{d4^d}$

এটা কিভাবে পদক্ষেপ 3. একজন সম্পাদন করতে সংজ্ঞায়িত করতে পারেন দেখানোর জন্য রয়ে যায় । চেক করুন (যা প্রত্যেক বুলিয়ান ফাংশন জন্য নিশান-Szegedy দ্বারা রাখা উচিত) এবং তারপর নিরীক্ষাগুলো যাচাই মধ্যে ভেরিয়েবল সম্ভাব্য সকল বরাদ্দকরণ উপর । এই সময় করা যাবে । গুর এবং তমুজ এই কাজের জন্য আরও দ্রুত এলোমেলোম অ্যালগরিদম সরবরাহ করে, তবে যেহেতু এই অংশটি সময়ের জটিলতায় আধিপত্য বোধ করে না এটি যথেষ্ট। $A = \bigcup\{S:a_S\neq 0\}$ $|A| \le d 2^d$ $f$ $A$ $2^{d 2^d}$

সার্বিক অ্যালগরিদম একটি ডিগ্রী একটি র্যান্ডম নমুনা উত্পাদন করে বহুপদী সময় । ধৃষ্টতা অধীনে যে সময় জটিলতা হয় । $\le d$ $O(\frac{n}{d})^{d4^d}$ $n \le d2^d$ $2^{O(d^2 4^d)}$

এটি একটি বহুবর্ষের সময় নমুনা সংক্রান্ত অ্যালগরিদম নয়, যদিও এটি সম্পূর্ণ দ্রুত র্যান্ডম ফাংশনকে নমুনা দেওয়ার পরে অনেক দ্রুত হয় (এক্ষেত্রে নির্দিষ্ট ডিগ্রি প্রাপ্তির সম্ভাবনা বহুবর্ষ 1/2 )। $\le d$ $1/2^{2^n}$

— অবশায় তাল
সূত্র

নিস! প্রকৃতপক্ষে এটি একটি অ্যালগরিদম দেয় যা WHP (আর্ট ) কম ডিগ্রি ফাংশন নির্ভর করতে পারে এমন সর্বাধিক সম্ভাব্য স্থানাঙ্কের ফলাফল দেয়। পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় হতে কেবল , অনেকগুলি ফাংশন নমুনা করুন এবং প্রতিটি ফাংশনের জন্য প্রভাবশালী স্থানাঙ্কের সংখ্যা গণনা করুন। আপনি সর্বাধিক দেখতে আউটপুট।

d

$d$

n = 10 d 2^{d}

$n = 10d2^{d}$

— ইগর শিংকার