ননেনিজেটিভ ডেটা সহ 0-1 টি প্রোগ্রামের জন্য সুনির্দিষ্ট এক্সফোনেনশিয়াল-সময়ের অ্যালগরিদম

Question

নীচের সমস্যার জন্য কি অ্যালগরিদম জানা আছে যা নিষ্পাপ অ্যালগরিদমকে পরাজিত করে?

ইনপুট: ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টরগুলি , যেখানে এর সমস্ত এন্ট্রিগুলি নননেজিটিভ পূর্ণসংখ্যা হয়।$A$$b,c$$A,b,c$

আউটপুট: একটি সন্তোষজনক সমাধান থেকে ।$x^*$$\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \}$

এই প্রশ্নটি আমার পূর্ববর্তী প্রশ্নের 0-1 প্রোগ্রামিংয়ের জন্য এক্সট্যাকশনাল টাইম অ্যালগরিদমগুলির একটি পরিমার্জনিত সংস্করণ ।

Answer 1

তাহলে নন-জিরো কোফিসিয়েন্টস সংখ্যা $A$ মধ্যে রৈখিক হয় $n$ , একটি অ্যালগরিদম যে সমাধান কম এই সমস্যা $2^n$ সময়।

এখানে কিভাবে এটা কাজ করে. আমরা একটি অপ্টিমাইজেশন সমস্যা এবং এর সাথে সম্পর্কিত সিদ্ধান্ত সমস্যার মধ্যে স্ট্যান্ডার্ড সংযোগ ব্যবহার করি। পরীক্ষা করার জন্য অস্তিত্ব আছে কিনা একটি সমাধান যেখানে এবং , আমরা একটি সিদ্ধান্ত সমস্যা গঠন করবে: আমরা বাধ্যতা সন্নিহিত হবে ম্যাট্রিক্স থেকে , এবং পরীক্ষা এবং মতো কোনও বিদ্যমান আছে কিনা । বিশেষ করে, আমরা একটি নতুন ম্যাট্রিক্স গঠন করবে গ্রহণ করে এবং একটি অতিরিক্ত সারি ধারণকারী যোগ , এবং আমরা গঠন করবে গ্রহণ করে$x$$Ax\le b$$c^T x \ge \alpha$$c^T x\ge \alpha$$A$$x$$Ax \le b$$-c^T x \le -\alpha$$A'$$A$$-c^T$$b'$$b$এবং সহ একটি অতিরিক্ত সারি সংলগ্ন । আমরা একটি সিদ্ধান্ত সমস্যা প্রাপ্ত: নেই বিদ্যমান আছে যেমন যে ? এই সিদ্ধান্ত সমস্যার উত্তর আমাদের জানায় value বা তার চেয়েও বড় মানের মূল অপ্টিমাইজেশান সমস্যার কোনও সমাধান রয়েছে কিনা । তদ্ব্যতীত, আপনার পূর্ববর্তী প্রশ্নের উত্তরে যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে , এই সিদ্ধান্ত সমস্যাটি than এরও কম সময়ে সমাধান করা যেতে পারে , যদি -শূন্য-সহগের সংখ্যা মধ্যে রৈখিক হয় (এবং এইভাবে যদি অ- শূন্য কোফিসিয়েন্টস মধ্যে রৈখিক হয় )। এখন আমরা বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার করতে পারেন$-\alpha$$x \in \{0,1\}^n$$A' x \le b'$$\alpha$$2^n$$A'$$n$$A$$n$$\alpha$আপনার অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটি এরও কম সময়ের মধ্যে সমাধান করতে ।$2^n$

এই উত্তরের পূর্ববর্তী সংস্করণটি ডিবাগ করতে সহায়তা করার জন্য অস্টিন বুচানান এবং স্টিফান স্নাইডারকে আমার ধন্যবাদ।

Comments

আপনি কী জোরালো উত্তর দিতে পারেন: যেমন "একটি সময় অ্যালগরিদম" বা " চেয়ে দ্রুত একটি অ্যালগরিদম অস্বীকার করবে ..."? $O(2^{n/2})$$O(2^n)$

— অস্টিন বুচানন

@ অস্টিন বুচানান, এর মাত্রাগুলির সংখ্যা যদি খুব কম হয় তবে অন্য প্রশ্নের আমার উত্তরে নথিবদ্ধ হিসাবে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে । আমি জানি যে এটিই সবচেয়ে ভাল; আমি এর থেকে আরও ভাল কীভাবে করব তা জানি না। হয়তো অন্যরা আরও শক্তিশালী উত্তর দিতে সক্ষম হবে! $b$$O^*(2^{n/2})$

— DW

$O^*(2^{n/2})$ সময় ধরে রাখে যখনই বাধার সংখ্যা ? $O(1)$

— অস্টিন বুচানান

Answer 2

যদি আমরা মিনিমাইজেশন সমস্যাটিকে বিবেচনা করি , তবে নিম্নলিখিত হ্রাসটি দেখায় যে সময়ে সময়ে একটি অ্যালগরিদম চলছে জন্য এসইথটিকে অস্বীকার করবে। একটি সংস্কারকরণ উদ্দিষ্ট সমস্যা (সর্বাধিক সংস্করণ) এর জন্য একই ফলাফলটি প্রমাণ করে।$\min_y \{c^T y : Ay \ge b, y \in \{ 0,1\}^n \}$$O(2^{\delta n/2})$$\delta <1$

একটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে: ভেরিয়েবলের সিএনএফ-স্যাট এর , দুটি ভেরিয়েবল সহ 0-1 আইপি তৈরি করুন প্রতিটি পরিবর্তনশীল জন্য স্যাট ইনস্ট্যান্সের মধ্যে। স্বাভাবিক হিসাবে, দফা হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হবে । অতঃপর প্রত্যেকেই পরিবর্তনশীল জন্য স্যাট উদাহরণস্বরূপ, একটি বাধ্যতা যোগ । উদ্দেশ্যটি হ'ল । আইপি উদ্দেশ্য হতে হবে স্যাট উদাহরণস্বরূপ iff Satisfiable হয়।$\Phi = \wedge_{i=1}^m C_i$$\{x_j \}_{j=1}^n$$y_j, \overline{y}_j$$x_j$$(x_1 \vee \overline{x}_2 \vee x_3)$$y_1 + \overline{y}_2 + y_3 \ge 1$$x_j$$y_j + \overline{y}_j \ge 1$$\sum_{j=1}^n (y_j + \overline{y}_j)$$n$

সংশোধন করার জন্য স্টিফান স্নাইডারকে ধন্যবাদ।

আপডেট: অন ​​সিএনএফ-স্যাট হিসাবে কঠিন হিসাবে লেখকরা অনুমান করেন যে সেট কভারটি , , যেখানে সেটগুলির সংখ্যা বোঝায়। যদি সত্য হয় তবে এটি দেখায় যে আমার সমস্যাটি time পাশাপাশি সমাধান করা যাবে না ।$O(2^{\delta n})$$\delta <1$$n$$O(2^{\delta n})$

আপডেট করুন 2. যতদুর আমি বলতে পারেন, শেঠ অভিমানী, আমার সমস্যা সময় সমাধান করা যায় না , যেহেতু এটি দেখানো হয়েছে সেট আঘাত (আকারের একটি স্থল সেট দিয়ে যে ) হতে পারে না সময়ে সমাধান করা ।$O(2^{\delta n})$$n$$O(2^{\delta n})$

Comments

যেহেতু আপনি ভেরিয়েবলের সংখ্যা দ্বিগুণ করেছেন, আমার ধারণা এটি কেবলমাত্র রানটাইম নিয়ে এই সমস্যার জন্য একটি অ্যালগরিদম SETH এর বিরোধিতা করবে think $O(2^{\delta n/2})$

— স্টেফান স্নাইডার 21

অপেক্ষা করুন ... সিএনএফ-স্যাট হিসাবে কঠিন হিসাবে অন সমস্যা থেকে লেখকরা বলেছেন যে "" প্রতি জন্য হিট সেট জন্য একটি অ্যালগরিদম SETH লঙ্ঘন করবে "" এই কাজ করে না? $\epsilon <1$$O(2^{\epsilon n})$$\dots$

— অস্টিন বুচানান