সেট কভারের একটি সাবকেসের কঠোরতা

10

সেট কভার সমস্যাটি কতটা কঠিন যদি উপাদানগুলির সংখ্যা কিছু ফাংশন (যেমন $\log n$ ) দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে যেখানে $n$ সমস্যার উদাহরণের আকার। আনুষ্ঠানিকভাবে,

যাক এবং যেখানে এবং । নিম্নলিখিত সমস্যাটি সিদ্ধান্ত নেওয়া কতটা কঠিন $\mathcal{U}=\{e_1, \cdots, e_m\}$ $\mathcal{F} = \{S_1, \cdots, S_n\}$ $S_i \subseteq \mathcal{U}$ $m = O(\log n)$

\begin{aligned} সেট কভার ' = {< ইউ, এফ, ট >: & there exists at most k subsets \\ S_{i_{1}}, \dots, S_{i_{k}} \in F that cover U} . \end{aligned}

$\begin{align*} \text{SET-COVER'}=\{<\mathcal{U}, \mathcal{F}, k>: &\text{ there exists at most $k$ subsets }\\ &\text{ $S_{i_1}, \cdots, S_{i_k}\in \mathcal{F}$ that cover $\mathcal{U}$} \}. \end{align*}$

হলে কী হবে ? $m=O(\sqrt{n})$

সুপরিচিত অনুমানের উপর ভিত্তি করে যে কোনও ফলাফল (যেমন, ইউনিক গেমস, ইটিএইচ) ভাল।

সম্পাদনা 1: এই সমস্যাটির জন্য একটি অনুপ্রেরণা খুঁজে বের করে যখন সমস্যা বৃদ্ধি সমস্যাটি শক্ত হয় । স্পষ্টতই, সমস্যাটি পি যদি এবং এনপি-হার্ড । সমস্যার এনপি-কঠোরতার প্রান্তিকতা কী? $m$ $m=O(1)$ $m=O(n)$

সম্পাদনা করুন 2: আছে সময়ের মধ্যে তা সিদ্ধান্ত নিতে একটি তুচ্ছ অ্যালগরিদম বিদ্যমান (যা আকারের সব সাব-সেট নির্বাচন উল্লেখ এর )। সুতরাং, সমস্যাটি এনপি-হার্ড নয় তবে যেহেতু ইটিএইচটি সূচিত করে যে কোনও এনপি-হার্ড সমস্যার (যেখানে এর আকার হ'ল সময় কোনও অ্যালগরিদম নেই where এনপি-হার্ড সমস্যা)। $O(n^{m})$ $m$ $\mathcal{F}$ $m=O(\log{n})$ $O(2^{n^{o(1)}})$ $n$

np-hardness set-cover exp-time-algorithms

— user1297
সূত্র

2

সময় সমস্যা সিদ্ধান্ত নিতে একটি ভাল অ্যালগোরিদম বিদ্যমান

(জন্য আরো স্পষ্ট করে বেল সংখ্যা

): একটি ইনপুট প্রতিটি উপসেট আচ্ছাদন সেট অস্তিত্ব আছে সাব-সেট নির্বাচন মধ্যে উপাদানের প্রতিটি পার্টিশনের জন্য, পরীক্ষা কি না। সুতরাং

জন্য বহুবর্ষের সময় সমস্যার সমাধান করা যেতে পারে। যদিও এটি

সম্পর্কে আপনার প্রশ্নের পুরোপুরি উত্তর দেয় না ।

m^{O (m)}

$m^{O(m)}$

m

$m$

m = O (\log n / \log \log n)

$m=O(\log n/\log\log n)$

m = O (\log n)

$m=O(\log n)$

— ডেভিড এপস্টিন

11

যখন , তখন আপনি বহুবর্ষীয় সময়ে সর্বোত্তম খুঁজে পেতে ডায়নামিক প্রোগ্রামিং ব্যবহার করতে পারেন। টেবিল বুলিয়ান-মূল্যবান কক্ষ রয়েছে প্রত্যেকের জন্য এবং ইঙ্গিত আছে কিনা, সেট যা উপাদান আবরণ । $m = O(\log n)$ $T_{\ell,X}$ $\ell \in \{0,\ldots,k\}$ $X \subseteq \mathcal{U}$ $\ell$ $X$

যখন ,say বলুন $m = O(\sqrt{n})$ , সমস্যাটি এনপি-হার্ড থেকে যায়। সেট কভার, অ্যাড এর একটি দৃষ্টান্ত দেওয়ানতুন উপাদানএবংনতুন সেট সহ নতুন উপাদান, অ-খালি সাব-সেট নির্বাচন নিয়ে গঠিত(যখনবৃহৎ যথেষ্ট হয়)। এছাড়াও $m \leq C\sqrt{n}$ $m$ $x_1,\ldots,x_m$ $(2C^{-1}m)^2$ $\{x_1,\ldots,x_m\}$ $m$ $(2C^{-1}m)^2 < 2^m$ $k$ এক দ্বারা. নতুন হয় এবং । $m,n$ $m' = 2m$ $n' = n + (2C^{-1}m)^2 \geq (C^{-1}m')^2$

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র

আরও সাধারণভাবে, কেস

এনপি-হার্ড এবং কেস

এনটি-হার্ড ধরে নিচ্ছে না ETH, যেহেতু সেখানে একটি

অ্যালগরিদম রয়েছে ।

m = n^{O (1)}

$m = n^{O(1)}$

m = n^{o (1)}

$m = n^{o(1)}$

p o l y (n, 2^{m})

$\mathrm{poly}(n,2^m)$

— যুবাল ফিল্মাস 21

11

ক্ষেত্রে হয় যেমন ইউভাল দ্বারা লক্ষনীয় সময়, কিন্তু জন্য নোট আপনি সমস্যা সমাধান করতে পারে সময় (বহুপদী সময়) দ্বারা সম্পূর্ণ অনুসন্ধান শক্তিশালী তাত্পর্যপূর্ণ সময় হাইপোথিসিস ধরে নেওয়া (যে ভেরিয়েবল এবং ধারাগুলির সাথে সূত্রগুলিতে সিএনএফ-স্যাট কমপক্ষে $m = c \log n$ $n^{O(c)}$ $k = O(1)$ $O(n^k \cdot m)$ $N$ $O(N)$ $2^{N-o(N)}$ সময়), এই দুটি সময়সীমা হ'ল নিম্নলিখিত অর্থে বহুবর্ষে আমরা কী আশা করতে পারি তার "সীমা"।

আমার সালে Mihai Patrascu সঙ্গে SODA'10 কাগজ আমরা আকারের একটি প্রভাবশালী সেট খুঁজে বের করার মূলত isomorphic সমস্যা নিয়ে অনুসন্ধান একটি অবাধ মধ্যে -node লেখচিত্র, দেখাচ্ছে যে যদি সেট -dominating মধ্যে সমাধান করা যেতে পারে কিছু সময় এবং , তারপরে ভেরিয়েবল এবং তে সিএনএফ-স্যাট এর জন্য সময় অ্যালগরিদম রয়েছে $k$ $n$ $k$ $n^{k-\varepsilon}$ $k \geq 2$ $\varepsilon > 0$ $2^{N(1-\varepsilon/2)}poly(M)$ $N$ $M$ ক্লজ।

একটি সেট আচ্ছাদন ইনস্ট্যান্সের মধ্যে এবং একটি প্রভাবশালী সেট ইনস্ট্যান্সের মধ্যে ছেদচিহ্ন এর এলাকাগুলোর সেট মধ্যে সম্পর্ক লক্ষ করেন, এবং হ্রাস পরিদর্শন, আপনি দেখবেন যে এই হ্রাস এছাড়াও শো সমাধানে সঙ্গে -Set কভার আকারের একটি মহাবিশ্ব উপর সেট মধ্যে সময়টি সিএনএফ-স্যাট অ্যালগরিদমকে সিএনএফ সূত্রের জন্য ক্লজ এবং ভেরিয়েবলগুলিতে চলমান $k$ $n$ $m$ $n^{k-\varepsilon}\cdot f(m)$ $M$ $N$ $2^{N(1-\varepsilon/2)}\cdot f(M)$ সময়। শক্তিশালী ETH খণ্ডন করার উদ্দেশ্যে, ক্ষেত্রে সিএনএফ-স্যাট সমাধান করা যথেষ্ট । অত: পর চলমান আপনার সমস্যার জন্য একটি আলগোরিদিম কিছু সীমাবদ্ধ ফাংশন জন্য সময় একটি বিস্ময়কর নতুন স্যাট অ্যালগরিদম উত্পাদ হবে। $M = O(N)$ $n^{k-\varepsilon}\cdot 2^{m/\alpha(m)}$ $\alpha(m)$

— রায়ান উইলিয়ামস
সূত্র