গণনার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা pret

Question

পদার্থবিজ্ঞানের কারণে, আমি জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে প্রচুর সমস্যা অনুসন্ধান করার প্রশিক্ষণ পেয়েছি। উদাহরণস্বরূপ, গতিশীল সিস্টেমগুলিতে বহুগুণের ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি ইত্যাদি I যখন আমি কম্পিউটার বিজ্ঞানের ভিত্তি পড়ি, আমি সর্বদা জ্যামিতিক ব্যাখ্যা খুঁজে বের করার চেষ্টা করি। পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে অগণনীয় সেটগুলির বিশ্লেষণযোগ্য জ্যামিতিক ব্যাখ্যার মতো (আমি এমন একটি অংশে কাজ করেছি যেখানে আমি ডায়োফানটাইন সেটের সাথে সমতা ব্যবহার করে তাদেরকে বীজগণিত জ্যামিতির সাথে সংযুক্ত করার চেষ্টা করেছি তবে সংযোগটি বাধ্যতামূলক বলে মনে হয়েছিল এবং আমি তাতে তথ্যের কোনও "প্রাকৃতিক" প্রকাশ খুঁজে পাইনি) গঠন) বা সংখ্যা বাছাইয়ের জন্য একটি সাধারণ অ্যালগরিদমের জন্য একটি সুন্দর জ্যামিতিক ফলাফল। যদিও আমি বিশেষজ্ঞ নই আমি জ্যামিতিক কমপ্লেক্সিটি থিওরিতে জরিপ পড়েছি এবং এটি অবশ্যই একটি আকর্ষণীয় প্রোগ্রাম তবে আমি ট্যুরিং মেশিন, ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস বা কাঠামোর কাঠামোর মতো চূড়ান্ত মৌলিক ধারণাগুলির জ্যামিতিক দৃষ্টিভঙ্গিতে আগ্রহী more আন) গণনাযোগ্য সেট (নির্দিষ্ট সমস্যাগুলির চেয়ে)। এই বিষয়গুলিতে জ্যামিতিক কাঠামো খুঁজে পাওয়া কি আশাবাদী কাজ বা কেউ কিছু জটিল ফলাফল আশা করতে পারে? টিসিএসের এমন কোনও গঠন রয়েছে যা এটি জ্যামিতিকভাবে আচরণ করে?

Comments

আমি মনে করি প্রশ্নটি খুব শব্দযুক্ত এবং খুব পরিষ্কার নয় এবং উন্নত করা দরকার। আমার কাছে মনে হচ্ছে সংক্ষেপে আপনি টিসিএসের জ্যামিতিক গঠন এবং চিকিত্সা সম্পর্কে একটি রেফারেন্স অনুরোধের প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করছেন।

— কাভেহ

আপনি যদি তাদের সন্ধানের জন্য গণ্যতা তত্ত্বটি সন্ধান করতে সক্ষম হন তবে আপনি খুব ভাগ্যবান হতে যাবেন না কারণ এই রচনাগুলি সাধারণত এমন লোকদের জন্য রচিত হয় যারা গণনাযোগ্যতা তত্ত্বের ক্লাসিক চিকিত্সায় দক্ষ। আপনি যদি কম্পিউটারের সামঞ্জস্যতা তত্ত্ব শিখতে চান তবে আপনাকে নতুন ভাষা শিখতে হবে। এটি বলেছিল, কম্পিউটাবলি তত্ত্বের বিভাগীয় চিকিত্সা রয়েছে (তবে আমি যেমন বলেছি যে এগুলি এমন লোকদের জন্য লেখা হয়েছে যারা গণনাযোগ্যতা তত্ত্ব জানেন)।

— কাভেহ

@ কাভেহ, আপনি যদি আমাকে কম্পিউটাবিলিটি থিওরির শ্রেণিবদ্ধ চিকিত্সার একটি রেফারেন্স সরবরাহ করতে পারেন তবে এটি অত্যন্ত সহায়ক হবে। যদিও আপনি বলেছিলেন, এটি কম্পিউটারের শাস্ত্রীয় চিকিত্সা সম্পর্কে কঠোর উপলব্ধি না করে বোঝা যায় না, তবে আমি সেখানে পৌঁছে দেওয়ার জন্য যথাসাধ্য চেষ্টা করছি।

— স্বর্ণিম_নারায়ণ

আপনার প্রশ্নের প্রসঙ্গে জ্যামিতি বলতে কী বোঝাতে চেয়েছেন তা কি আপনি পরিষ্কার করতে পারেন?

— মার্টিন বার্গার

@wang, আমি মনে করি "থেকে বিভাগ তত্ত্ব দৃষ্টিকোণ computability জন্য রেফারেন্স অনুরোধ" একটি নতুন পৃথক প্রশ্ন হতে পারে, এবং সেখানে Andrej মত অন্যদের (যেমন দেখতে পায় এই ) যারা তা অনেক ভালো চেয়ে আমি করতে পারেন উত্তর দিতে পারেন।

— কাভেঃ

Answer 1

কম্পিউটার প্রোগ্রামগুলির শব্দার্থকগুলি জ্যামিতিকভাবে তিনটি স্বতন্ত্র (এবং আপাতদৃষ্টিতে বেমানান) উপায়ে বোঝা যায়।

• সর্বাধিক প্রাচীন পদ্ধতিটি ডোমেন তত্ত্বের মাধ্যমে । ডোমেন তত্ত্বের পিছনে অন্তর্নিহিতা সমাপ্তি এবং অবিচ্ছিন্নতার পিছনে অসম্পূর্ণতা থেকে উদ্ভূত হয়।

  প্রোগ্রামগুলিকে এক্সটেনশনালভাবে চিকিত্সা করার সময় (যেমন কেবল তাদের I / O আচরণের দিকে লক্ষ্য করা, এবং তাদের অভ্যন্তরীণ কাঠামো নয়), সীমাবদ্ধ সময়ে নিশ্চিত হওয়া সম্ভব যে কোনও প্রোগ্রাম থামে - আপনি কেবল অপেক্ষা না করে অপেক্ষা করুন। যাইহোক, এটি নিশ্চিত করা সম্ভব নয় যে কোনও প্রোগ্রাম থামছে না , কারণ আপনি যতক্ষণ অপেক্ষা করুন না কেন, সর্বদা একটি থামানো প্রোগ্রাম রয়েছে যা আপনার অপেক্ষা অপেক্ষা আরও কয়েক ধাপ চালিয়ে যাবে।

  ফলস্বরূপ, থামানো এবং লুপিংকে টপোলজিকাল স্পেস ( সিয়ের্পিস্কি স্পেস ) গঠনের হিসাবে দেখা যেতে পারে । এটি পর্যবেক্ষণের (স্কট টপোলজির মাধ্যমে) আরও উন্নত ধারণাগুলি তুলে ধরে এবং এর মাধ্যমে আপনি প্রোগ্রামগুলি টপোলজিকাল স্পেসের উপাদান হিসাবে ব্যাখ্যা করতে পারেন। এই স্পেসগুলি সাধারণত traditionalতিহ্যগত দৃষ্টিকোণ থেকে বেশ অবাক করে - ডোমেনগুলি সাধারণত হসডর্ফ নয়।

  এই ধারণাগুলি সম্পর্কে আমি যে টপোলজিকাল পরিচিতি জানি তা হ'ল স্টিভ ভিকার্সের স্বল্প এবং অত্যন্ত অ্যাক্সেসযোগ্য লজিকের মাধ্যমে টপোলজি । এটি পিটার জনস্টনের উল্লেখযোগ্যভাবে আরও মারাত্মক স্টোন স্পেসের জন্য এক ধরণের ওয়ার্ম-আপ হিসাবে বোঝা যায়।

  আপনি যদি অনলাইন বক্তৃতা নোটগুলি সন্ধান করেন তবে আমাকে মার্টিন এসকার্ডোর পরামর্শ দিন ডেটা টাইপস এবং ক্লাসিকাল স্পেসগুলির সিন্থেটিক টপোলজি।

• আর একটি দৃষ্টিভঙ্গি সম্মিলিত তত্ত্ব থেকে উঠে আসে। কীভাবে বর্ণগুলি সমাধান করা হয় তার উপর নির্ভর করে একটি সমবর্তী প্রোগ্রামকে একাধিক বৈধ মৃত্যুদণ্ড (রাষ্ট্রের ক্রম) হিসাবে বোঝা যায়। তারপরে, মৃত্যুদন্ড কার্যকর করা স্থানকে একটি স্থান হিসাবে দেখা যায়, প্রতিটি সম্ভাব্য ক্রম রাষ্ট্রের ক্রমকে এই স্থানটির মধ্য দিয়ে একটি পথ হিসাবে বোঝা যায়। তারপরে, বীজগণিত টোপোলজি এবং হোমোপোপ তত্ত্বের পদ্ধতিগুলি প্রোগ্রামের প্রয়োগ সম্পর্কে আক্রমণকারীদের আহরণের জন্য প্রয়োগ করা যেতে পারে।

  নীর শবিত এবং মরিস হারলিহি এই ধারণাটি নির্দিষ্টভাবে বিতরণ করা অ্যালগরিদমের অসম্ভবতা প্রমাণ করতে ব্যবহার করেছেন, যার জন্য তারা 2004 গডেল পুরষ্কার জিতেছে। ( অ্যাসিঙ্ক্রোনাস গণনার টপোলজিকাল স্ট্রাকচার দেখুন ।) এরিক গৌল্টের একটি সমীক্ষা কাগজ রয়েছে যা সংক্ষিপ্তসার তত্ত্বের কিছু জ্যামিতিক দৃষ্টিভঙ্গিতে প্রাসঙ্গিক ধারণাগুলিকে ব্যাখ্যা করে ।

• অতি সম্প্রতি, এটি পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে যে নির্ভরশীল টাইপ তত্ত্বের মধ্যে পরিচয় ধরণের কাঠামোটি হটোমোপি তত্ত্বের মূলধর্মের ধারণার সাথে খুব ঘনিষ্ঠভাবে মিলিত হয় - এত কাছাকাছিভাবে, বাস্তবে, নির্ভরশীল ধরণের তত্ত্বটি আসলে এক ধরণের হিসাবে দেখা যায় "সিনথেটিক হোমোপটি থিয়োরি"! (ভ্লাদিমির ভয়েভডস্কি রসিকতা করেছেন যে তিনি কয়েক বছর হোমোপিপি তত্ত্বের জন্য একটি নতুন ক্যালকুলাস বিকাশের জন্য ব্যয় করেছিলেন, কেবল এটি আবিষ্কার করতে যে সিএস বিভাগে তার সহকর্মীরা ইতিমধ্যে এটি স্নাতকদের প্রশিক্ষণ দিচ্ছেন।)

  হোমোপি টাইপ তত্ত্বের বইয়ের উপরে কোডির লিঙ্কটি দেখুন ।

মজার বিষয় হল এই তিনটি মতামত একে অপরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় বা কমপক্ষে মিলন করা খুব কঠিন। নির্ভরশীল ধরণের তত্ত্ব মোট ভাষা, সুতরাং অবিচ্ছিন্নকরণ (এবং স্কট টপোলজি) এর মধ্যে উত্থিত হয় না। এটিও সংশ্লেষজনক, সুতরাং গণনা-স্থান হিসাবে দর্শনটি উত্থাপিত হয় না। একইভাবে, ডোমেন তত্ত্বের শর্তে সামঞ্জস্য তৈরি করা মারাত্মকভাবে কঠিন প্রমাণিত হয়েছে, এবং একটি সম্পূর্ণ সন্তোষজনক অ্যাকাউন্ট এখনও একটি উন্মুক্ত সমস্যা।

Comments

"ফলস্বরূপ, থামানো এবং লুপিংকে টপোলজিকাল স্পেস (সিয়ের্পিস্কি স্পেস) গঠনের হিসাবে দেখা যেতে পারে This এটি পর্যবেক্ষণের আরও ভাল ধারণা (স্কট টপোলজির মাধ্যমে) রূপান্তরিত করে এবং এরপরে আপনি টপোলজিকাল স্পেসগুলির উপাদান হিসাবে প্রোগ্রামগুলি ব্যাখ্যা করতে পারেন what" এটি অনলাইনে উপলব্ধ যে জন্য একটি ভাল রেফারেন্স?

— টি ....

@ জাস: আমি এই বিষয়ে মার্টিন এসকার্ডোর কয়েকটি বক্তৃতা নোটের একটি লিঙ্ক যুক্ত করেছি।

— নীল কৃষ্ণস্বামী

Answer 2

যেমনটি ঘটেছিল তেমনি নির্ভরশীল ধরণের তত্ত্বের সাম্প্রতিক বিকাশ ঘটেছে, যার মধ্যে এমন একটি প্রথা যা traditionতিহ্যগতভাবে একটি কম্পিউটার প্রোগ্রামের জন্য একটি স্থিতিশীল আক্রমণকারীকে প্রতিনিধিত্ব করে, একটি টপোলজিকাল স্পেস হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, না বরং এর সমতুল্য শ্রেণি হিসাবে বোঝানো যেতে পারে স্পেসস (একটি হোমোপি টাইপ )।

এটি গত কয়েক বছর ধরে তীব্র গবেষণার বিষয়, যা একটি বইয়ের সমাপ্তি ।

$\lambda$

Answer 3

আপনি জিসিটি সম্পর্কে সচেতন, তবে আপনি মুলমুলির আগের কাজ সম্পর্কে সচেতন হতে পারবেন না -কম্পিউটেশন এবং পি এর একটি উপসেটের মধ্যে পৃথকীকরণ দেখানোর , যা কোনও স্থানকে খোদাই করা হিসাবে গণনা কীভাবে দেখানো যেতে পারে তার জ্যামিতিক ধারণা ব্যবহার করে।

বীজগণিত সংক্রান্ত সিদ্ধান্ত গাছের মডেলের সমস্যার জন্য অনেকগুলি নিম্ন সীমা সমাধানের অন্তর্নিহিত স্থানগুলির টপোলজি সম্পর্কে যুক্তি কমাতে (বেটি সংখ্যাগুলি প্রাসঙ্গিক প্যারামিটার হিসাবে প্রদর্শিত হবে)।

এক অর্থে, সমস্ত অপ্টিমাইজেশনের জ্যামিতিক: লিনিয়ার প্রোগ্রামগুলি উচ্চ মাত্রায় একটি পলিটপের সর্বনিম্ন পয়েন্ট সন্ধানের সাথে জড়িত থাকে, এসডিপিগুলি সেমিডেফিনাইট ম্যাট্রিক্সের জায়গার উপরে লিনিয়ার ফাংশন এবং আরও অনেক কিছু। জ্যামিতি এখানে অ্যালগরিদমের নকশায় খুব বেশি ব্যবহৃত হয়।

সেই থিমটিতে, গ্রাফগুলিতে নির্দিষ্ট ফাংশনগুলি অনুকূলকরণের আমাদের ক্ষমতা এবং নির্দিষ্ট নিয়মিত জায়গাগুলিতে মেট্রিক স্পেসগুলি এম্বেড করার আমাদের ক্ষমতার মধ্যে একটি দীর্ঘ এবং গভীর সংযোগ রয়েছে। এটি এখন একটি বিশাল সাহিত্য literature

অবশেষে, সাম্প্রতিক বছরগুলিতে অপ্টিমাইজেশনের সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য তথাকথিত "লিফট-অ্যান্ড-প্রজেক্ট" পদ্ধতিতে প্রচুর আগ্রহ তৈরি হয়েছে এবং এগুলি অন্তর্নিহিত জ্যামিতি এবং উচ্চ মাত্রিক স্থানগুলিতে লিফটগুলি ব্যবহার করে: বীজগণিত জ্যামিতি নাটক থেকে ধারণা এখানে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা।

Comments

".... বীজগণিত সিদ্ধান্তের গাছের মডেলগুলি সমাধানগুলির অন্তর্নিহিত জায়গাগুলির টপোলজি সম্পর্কে যুক্তি কমাতে" এটি কি সত্য যে সংযুক্ত সেটগুলি সম্পর্কিত তথ্য সন্ধানের জন্য গণনা সম্পর্কে অনেক ফলাফল হ্রাস করা যায়? নাকি এই ফলাফলটি বিশেষ?

— টি ....

@ জাস: কয়েকটি সংখ্যক ফলাফল রয়েছে যা সংযুক্ত উপাদানগুলির সংখ্যাকে সীমাবদ্ধ করে কমিয়ে আনা যেতে পারে, তবে আমি "অনেকগুলি" বলব না। বীজগণিতিক জটিলতায় সর্বাধিক সাধারণ কৌশল (কমপক্ষে গত 10-15 বছরে) আংশিক ডেরাইভেটিভ এবং সম্পর্কিত স্থানগুলির বিভিন্ন স্থানের মাত্রা আবদ্ধ করা। এটি নির্দিষ্ট বীজগণিত জাতগুলিতে বিলুপ্ত সমীকরণগুলির সন্ধান হিসাবে দেখা যেতে পারে, যা কিছুটা অর্থে "জ্যামিতিক"। তবে আমি এখনও এটি "সর্বাধিক" ফলাফলগুলি কভার করব না, এসএসপি। বুলিয়ান জটিলতার ফলাফল, যা বিভিন্ন (কমপক্ষে আপাতদৃষ্টিতে দেখা যায়) নন-জ্যামিতিক কৌশল ব্যবহার করে।

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া গ্রাচো ইয়াহ আমি আংশিক ডেরিভেটিভগুলিতে এমনকি ক্লাসিকাল এজি-র মতো টপোলজিক্যাল কাজগুলির খুব বেশি কিছু দেখিনি। আমি এই প্রশ্নটির উত্তরগুলি সম্পর্কে এখানে ভাবছিলাম cstheory.stackexchange.com/questions/5907/… যখন আমি এই প্রশ্নটি দেখেছি।

— টি ....

Answer 4

$T_1$ ) হিসাবে থাকে না। এগুলি একটি অর্থে "পরিচালিত", সুতরাং ঘটনাটির জন্য দায়বদ্ধ হওয়ার জন্য নির্দেশিত জ্যামিতিটি নিয়ে আসতে হবে। এবং এমন কৌশলগুলি খেলতে হবে যা পরিস্থিতিটির প্রতিসাম্য তৈরি করে (মূলত আপনি নিজের মাথায় দাঁড়িয়ে থাকেন)।

ইনফরমেশন প্রসেসিং (এছাড়াও হিসাবে "গণনার" নামে পরিচিত) এবং জ্যামিতি মধ্যে সম্পর্ক বুঝতে ওয়ান ওয়ে যে তথ্য প্রক্রিয়াকরণ হয় preceeds জ্যামিতি। এই দৃষ্টিভঙ্গিটি পদার্থবিদ্যার কিছু অংশ থেকে জানা উচিত। আপেক্ষিক তত্ত্বের উদাহরণস্বরূপ আমরা স্পেসটাইমের কার্যকারণ কাঠামো (এর তথ্য প্রক্রিয়াকরণ) পাশাপাশি এর জ্যামিতিক কাঠামো উভয়ই অধ্যয়ন করি । অনেকে পরেরটির চেয়ে পূর্ববর্তীকে আরও বেসিক বলে বিবেচনা করবেন।

এই সংযোগগুলি অতীতে লক্ষ করা গেছে এবং বেশ কয়েক বছর আগে কম্পিউটার বিজ্ঞানের তথ্য-তাত্ত্বিক দিকগুলি আপেক্ষিক তত্ত্বের সাথে সংযুক্ত করার চেষ্টা করা হয়েছিল। লোকেরা যে সমস্যার সমাধান করতে চেয়েছিল তার মধ্যে একটি হ'ল: স্পেসটাইমের কার্যকারিতা কাঠামো থেকে শুরু করা (যা স্পেসটাইমের একটি আংশিক ক্রম), স্পেসটাইমের টপোলজি পুনর্গঠন করা বা সম্ভবত জ্যামিতিও তৈরি করা উচিত। আংশিক ক্রম থেকে টপোলজি পুনরুদ্ধার ডোমেন থিওরিতে যে জিনিসটি ভাল তা হল তাই কিছুটা সাফল্য ছিল।

তথ্যসূত্র:

• মডেলিং স্পেস, সময় এবং কার্যকারিতা জন্য গণ্য কাঠামো , ড্যাগস্টুহল সেমিনার 06341, আগস্ট 20-25, 2006

• কী মার্টিন এবং প্রকাশ পানঙ্গাদেন: কার্যকারিতা কাঠামো এবং একটি পরিমাপ থেকে স্পেসটাইম জ্যামিতি

Answer 5

নিলসন এট আল। কোয়ান্টাম কম্পিউটিং একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা আছে দেখিয়েছে। বিশেষত, তারা দেখিয়েছে যে একটি লক্ষ্য একক করার জন্য একটি শর্ট কোয়ান্টাম সার্কিট সন্ধান করা$U$একটি নির্দিষ্ট বাঁকানো জ্যামিতিতে একটি সংক্ষিপ্ত জিওডেসিক সন্ধানের সমতুল্য। বিস্তারিত জানার জন্য নিম্নলিখিত কাগজপত্র দেখুন: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0603161 এবং http://arxiv.org/abs/quant-ph/0701004

Answer 6

আপনার প্রশ্নের সৃজনশীল ব্যাখ্যা, আপনার উল্লেখ হিসাবে জিসিটি ব্যতীত কিছু সম্ভাবনা মনে আসে। একটি উপায় হ'ল অনির্বাচিত সমস্যা (ওরফে টুরিং সম্পূর্ণতা) যা বেশ সর্বব্যাপী for

• অ্যাপারওডিক প্লেন টাইলিং টাইলিং এবং পেনরোজ টাইলিং । এটি প্রমাণিত হয়েছে যে বিমানের এপিওডিক টাইলিং রয়েছে কিনা তা প্রশ্ন অনস্বীকার্য।

• সেলুলার অটোমেটা যা ক্রমবর্ধমানভাবে পদার্থবিজ্ঞানের সাথে গভীর সংযোগ স্থাপন করে দেখানো হয়, অনেকগুলি সম্পর্কিত অনস্বীকার্য সমস্যা, প্রমাণিত টিএম সম্পূর্ণ হয় এবং সেগুলি প্রাকৃতিকভাবে টিএম গণনার টেবিল হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় (এবং এর মধ্যে রূপান্তরিত হয়)।

• ফ্র্যাক্টাল হিসাবে অ্যালগরিদম । একটি আরও অনুন্নত (অর্থাত সক্রিয় / চলমান গবেষণা!) অঞ্চল, তবে বিভিন্ন অনির্বাচিত প্রশ্ন, যেমন একটি জটিল বিষয় দেওয়া$(x,y)$এটি ম্যান্ডেলব্রোট সেটে ?

• গতিশীল সিস্টেমে অনিবার্যতা (হেইনরি) আবার কখনও কখনও পদার্থবিদ্যার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত থাকে। গতিশীল সিস্টেমে সাধারণত একটি বহুমাত্রিক জ্যামিতিক ব্যাখ্যা থাকে।

• ভিজ্যুয়াল প্রোগ্রামিং ভাষা । একটি প্রোগ্রামকে বিভিন্ন ধরণের (যেমন শর্তসাপেক্ষ, গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ) ইত্যাদি সহ একটি নির্দেশিত (নির্দেশিত) গ্রাফ হিসাবে দেখা যায়?

Comments

সেলুলার অটোমেটা আবার দেখুন , জীবনের খেলাটিও দেখুন । কনওয়েকে সাধারণত এটির সম্পূর্ণ প্রমাণ করার জন্য ক্রেডিট দেওয়া হয় যদিও একটি সঠিক রেফারেন্স আসা খুব কঠিন বলে মনে হয়। এটি সম্ভবত CA এর সাথে সম্পর্কিত টুরিং সম্পূর্ণতার প্রথমতম প্রমাণ।

— vzn