টিসিএসে "অবান্তর" গণিতের মৌলিক ভূমিকা পালন করার উদাহরণ?

Question

অনুগ্রহ করে উদাহরণগুলি তালিকাভুক্ত করুন যেখানে কম্পিউটার বিজ্ঞানে ফলাফল প্রমাণের জন্য গণিতের একটি উপপাদ্য যা সাধারণত কম্পিউটার বিজ্ঞানে প্রয়োগ করা হিসাবে বিবেচিত হয় না। সর্বোত্তম উদাহরণগুলি হ'ল যেখানে সংযোগটি সুস্পষ্ট ছিল না, তবে এটি একবার আবিষ্কার হয়ে গেলে এটি করা সঠিকভাবে "সঠিক উপায়"।

এটি টিসিএসের শাস্ত্রীয় গণিতের প্রয়োগের প্রশ্নের বিপরীত দিক ?

উদাহরণস্বরূপ, "গ্রিনের উপপাদ্য এবং প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে বিচ্ছিন্নতা" দেখুন , যেখানে একটি বিচ্ছিন্নতা উপপাদ্য (যা ইতিমধ্যে প্রযুক্তিগত প্রমাণ ব্যবহার করে পরিচিত ছিল) মাল্টিভারিয়েট ক্যালকুলাস থেকে গ্রিনের উপপাদ্যটি পুনরায় প্রমাণিত হয়েছে।

এখানে আর কী উদাহরণ রয়েছে?

Comments

সম্প্রদায় উইকি

— ডেভ ক্লার্ক

সম্প্রদায় উইকি এখন জায়গায় আছে।

— ডেরিক স্টোলি

টপোলজি এবং জ্যামিতি সম্পর্কে কতগুলি উদাহরণ রয়েছে তা অবাক করে। আমরা কি এই দুটি বিষয় দ্বারা আরও অবাক?

— সুরেশ ভেঙ্কট

একবার অঞ্চল এক্স এর পর্যাপ্ত উদাহরণ দেওয়া হয়ে গেলে এটি কি অঞ্চল এক্সকে আর "সম্পর্কহীন" করে তুলবে?

— অ্যান্ড্রেস সালামন

Answer 1

বিতরণকৃত কম্পিউটিংয়ের কিছু সমস্যার অধ্যয়নের জন্য বীজগণিত টপোলজির জন্য 2004 সালে গডেল পুরষ্কারটি পেয়েছিলেন মরিস হারলিহী, মাইকেল সাকস, নীড় শাবিত এবং ফোটিয়াস জাহারাগ্লু ।

Comments

এটি একটি বড় উদাহরণ!

— রায়ান উইলিয়ামস

Answer 2

আমি কয়েক বছর আগে নোগা অ্যালন এবং মুলি সাফরার সহ-রচিত একটি কাজের একটি উদাহরণ পেয়েছি:

"নেকলেস স্প্লিটিং উপপাদ্য" প্রমাণ করার জন্য নোগা বীজগণিত টপোলজি স্থির-পয়েন্টের উপপাদ্যগুলি ব্যবহার করেছিলেন: যদি আপনার টি টাইপের পুঁতিযুক্ত একটি নেকলেস থাকে এবং আপনি খ অংশগুলির মধ্যে এর অংশগুলি বিভক্ত করতে চান তাই প্রতিটি প্রতিটি জাত থেকে একই সংখ্যক পুঁতি লাভ করে ( ধরুন বি বিভাজক টি), আপনি সর্বদা বেশিরভাগ (বি -1) টি জায়গায় নেকলেস কেটে এটি করতে পারেন।

আমরা এই উপপাদ্যটি একটি সংযোজক বস্তুটি তৈরি করতে ব্যবহার করেছি যা আমরা সেট-কভারের সান্নিধ্যের কঠোরতা প্রমাণের জন্য ব্যবহার করেছি।

আরো কিছু তথ্য এখানে: http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest.html

Answer 3

বিপরীতমুখী ক্ষেত্রে, এটি সুস্পষ্ট হতে পারে তবে আমি সর্বদা স্টিল, ইয়াও এবং বেন-অর এর ওলিনিক-পেট্রোভস্কি / মিলনোর / থোম উপপাদকের প্রয়োগের (সত্যিকার অর্ধ-বীজগণিত সংস্থার বেট্টি সংখ্যার আবদ্ধ) পছন্দ করেছিলাম বীজগণিত সিদ্ধান্ত গাছ এবং গণনার বীজগণিত গণনা ট্রি মডেলগুলির সীমানা।

Comments

"পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে, এটি সুস্পষ্ট" ধরণের ফলাফল হ'ল সেরা ধরণের অ্যাপ্লিকেশন। হিন্দ্সাইট 20/20।

— ডেরিক স্টোলি

Answer 4

আমার পছন্দের ফলাফলগুলির মধ্যে একটি হ'ল লোভস-এর কানসার অনুমানের প্রমাণে টপোলজিকাল যুক্তি ব্যবহার এবং উচ্ছ্বাসের বিরুদ্ধে শক্তিশালী আন্দেরা-রোজেনবার্গ-কার্প অনুমানের উপর কান-সাক্স- স্টুর্তেভ্যান্ট আক্রমণে টপোলজিক্যাল ( এবং গ্রুপ-তাত্ত্বিক ) পদ্ধতি ব্যবহার করা is ।

Comments

+1 টি। সংযুক্তি বিবৃতি প্রমাণের ক্ষেত্রে টপোলজিকাল যুক্তির ব্যবহার সত্যই মহাকাব্য। আগ্রহী পাঠকরা এখানে আরও কিছু তথ্য পেতে পারেন: en.wikedia.org/wiki/Topological_combinatorics

— রবিন কোঠারি

@ রবিন: বা জ্যামিতিক যুক্তি সম্পর্কে কীভাবে? দোভেটেল বদলানোতে ক্লাসিক বায়ার-ডায়াকোনিস পেপারের মূল উপপাদ্যটি 52-কিউবারের ভলিউম-সংরক্ষণের রূপান্তর (বেকারের মানচিত্র: প্রতিটি অক্ষ বরাবর ডাবল এবং ভাঁজ (মোড 1)) হিসাবে শ্যাফলের কথা চিন্তা করে আবিষ্কার করা হয়েছিল। দুর্ভাগ্যক্রমে তারা জ্যামিতিক অন্তর্নিহিতের বেশিরভাগ চিহ্নগুলিকে চূড়ান্ত কাগজ থেকে পৃথক পৃথক মিশ্রণ দিয়ে প্রতিস্থাপন করে সরিয়ে নিয়েছিল।

— ভোগেনসেন

@ পের ভোগেনসেন: আমি সেই কাজের সাথে পরিচিত নই, তাই পয়েন্টারের জন্য ধন্যবাদ। আমি এটি একবার দেখুন।

— রবিন কোঠারি

আপনি কাহ্ন-সাকস-স্টুর্তেভেন্টের জন্য "টপোলজিক্যাল এবং গ্রুপ-তাত্ত্বিক পদ্ধতি" যুক্ত করতে চাইতে পারেন । সর্বোপরি, তারা সরল জটিলগুলিতে গুরুতরভাবে গ্রুপ ক্রিয়া ব্যবহার করে।

— জোশুয়া গ্রাচো

আমি ভাবছিলাম যে এক বছর পরে এই থ্রেডটি "জাগ্রত করা" মূল্যবান কিনা তা উল্লেখ করার জন্য..কিন্তু এটি দুর্দান্ত থ্রেড তাই কেন নয়। লোভাস ফলাফল এবং অন্যান্য ফলাফলের পাশাপাশি মাতোসেকের

— সাশো নিকোলভ

Answer 5

সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলির প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য কোহন-ক্লেইনবার্গ-সিজেজিডি-উমানস পদ্ধতির ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় । তারা দেখায় যে নির্দিষ্ট শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে প্রতিসামগ্রী গোষ্ঠীগুলির সাথে আবেলিয়ান পুষ্পস্তবকগুলির পরিবারগুলি যদি বিদ্যমান থাকে তবে সেখানে চতুর্ভুজ জটিলতার ম্যাট্রিক্স গুণক অ্যালগরিদম রয়েছে।

প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব (বীজগণিত গোষ্ঠীর )ও মুলমুলে এবং সোহনির জ্যামিতিক জটিলতার তত্ত্বটি নিম্ন সীমাতে দেখায় । এটি প্রয়োগ হিসাবে গণ্য হয়েছে কিনা তা এখনও পরিষ্কার নয়, যেহেতু এখনও এই পদ্ধতির সাথে কোনও নতুন জটিলতার ফলাফল প্রমাণিত হয়নি, তবে কমপক্ষে দুটি ক্ষেত্রের মধ্যে অন্তত একটি আকর্ষণীয় সংযোগ তৈরি করা হয়েছে যা প্রথমে লজ্জাজনকভাবে পুরোপুরি সম্পর্কিত নয় বলে মনে হয়।

Answer 6

$IP = PSPACE$

Comments

আমি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলিতে এলোমেলোভাবে নির্ধারককে (নমুনা, লোভেস) নমুনা তৈরি করে নিখুঁত ম্যাচগুলি খুঁজে পাওয়ার জন্য বহুভিত্তিক কৌশলটি উপভোগ করি।

— ডেরিক স্টোলি ২১

Answer 7

অনুমানের তত্ত্ব (যা সাধারণ ফাংশনগুলি যেমন কম-ডিগ্রি পলিনোমিয়ালস দ্বারা সম্ভবত জটিল বা অপ্রাকৃত বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনগুলির সান্নিধ্যের সাথে সম্পর্কিত) সার্কিট জটিলতা, কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতা, সিউডোর্যান্ডমনেস ইত্যাদি ক্ষেত্রে প্রচুর ব্যবহার রয়েছে has

আমি মনে করি এই অঞ্চল থেকে সরঞ্জামগুলির মধ্যে একটি দুর্দান্ত অ্যাপ্লিকেশনটি এসেছে বেইগেল, রেইনগোল্ড এবং স্পিলম্যানের এই কাগজ থেকে , যেখানে তারা দেখিয়েছে যে জটিলতা ক্লাসের পিপি এই ছেলের নীচে বন্ধ করে দেওয়া হয়েছে এই সত্যটি ব্যবহার করে যে সাইন ফাংশনটি কম দ্বারা সীমাবদ্ধ করা যায় গ্রেড যুক্তিযুক্ত ফাংশন।

নিসান এবং সজেজেদী এবং পাটুরি কম-ডিগ্রি বহুভুজের মাধ্যমে প্রতিসাম্যিক কার্য সম্পাদনের জন্য নিম্ন সীমাটি দেখিয়েছিল। এই পদ্ধতিটি প্রায়শই কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতার নিম্নতর সীমা প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ স্কট অ্যারনসনের বক্তৃতা নোটগুলি দেখুন ।

Answer 8

আরেকটি সুন্দর ধারণা: মিনিম্যাক্স নীতিগুলি ব্যবহার করার জন্য ইয়াওয়ের ধারণা এবং র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদমগুলিতে নিম্ন সীমা প্রদর্শন করার জন্য মিশ্র গেমগুলির একটি ভারসাম্য (মূলত রৈখিক প্রোগ্রামিং দ্বৈততা) রয়েছে তা প্রমাণ (পরিবর্তে একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক অ্যালগরিদমে ইনপুটগুলির উপরে বিতরণ তৈরি করে) Ya

Comments

এছাড়াও রাসেল ইম্পাগলিয়াজোর হার্ড কোর লেমাকে (রাসেলের মূল কাগজে) নোয়াম নিসানের প্রমাণ

— দানা মোশকোভিৎজ

Answer 9

স্থির পয়েন্টের উপপাদ্যগুলি পুরো জায়গা জুড়ে ...

$n$$O(\log n!)$তুলনা, দুহ)। এই সত্যের প্রমাণটি উচ্চ মাত্রিক পলিটোপগুলির জ্যামিতির মধ্য দিয়ে যায়। বিশেষত, প্রমাণটি ব্রুন-মিনকভস্কি অসমতা ব্যবহার করে। এটির একটি ভাল উপস্থাপনা হ'ল ম্যাটউসেক বইয়ে ডিসকভার্ট জ্যামিতির উপর লেকচার (বিভাগ 12.3)। আসল প্রমাণটি এখান থেকে কান এবং লিনিয়ালের দ্বারা প্রাপ্ত ।

Answer 10

তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে তথ্য তত্ত্বের প্রচুর ব্যবহার রয়েছে : উদাহরণস্বরূপ, যোগাযোগের জটিলতায় সমান্তরাল পুনরাবৃত্তি উপপাদ্যের রাজের প্রমাণে স্থানীয়ভাবে ডিকোডেবল কোডের (ক্যাটজ এবং ট্র্যাভিসান দেখুন) নিম্ন সীমা প্রমাণ করার ক্ষেত্রে (উদাহরণস্বরূপ, থ্রেড) যোগাযোগের সংকোচনের উপর কাজ, যেমন, বরাক, ব্র্যাভারম্যান, চেন এবং রাওয়ের তুলনামূলকভাবে সাম্প্রতিক কাজ এবং সেখানে উল্লেখগুলি) এবং আরও অনেক কাজ।

Comments

কিন্তু এগুলি কি সত্যিই "সম্পর্কিত নয়"? কমপক্ষে একটি নির্বোধ দৃষ্টিকোণ থেকে, আমার কাছে মনে হয় যে তথ্য তত্ত্ব হ'ল প্রথম দিকগুলির মধ্যে একটি যা মনে মনে আসে যখন কেউ প্রথমে স্থানীয়ভাবে ডিকোডেবল কোডগুলির সংজ্ঞা শোনেন।

— অর্ণব

আমি সম্মত হই যে তথ্য তত্ত্ব কোডগুলির সাথে সম্পর্কিত, উদাহরণস্বরূপ, এবং কোডগুলি টিসিএসের সাথে সম্পর্কিত। সমান্তরাল পুনরাবৃত্তি সম্ভবত একটি শক্তিশালী উদাহরণ: আপনি পিসিপিগুলির জন্য সাবলীলতা প্রশস্তকরণের জন্য এটি ব্যবহার করার কথা কেন ভাবেন?

— ডানা মোশকোভিৎজ

হ্যাঁ, আমি সম্পূর্ণরূপে সম্মত হই যে সমান্তরাল পুনরাবৃত্তি একটি আশ্চর্যজনক উদাহরণ।

— অর্ণব

Answer 11

অ্যালন এবং নাওর সর্বাধিক কাটা সমস্যার উপর একটি আনুমানিক অ্যালগরিদম প্রমাণ করতে গ্রোথেন্ডিকের অসমতা ব্যবহার করেছিলেন । আমি মনে করি যে এই বিষয়ে পরবর্তী কাজ আছে তবে আমি বিশেষজ্ঞ নই।

মজার বিষয় হচ্ছে, ক্লিভ, হোয়ার, টোনার এবং ওয়াটারস একই প্রপঞ্চটি কোয়ান্টাম এক্সওআর গেমগুলি বিশ্লেষণ করতে ব্যবহার করেছিলেন এবং লিনিয়াল এবং শ্রাইবমান কোয়ান্টাম যোগাযোগের জটিলতার জন্য এটি ব্যবহার করেছিলেন। আমার জ্ঞান অবধি, গ্রোথেনডিকের অসমতার এবং কোয়ান্টাম ফিজিক্সের ভিত্তির মধ্যে সম্পর্কটি সিরেলসন ৮৫ সালে আবিষ্কার করেছিলেন, তবে আমি যে দুটি ফলাফল উল্লেখ করেছি তাতে কম্পিউটার বিজ্ঞানকে বিশেষভাবে সম্বোধন করা হয়েছিল।

Comments

আহ, এটি সঠিক নয়। অ্যালন এবং নাওর একটি ম্যাট্রিক্সের কাটা আদর্শকে প্রায় অনুমান করেছিলেন - এটি সর্বোচ্চ কাট সম্পর্কিত তবে একই নয়।

— সাশো নিকোলভ

Answer 12

একটি ভাল উদাহরণ ব্যারিংটনের উপপাদ্য:

$f$$d$$f$$4^d$

প্রমাণ$S_5$

Answer 13

লজ্জাহীন প্লাগ: আমার মধ্যে রৈখিক প্রশ্নের প্রায় অনুকূল differentially ব্যক্তিগত মেকানিজম নকশা Isotropic অনুমান (এবং সাধারণভাবে উত্তল জ্যামিতি) ব্যবহার কাজ সঙ্গে মরটিজ মধ্যে Hardt ।

উপরের সুরেশের প্রশ্নের আংশিক উত্তর দেওয়ার জন্য, "কম্পিউটার কম্পিউটারে বিজ্ঞানের প্রয়োগে সাধারণত বিবেচিত হয় না" বলে আমি মনে করি মূল প্রশ্নটি কিছুটা জটিল। এর মধ্যে এমন কিছু কৌশল যা মূলত "অসম্পৃক্ত" সময়ের সাথে সাথে "স্বাভাবিক" হয়ে উঠতে পারে। সুতরাং এই কৌশলগুলির মধ্যে সবচেয়ে সফল (যেমন কাহ্ন-কালাই-লিনিয়ালের ফুরিয়ার বিশ্লেষণ, লিনিয়াল-লন্ডন-রবিনোভিচের মেট্রিক এম্বেডিং) এর আর কোনও বৈধ উত্তর নেই।

Comments

সম্ভবত আমি এটিকে সম্বোধন করার জন্য প্রশ্নটির উচ্চারণ করব।

— ডেরিক স্টোলি

Answer 14

এক্সট্রাক্টর সাহিত্যে অ্যাডেটিভ কম্বিনেটর / সংখ্যার তত্ত্ব প্রচুর ব্যবহৃত হয়েছিল। আমি মনে করি প্রথম উদাহরণগুলি প্যালি গ্রাফগুলি ভাল উত্তোলক হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে তা লক্ষ্য করে এসেছিল এবং অ্যাডিটিভ সংখ্যা তত্ত্বের কিছু খোলামেলা প্রশ্ন আরও ভাল বোঝাতে পারে। আমি জানি প্রথম দিকের রেফারেন্স হ'ল জাকারম্যান 1990 (তাঁর থিসিসটি দেখুন ), তবে গত কয়েক বছরে এটি টিসিএস এবং অ্যাডিটিভ কম্বিনেট্রিকসের মধ্যে পিছনে পিছনে আকর্ষণীয় একটি সক্রিয় অঞ্চল হয়ে উঠেছে। ( সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র কাকাইয়া অনুমানের বিষয়ে ডিভিরের প্রমাণ হওয়াই হাইলাইটগুলির মধ্যে একটি, তবে এটি অবশ্যই গণিতের জন্য একটি টিসিএসের অবদান এবং অন্যভাবে নয়)) এ-প্রাইমারী এই ধরণের গাণিতিক প্রশ্ন কেন, পরিমাণ এবং পণ্য সম্পর্কে তা স্পষ্ট নয় A সেট এর সিএস জন্য গুরুত্বপূর্ণ হবে।

Comments

এই শিরাটির আরও একটি ভাল উদাহরণ হ'ল ভিসি মাত্রা 2 এর একটি পরিসীমা স্থানের জন্য এপসিলন নেটে একটি অলৈখিক নিম্নতর আবদ্ধ প্রমাণ করার জন্য ঘনত্ব হেলস-জুডিট অনুমানের সাম্প্রতিক ব্যবহার

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 15

স্লিয়েটার, টারজান এবং থারসন হাইপারবোলিক জ্যামিতি ব্যবহার করে nউল্লম্ব এবং ঘূর্ণন দূরত্ব সহ জোড়া বাইনারি অনুসন্ধান গাছের একটি অসীম পরিবারের অস্তিত্ব প্রমাণ করেছিলেন 2n-6।

Answer 16

দিয়ে একটি সুস্পষ্ট আরআইপি ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে ব্যবহৃত যোজক সংযুক্তিগুলি ics$o(k^2)$

$k^2$ সুস্পষ্ট আরআইপি ম্যাট্রিক্সের জন্য বাধা । স্টক 2011: 637-644।

লিনিয়ার বীজগণিত গ্রাফগুলিকে স্পারসাইফাই করতে ব্যবহৃত হয়:

জোশুয়া ডি ব্যাটসন, ড্যানিয়েল এ স্পিলম্যান, নিখিল শ্রীবাস্তব: দু'বার-রামানুজন স্পারসিফায়ার্স। স্টক 2009: 255-262।

Answer 17

এটি গণনা বা নাও হতে পারে তবে সম্প্রতি জুমেরো-ফ্রেইঙ্কেল সহ পরমাণু (জেডএফএ) এবং ফ্রেইঙ্কেল-মোস্তোস্কি (এফএম) সেট তত্ত্বগুলি নাম বাঁধাইয়ের সাথে অ্যাবস্ট্রাক্ট সিনট্যাক্সের গবেষণায় প্রয়োগ করা হয়েছে। জেডএফএ বিংশ শতাব্দীর গোড়ার দিকে সিএইচ-এর স্বাধীনতা প্রমাণের হাতিয়ার হিসাবে প্রবর্তিত হয়েছিল এবং তারপরে এটি ভুলে গিয়েছিল, তবে 1990 এর দশকের শেষ দিকে দুটি কম্পিউটার বিজ্ঞানী --- গ্যাবে এবং পিটস --- একেবারে সংযুক্ত নয় এমন কিছু অধ্যয়ন করে আবিষ্কার করেছিলেন।

উদাহরণস্বরূপ এই জরিপ কাগজটি দেখুন ।

Answer 18

কান এবং কিমের আংশিক তথ্য (http://portal.acm.org/citation.cfm?id=129731) এর আওতায় লেখার জন্য গ্রাফ এনট্রপি প্রয়োগ। তারা প্রথম বহু বহু সময়কে অ্যালগরিদম দিয়েছিল যা তাত্ত্বিকভাবে সর্বোত্তম (ধ্রুবক পর্যন্ত) সংখ্যার তুলনায় তথ্য সম্পাদন করে। উত্তোলন জ্যামিতি, গ্রাফ এনট্রপি এবং উত্তল প্রোগ্রামিংয়ের সাথে কিছু ধ্রুপদী সংযুক্তি যুক্তি ব্যবহার করে কাগজটি গণিতে একটি ছোট ফিল্ড ট্রিপ। আরও একটি সাম্প্রতিক সরল অ্যালগরিদম রয়েছে, তবে গ্রাফ এনট্রপি ছাড়া কীভাবে এটি বিশ্লেষণ করতে হয় তা আমরা এখনও জানি।

Answer 19

নম্বর তত্ত্বটি আরএসএ এবং অন্যান্য পাবলিক-কী ক্রিপ্টোগ্রাফিক স্কিমগুলি বিকাশ করতে ব্যবহৃত হয়েছিল।

Answer 20

করাতসুবা গুণটির আবিষ্কারটি অবাক করেছিল।

Comments

গাউস একমত না।

— জেফি