হাইপারডোকট্রাইনস এবং মোনাডিক সেকেন্ড অর্ডার লজিক

এই প্রশ্নটি মূলত ম্যাথওভারফ্লোতে আমি যে প্রশ্নটি করেছি তা।

মোনাডিক সেকেন্ড অর্ডার (এমএসও) লজিক হ'ল অনার প্রেডিকেটেসের চেয়ে বেশি পরিমাণে প্রমাণের সাথে দ্বিতীয় অর্ডার যুক্তি। সেটি হচ্ছে ওভার সেটের পরিমাণ বেশ কয়েকটি এমএসও লজিক রয়েছে যা কম্পিউটার বিজ্ঞানে অধ্যয়ন করা কাঠামোর জন্য মৌলিক।

প্রশ্ন ১. মোনাডিক সেকেন্ড অর্ডার লজিকসের জন্য কি কোনও বিভাগীয় শব্দার্থবিজ্ঞান রয়েছে?

প্রশ্ন ২. শ্রেণিবদ্ধ যুক্তির চিকিত্সা প্রায়শই "উচ্চতর অর্ডার স্বজ্ঞাত যুক্তি" সম্পর্কে কথা বলে। আমি কী ধরে নিতে পারি যে তারা দ্বিতীয় আদেশের পূর্বাভাসের চেয়ে পরিমানের চেয়ে উচ্চতর অর্ডার ফাংশনগুলিতে উল্লেখ করছে?

প্রশ্ন ৩. (যোগ করা হয়েছে, নীলের জবাবের পরে, 08 নভেম্বর 2013) প্রথম অর্ডার পরিমার্জন সম্পর্কে আমার উপলব্ধি (নীচে উল্লিখিত পিটসের উপস্থাপনার শর্তে) এটি পুলব্যাকের প্রতি শ্রদ্ধার সাথে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে $\pi^*$ একটি অভিক্ষিপ্ত রূপচর্চা $\pi$ । বিশেষত, সর্বজনীন মাপদণ্ডকে ডান সংযোজন হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় $\pi^*$ এবং অস্তিত্বের পরিমাপের বাম অ্যাডজাস্টমেন্ট হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় $\pi^*$ । এই সংবিধানগুলিকে কিছু শর্ত পূরণ করতে হয়, যা আমি মাঝে মাঝে বেক-শেভেলি এবং ফ্রোবেনিয়াস-রেসিপ্রোসিটি শর্ত হিসাবে উল্লেখ করেছি।

এখন যদি আমরা পূর্বাভাসের পরিমাণ নির্ধারণ করতে চাই তবে আমি ধরে নিচ্ছি যে আমি কার্তেসিয়ান বদ্ধ শ্রেণিতে রয়েছি, ছবিটি প্রায় একই, ব্যতীত $X$ নীচে আগের থেকে আলাদা কাঠামো রয়েছে।

\exists_{আমি, এক্স}, \forall_{আমি, এক্স} : {পি}_{সি} (আমি \times এক্স) \to {পি}_{সি} (আমি)

$\exists_{I,X}, \forall_{I,X}: P_C(I\times X) \to P_C(I)$

এটা কি সঠিক?

আমি বিশ্বাস করি যে আমার মানসিক ব্লকটি ছিল কারণ আমি আগে প্রথম-অর্ডার হাইপারডোক্ট্রাইন নিয়ে কাজ করছিলাম এবং কার্টেসিয়ান বন্ধ হওয়ার বিভাগটি দরকার ছিল না এবং পরে এটি বিবেচনা করিনি।

পটভূমি এবং প্রসঙ্গ। আমি অ্যান্ড পিটস দ্বারা তাঁর হ্যান্ডবুক অফ লজিক ইন কম্পিউটার সায়েন্স নিবন্ধে শ্রেণিবদ্ধ যুক্তির উপস্থাপনা নিয়ে কাজ করছি, তবে আমি তার ডক্টরাল গবেষণামূলক ক্ষেত্রে ট্রিপস তত্ত্বের চিকিত্সার পাশাপাশি অ্যাওডে এবং বাউয়ের নোটের সাথেও পরিচিত। আমি টাইপের জন্য ক্রোলের বিভাগ এবং ল্যামব্যাক এবং স্কটের বইটি অধ্যয়ন শুরু করেছি তবে শেষ দুটি লেখার সাথে পরামর্শ করার পরে কিছুদিন হয়েছে।

অনুপ্রেরণার জন্য, আমি নীচের উপপাদাগুলিতে এমএসও যুক্তিযুক্ত ধরণের উপস্থিতিতে আগ্রহী। আমি এই যুক্তির সাথে ডিল করতে চাই না যা স্পষ্টভাবে এইগুলির একটির সাথে সমান। অর্থ, আমি উচ্চতর আদেশের ক্রিয়াকলাপগুলির ক্ষেত্রে মোনাডিক পূর্বাভাসগুলি এনকোড করতে চাই না এবং তারপরে অন্য যুক্তিটি মোকাবেলা করতে চাই না, তবে আমি এমন একটি শব্দার্থবিজ্ঞানের অধ্যয়ন করতে পেরে খুশি যা এর মধ্যে হুডের নীচে এমন একটি এনকোডিং অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

(বুচি এবং এলগোট উপপাদ্য) যখন কাঠামোর মহাবিশ্ব একটি সীমাবদ্ধ বর্ণমালার উপর সীমাবদ্ধ শব্দ হয়, কোনও ভাষা এমএসও-তে যথাযথ হয় যদি ধারাবাহিক অবস্থানের প্রকাশের জন্য একটি ব্যাখ্যার শিকারী থাকে।
(বুয়েচের উপপাদ্য) যখন কাঠামোর মহাবিশ্ব হয় $\omega$ সীমাবদ্ধ বর্ণমালার উপরের শব্দগুলি, একটি ভাষা $\omega$ যথাযথ ব্যাখ্যামূলক ভবিষ্যদ্বাণীযুক্ত সাথে এমএসওতে এটি যদি যথাযথ হয় তবে নিয়মিত ular
(থ্যাচার অ্যান্ড রাইট থিওরেম) একটি বিস্মৃত পূর্বাভাসের সাথে এমএসও-তে যথাযথভাবে প্রমাণিত হলে একটি সীমাবদ্ধ গাছগুলি একটি নীচের অংশে সীমাবদ্ধ ট্রি অটোমেটনের দ্বারা সনাক্তযোগ্য।
ডাব্লুএস 1 এস হ'ল ওয়ান সাকসেসরের দুর্বল মোনাডিক দ্বিতীয় আদেশ তত্ত্ব। সূত্রগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটগুলি সংজ্ঞায়িত করে এবং দ্বিতীয় ক্রমের ভেরিয়েবলগুলি কেবল সীমাবদ্ধ সেট হিসাবে ব্যাখ্যা করা যায়। ডাব্লুএস 1 এস সীমিত শব্দ হিসাবে প্রাকৃতিক সংখ্যার দ্বিখণ্ডিত এনকোডিং দ্বারা সীমাবদ্ধ অটোমেটা দ্বারা সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে।
(রবিন এর উপপাদ্য) S2S দুই উত্তরসূরী দ্বিতীয় অর্ডার তত্ত্ব। এস 2 এস রবিন অটোমাতা সিদ্ধান্ত নিতে পারে।

lo.logic ct.category-theory

— বিজয় ডি
সূত্র

আমি জানি না!
না, আপনার অনুমান সঠিক নয়। আপনি উচ্চতর অর্ডার ফাংশনগুলির চেয়ে বেশি পরিমাণ নির্ধারণ করতে পারেন এবং আইএইচএল-তে পূর্বাভাস দিতে পারেন (আসলে, ভবিষ্যদ্বাণীগুলি কেবলমাত্র এক ধরণের প্রস্তাবের মধ্যে ফাংশন)। সেটআপটি কিছুটা দেখতে দেখতে:

$\begin{array}{llcl} সাজান & ω & :: = & ω \to ω | ω \times ω | 1 | পি R ণ পি | ι \\ শব্দ & টি & :: = & এক্স | λ এক্স । টি | টি {টি}^{'} | (টি, টি) | π_{1} (টি) | π_{2} (টি) | () \\ | & পি \Rightarrow কুই | ⊤ | পি \land কুই | ⊥ | পি \lor কুই \\ | & \forall এক্স : ω । পি | \exists এক্স : ω । পি | টি =_{ω} {টি}^{'} \\ | & চ (\vec{টি}) \end{array}$ $\begin{array}{llcl} \mbox{Sort} & \omega & ::= & \omega \to \omega \;\; | \;\; \omega \times \omega \;\; | \;\; 1 \;\;|\;\; \mathrm{prop} \;\;|\;\; \iota\\ \mbox{Term} & t & ::= & x \;\;|\;\; \lambda x.t \;\;|\;\; t\;t' \;\;|\;\; (t,t) \;\; | \;\; \pi_1(t) \;\;|\;\; \pi_2(t) \;\;|\;\; () \\ & & | & p \Rightarrow q \;\;|\;\; \top \;\;|\;\; p \wedge q \;\;|\;\; \bot \;\;|\;\; p \vee q \\ & & | & \forall x:\omega.p \;\;|\;\; \exists x:\omega.p \;\;|\;\; t =_\omega t' \\ & & | & f(\vec{t}) \end{array}$

আপনি কোনও পদটির সু-গঠন সম্পর্কে বিচার করার জন্য টাইপিংয়ের স্বাভাবিক নিয়ম দেন। পদগুলির প্রথম লাইনটি হ'ল সাধারনত-টাইপযুক্ত ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস, দ্বিতীয় দুটি লাইন হ'ল অর্ডার যুক্তির প্রস্তাব (উপাদান হিসাবে টাইপ করা হয়) $\mathrm{prop}$ ), এবং তৃতীয় লাইনটি ব্যক্তি গঠনের জন্য আপনি যে ধ্রুবক ব্যবহার করেন (সেগুলির উপাদানসমূহ) elements $\iota$ )।

তারপরে ধারণাটি হ'ল হাইপারডোকট্রাইন শব্দার্থকে অতিরিক্ত কাঠামোর সাহায্যে প্রসারিত করে আপনি ক্রপকে শব্দার্থবিজ্ঞানকে প্রথম-আদেশের স্বজ্ঞাত যুক্তি যুক্ত করতে উচ্চতর-অর্ডার যুক্তিতে প্রসারিত করতে চান। প্রথম অর্ডার হাইপারডোকট্রিন একটি ফান্টেক্টর $P : C^\mathrm{op} \to \mathrm{Poset}$ একটি বিভাগের মধ্যে $C$ পণ্য (প্রসঙ্গে শর্তাবলী ব্যাখ্যা করতে ব্যবহৃত), এবং একধরনের পোসেট (সত্য মান lattices), প্রতিস্থাপন কাজ সঠিক করতে কিছু শর্ত সন্তুষ্ট সঙ্গে।

আইএইচএল-তে যাওয়ার জন্য, আপনি অতিরিক্তভাবে এটি দৃsert়ভাবে জানান

$C$ কার্টেসিয়ান বন্ধ (ফাংশন ধরণের পরিমাণের পরিমাণ নির্ধারণের দক্ষতার মডেল করার জন্য), এবং
$C$ একটি অভ্যন্তরীণ হেইটিং বীজগণিত রয়েছে $H$ সম্পত্তি সন্তুষ্ট যে প্রতিটি জন্য $\Gamma \in C$ , $\mathit{Obj}(P(\Gamma)) \simeq C(\Gamma, H)$ । তুমি ব্যাবহার কর $H$ মডেল $\mathrm{prop}$ , এবং আইসোমরফিজম আপনাকে সেই ধরণের শর্তাদি বলে $\mathrm{prop}$ সত্য সত্যের সাথে সত্যই মিল রয়েছে।

এই কাঠামোটি প্রায় একটি "প্রাথমিক টপোস" is যদি আপনার অতিরিক্তভাবে এটি প্রয়োজন হয় $P(\Gamma)$ এর সাবজেক্টগুলির একটি পোজেট $\Gamma$ , তাহলে আপনি সেখানে আছেন। (এটি মূলত বলেছে যে আপনি আপনার যুক্তিতে একটি বোঝার নীতি যুক্ত করতে পারেন))

— নীল কৃষ্ণস্বামী
সূত্র