অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যায় লিনিয়ার ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ

Question

অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার মধ্যে রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সমাধানের এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা সম্পর্কে আমি খুব কম তথ্যই পাই। অর্থাৎ, সেখানে অ নেতিবাচক একটি সমাধান পাওয়া যাবে $x_1,x_2, ... , x_n$ সমীকরণ থেকে $a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = b$ , যেখানে সমস্ত ধ্রুবক ধনাত্মক? আমি জানি এই সমস্যার একমাত্র উল্লেখযোগ্য উল্লেখ হ'ল শ্রিজিভারেতাত্ত্বিক লিনিয়ার এবং পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিং । এবং তারপরেও, এটি একটি বরং টির্স আলোচনা।

সুতরাং আমি এই সমস্যার বিষয়ে আপনার যে কোনও তথ্য বা রেফারেন্স সরবরাহ করতে পারি তার প্রশংসা করব।

আমি প্রায়শই যত্নশীল দুটি প্রশ্ন আছে:

1. এটি কি দৃ strongly়ভাবে এনপি-সম্পূর্ণ?
2. # পি-হার্ড, এমনকি # পি-সম্পূর্ণ সমাধানের সংখ্যা গণনা সম্পর্কিত সম্পর্কিত সমস্যাটি কি?

Comments

এটি সত্যই কোনও গবেষণা স্তরের প্রশ্ন নয় এবং এটি বিশ্বাস করা আমার পক্ষে কঠিন যে আপনি আরও তথ্য পান নি। : এখানে শুরু en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

— domotorp

2) এর জন্য, আফাক এমন কোনও এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার জ্ঞাত উদাহরণ নেই যার প্রাকৃতিক গণনা সংস্করণ # পি-সম্পূর্ণ নয়। আপনার নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য পার্সোনামিয়াস হ্রাস খুঁজে বের করা কোনও রেফারেন্স খোঁজার চেয়ে সহজ হতে পারে। এই কাগজটি নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত # সুবসেটসামের জন্য এটি করেছে: crt.umontreal.ca/~gerardo/tsppd-p-complete.pdf

— সাশো নিকোলভ

আমি দয়া করে @ মোডেরপ এবং 4vergr8ful উভয়কেই আরও কিছুটা সুশীলতার জন্য জিজ্ঞাসা করতে পারেন? প্রথমটি ব্যাখ্যা করতে পারত যে কীভাবে ন্যাপস্যাকের সমস্যা যেমন ডায়োফানটাইন সমীকরণগুলিকে হ্রাস করে, যা তিনি মনে করেন যে এটি কেস, যদিও 4vergr8ful সম্ভবত শীতল হতে পারে, বিশেষত যেহেতু তিনি উভয়ই সাহায্যের জন্য জিজ্ঞাসা করছেন এবং স্পষ্টতই এই ফোরামটির কার্যক্রমে অনভিজ্ঞ । তবে আমি ন্যাপস্যাক সমস্যাটি সম্পর্কেও ভেবেছিলাম এবং এটি ডাইওফ্যান্টাইন সমীকরণের ইতিবাচক সমাধানগুলিকে হ্রাস করার বিষয়টি আমার কাছে মোটেই পরিষ্কার নয়।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

ওপি, যেমন @Austin উল্লেখ করা হয়েছে, ঝোলা জন্য সমান গতিশীল প্রোগ্রাম ধারণা বহুপদী সময়ে আপনার সমস্যা সমাধানের জন্য যখন কাজ করে বহুপদী বেষ্টিত হয়। সুতরাং, না, সমস্যাটি দৃ strongly়ভাবে এনপি-সম্পূর্ণ নয়। এবং ডমোটর্পের ন্যাপস্যাক উইকি পৃষ্ঠায় আপনাকে নির্দেশ করার ভাল কারণ ছিল। $a_i$

— সাশো নিকোলভ

@ 4evergr8ful অবশ্যই, আমি ধরে নিয়েছি যে আপনি উদ্ধৃতিটি প্যারাফ্রেস করেছেন। ঠিক আছে। তবে, আপনি তাদের "ছয়" পরিবর্তন করে "প্রতি" তে ভুল ব্যবহার করেছেন। জি অ্যান্ড জে যেমন পার্সোনামিয়াস সংজ্ঞায়িত করেন (যেমন সমাধানের সংখ্যা হুবহু একই) তবে এটি ঠিক নয় যে এনপির সমস্যাগুলির মধ্যে প্রতিটি হ্রাসকে পার্সোনোনিয়াস ইউএনএলএসএস পি = প্যারিটি-পি করা যেতে পারে। এর কারণ হ'ল এসএটি থেকে এনএই-স্যাটে স্ট্যান্ডার্ড হ্রাস একটি ফ্যাক্টরকে প্রবর্তন করে যা ২ এর শক্তি This এটি প্রত্যাশিত, যেহেতু প্যারিটি-পি এর জন্য স্যাট সম্পূর্ণ তবে এনএই-স্যাট সহজ (এখানে একটি সুস্পষ্ট জুটি আছে অ্যাসাইনমেন্ট তাই উত্তর সর্বদা সমান = 0)।

— টাইসন উইলিয়ামস

Answer 1

(1) সম্পর্কিত, সমস্যাটি এখানে দৃ in়ভাবে এনপি-হার্ড নয়, সিএফ Corollary 1 এখানে :

পাপাদিমিট্রিও, সিএইচ (1981)। পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিংয়ের জটিলতার বিষয়ে। এসিএম জার্নাল , 28 (4), 765-768।

(২) সম্পর্কিত, সমস্ত ধ্রুবক ইতিবাচক হলে সমস্যাটি অবশ্যই স্পষ্টতই # পি এর মধ্যে। সাবসেটসামের একটি # পি-সম্পূর্ণ সংস্করণও রয়েছে, যা আপনার সমস্যার উদাহরণে প্রায় ফিট করে তবে ক্ষেত্রে 0 বা 1 হওয়া দরকার, এখানে দেখুন :$x_i$

ফালিজজেউস্কি, পি। এবং হেমাস্প্যান্ড্রা, এল। (২০০৯)। পাওয়ার-ইনডেক্স তুলনার জটিলতা। তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান 410 (1), 101-107।

আমি প্রায় নিশ্চিত যে Faliszewski এবং Hemaspaandra দ্বারা ব্যবহৃত নির্মাণ যেমন যে প্রয়োজন স্থায়ী করা যেতে পারে আছি প্রয়োজন নেই এবং দাবি অত: পর হবে সমস্যা প্রদান করা ধ্রুবক এনকোড করা হয় # পি-সম্পূর্ণ যে, বাইনারি।$x_i\in \{0,1\}$

Answer 2

আমি মোটেই এ বিষয়ে বিশেষজ্ঞ নই, তবে আমি একটি গঠনমূলক আলোচনা শুরু করতে চাই। এখানে math.stackexchange.com প্রশ্নের উপর ভিত্তি করে একটি প্রচেষ্টা করা হচ্ছে লিনিয়ার ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের জন্য ইতিবাচক সমাধানগুলির সংখ্যা গণনা করুন । স্টাফটি এরহার্ট বহুবচনগুলির সাথে সম্পর্কিত, যার সম্পর্কে আমি কিছুই জানি না এবং আমি উপরের দিকে সাশোনিকোলভের মন্তব্যগুলিতেও ভাবি।

নির্ধারণ Diophantine অ-নেগেটিভ সমাধান সংখ্যার সমীকরণ হতে একটি এন এক্স এন + + একটি এন - 1 এক্স এন - 1 + + ⋯ + + একটি 1 এক্স 1 = খ , যেখানে সহগ একটি i ইতিবাচক এবং খ -অ-নেতিবাচক। আমি যদি আমার পুনরাবৃত্তিগুলি সঠিকভাবে পেতে পারি তবে আমাদের কাছে এন $N(a_1, a_2, \ldots, a_n; b)$

$$a_n x_n + a_{n-1} x_{n-1} + \cdots + a_1 x_1 = b,$$ $a_i$$b$ এবং এন(একটি1,…,একটিএন+1;বি)=∑0≤কে≤বি / একটি এন + 1 এন(একটি1,…,একটিএন;বি-একটিএন+1কে) এখন, যোগফলটি কিছুটা দীর্ঘ (ইনপুটটির দৈর্ঘ্যের নিরিখে পরিমাপ করা হয়) তবে আমরা আশা করি যে এটি সমস্ত সংখ্যার মধ্য দিয়ে চলার চেয়ে এটির আরও ভালতর কোনও উপায় খুঁজে পাবে hope $$N(a_1; b) = \begin{cases} 1 & \text{if $a_1 \mid b$} \\\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ $$N(a_1, \ldots, a_{n+1}; b) = \sum_{0 \leq \ k \ \leq b/a_{n+1}} N(a_1, \ldots, a_n; b - a_{n+1} k)$$ $k$$b$

Comments

প্রিয় আন্দ্রেজ, শক্তিশালী এনপি-কঠোরতার ক্ষেত্রে, আমরা ইনপুটটির মান বিবেচনা করি এবং এটির দৈর্ঘ্য নয়। আরও দেখুন: en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Dynamic_programming

— domotorp

@ ডমোটরপ, আমি মনে করি আন্দ্রেজ দ্বিতীয় প্রশ্নটির বিষয়ে সম্বোধন করছেন, # পি-সম্পূর্ণতা সম্পর্কে, শক্তিশালী এনপি-সম্পূর্ণতার বিষয়ে প্রথম নয়, যা আমি যতদূর দেখতে পাচ্ছি, উত্তর দেওয়া খুব সহজ (না, সমস্যাটি দৃ strongly়ভাবে এনপি নয়) -complete)। আন্দ্রেজ, আপনি এখানে কী দেখানোর আশা করছেন তাতে আমি বিভ্রান্ত? যেহেতু সিদ্ধান্ত সমস্যা এনপি-সম্পূর্ণ, আপনি সমাধানের সংখ্যা গণনা করতে পারবেন না। আপনি কি সমাধানের সংখ্যা আনুমানিক আশা করছেন? বা দ্রুততম চেয়ে বেশি ক্ষতিকারক সময় অ্যালগরিদম আছে?

— সাশো নিকোলভ

বিটিডাব্লু, আমি মনে করি যে সম্ভবত এই গবেষণাপত্রের অ্যালগরিদম (ডাইনামিক প্রোগ্রামিংয়ের মাধ্যমে ন্যাপস্যাকের জন্য সমাধানের আনুমানিক গণনা) ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সমস্যার সাথে মানিয়ে নেওয়া যেতে পারে: cs.utexas.edu/~klivans/focs11.pdf

— সাশো নিকোলভ

আমি এই সমস্যা সম্পর্কে আরও একটি তথ্য শিখেছি। এখানে তিন ধরণের লোক রয়েছে: যারা এটিকে # লাইনার ডায়োফ্যানটাইন সমস্যা বলে থাকেন, যারা এটিকে # বাউন্ড ন্যাপস্যাক সমস্যা বলে থাকেন এবং শেষ পর্যন্ত যারা এটিকে সংখ্যক সমস্যা বলে থাকেন তারা। এবং তারা একে অপরের সাথে কথা বলে মনে হয় না।

— 4evergr8ful