(মিথ্যা?) কোন ফাংশনের গণ্যতার প্রমাণ?

Question

বিবেচনা করুন , একটি ফাংশন যা রিটার্ন 1 iff এন শূন্য মধ্যে পরপর প্রদর্শিত π । এখন কেউ আমাকে একটি প্রমাণ দিয়েছে যে চ ( এন ) গণনাযোগ্য:$f(n)$$n$$\pi$$f(n)$

হয় সমস্ত n এর জন্য, π এ উপস্থিত হয় , বা সেখানে st 0 মিটার উপস্থিত হয় π এবং 0 মি + 1 হয় না। প্রথম সম্ভাবনার জন্য চ ( এন ) : = 1 ; দ্বিতীয় একের জন্য চ ( এন ) : = 1 iff n ≤ m , অন্যথায় 0।$0^n$$\pi$$0^m$$\pi$$0^{m+1}$$f(n) := 1$$f(n) := 1$$n \leq m$

লেখক দাবি করেছেন যে এটি গণ্যযোগ্যতা প্রমাণ করে , কারণ এটির গণনা করার জন্য একটি অ্যালগরিদম রয়েছে।$f(n)$

এই প্রমাণ কি সঠিক?

Comments

এগুলি আরও পঠনযোগ্য করার জন্য আপনি আপনার প্রশ্নগুলিতে ক্ষীর ব্যবহার করতে পারেন।

— ডেভ ক্লার্ক

যুক্তিটি সঠিক, তবে গঠনমূলক নয়। ব্যক্তি আপনাকে টিএম দিচ্ছে না, সে আপনাকে দুটি টিএম দিচ্ছে এবং আপনাকে বলেছে যে এর মধ্যে একটি আপনার পছন্দসই ফাংশনটি গণনা করছে, তবে কোনটি জানে না।

— কাভেহ

আপনার সংস্করণ গণনাযোগ্য। তবে, আমি ভুল পাঠ করেছি এবং দুর্ঘটনাক্রমে এমন একটি সংস্করণ পেয়েছি যা আমি বিশ্বাস করি যে আপত্তিযোগ্য নয়। একমাত্র পরিবর্তন: ঠিক n শূন্যের পরিবর্তে, জিজ্ঞাসা করুন π সর্বাধিক n শূন্য রয়েছে কিনা। যদি এটি সত্যই ঘটে থাকে তবে আমি বিশ্বাস করি আপনি এটি নিশ্চিত করতে পারবেন না, যেহেতু এর সীমাহীন সংখ্যা রয়েছে এবং সেখানে (মনে হচ্ছে?) কোনও প্যাটার্ন পুনরায় প্রদর্শিত হবে না।

— চিজিসপ

আমি একবার একটি উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা সংশোধন করেছিলাম যা সম্পর্কিত ভুল করেছিল, জোর দিয়েছিলেন যে চৈতিনের ধ্রুবকটির অস্তিত্ব "অসমর্থনীয় পূর্ণসংখ্যার" অস্তিত্ব প্রমাণ করে।

— জেফ্রি ইরভিং

এই ধরণের প্রশ্নগুলি "তুচ্ছ ভাষা" এ থাকে। কিন্তু নোট কিভাবে সাধারণত সামান্য reformulation যেমন যেখানে ভাষা যেখানে মি একটি (বা 1 ম) এর অবস্থান 0 ট স্ট্রিং বা -1 আছে যদি এমন কোন স্ট্রিং undecidable করা যেতে পারে। এটি দেখুন কীভাবে এটি স্থিরযোগ্য হতে পারে যে π এর কয়েকটি অঙ্কের ক্রম রয়েছে? / কম্পিউটার বিজ্ঞান$f(n, k) = m$$m$$0^k$$\pi$

— vzn

Answer 1

একাধিক সম্ভাব্য ক্ষেত্রে মধ্যে এই প্রমাণ "শাখাবিন্যাস" হয়, যার মধ্যে এক (বাদ মধ্যম আইন ব্যবহার যে প্রতি প্রস্তাব জন্য সত্য হতে পারে আছে: এই ভাবে, মাইক চিন্তা , নয়তো পি সত্য বা ¬ পি সত্য)। তবে এই শাখাগুলির প্রতিটি শেষে, আপনি সর্বদা এটি প্রমাণ করতে পরিচালনা করেন যে ফাংশন এফ গণনীয়। অতএব, বাস্তবে বাস্তবে কোনটি কেস রাখে না কেন, চ অবশ্যই গণনাযোগ্য হবে। (তবে, শাখার উপর নির্ভর করে কেন চ কমপেটযোগ্য তার সঠিক কারণটি ভিন্ন হবে different)$p$$p$$\neg p$$f$$f$ $f$

Answer 2

এটা সঠিক. এটি নিম্নলিখিত হিসাবে একই: শ্বরের উপস্থিতি থাকলে ধ্রুবক কার্য x ↦ 0 হতে f ( x ) এবং গডের অস্তিত্ব না থাকলে x ↦ 1 নির্ধারণ করুন। ফলস্বরূপ ফাংশন একটি ধ্রুবক ফাংশন, এইভাবে গণনাযোগ্য। আপনি যা করতে পারবেন না তা হ'ল সেই ফাংশনটি দেওয়া, তবে ফাংশনটি নিজেই গণনাযোগ্য।$f(x)$$x \mapsto 0$$x \mapsto 1$

এখানে, দুটি সম্ভাবনার মধ্যে একটি সত্য: হয় এরকম একটি বিদ্যমান আছে , বা এটি নেই। ফাংশনটি হয় ধ্রুবক ফাংশন x ↦ 1 বা একটি সাধারণ থ্রোসোল্ড ফাংশন, এম দিয়ে সংজ্ঞায়িত হয় ।$m$$x \mapsto 1$$m$

Comments

আমি "God শ্বর উপস্থিত থাকলে" সাথে প্রতিস্থাপন করব । :)$P \neq NP$

— কাভেহ

ঠিক আছে, ভুল বোঝাবুঝির জন্য দুঃখিত, আমি প্রমাণটির অ-গঠনমূলকতায় সমস্যা করছি না। সমস্যা আমার আছে যে আমরা (বা অন্তত আমি) জানি না হয় বা গণনীয় নয়। কেন এটি প্রমাণ করার দরকার নেই? $m$

— মাইক বি।

কোনও পূর্ণসংখ্যাটি গণনাযোগ্য কিনা তা নিয়ে কথা বলার অর্থ আসলেই আসে না। এম মান যাই হোক না কেন, একটি ট্যুরিং মেশিন রয়েছে যা এটি আউটপুট করে। এটি খুঁজে পাওয়া অবশ্যই কঠিন হতে পারে, তবে এটি সাধারণ পরিস্থিতি থেকে এতটা আলাদা নয়: অ্যালগরিদমগুলি খুঁজে পাওয়া শক্ত, যা আমাদের অনেককেই নিযুক্ত করে রাখে।

— অ্যারন রথ

আমি এখনও এটি পাই না। কি টুরিং মেশিন সম্ভবত এই মিটার আউটপুট করতে পারে? কেবল এটি দেখানো হবে না যে π তে উপস্থিত হয় , এর চেয়ে বেশি এটি যাচাই করতে হবে যে 0 মি + 1 হয় না - এবং এটি সমস্যা আইএমও। $0^m$$\pi$$0^{m+1}$

— মাইক বি

আপনি যে গঠনমূলক পদ্ধতিতে কথা বলছেন এটি এটি। যদি আমি আপনি যে আউটপুট যেমন একটি একটি মেশিন দিতে , এটা দরকার নেই করার পর রান যে এই অধিকার মি , যেমন এটা যেমন একটি outputing জন্য মেশিন মি (অবশ্য একটি অন্তত মেশিন)। এটি God'sশ্বরের উদাহরণের মতোই (যা বিটিডাব্লু সিপসার থেকে আসে): যদি মেশিনটি 0 আউটপুট দেয় তবে আপনাকে বিশ্বাস করার দরকার নেই যে Godশ্বরের অস্তিত্ব নেই। এটা ঠিক কেস। $m$$m$$m$$0$

— মিশাল ক্যাডিলহ্যাক

Answer 3

আমি মনে করি - এবং আশা করি - প্রতিটি কম্পিউটার বিজ্ঞানের শিক্ষার্থী এই সমস্যার মুখোমুখি হন যা একটি প্যারাডক্সনের মতো মনে হয়। এটি টিসিএস অর্থে গণনীয় এবং ব্যবহারিক অর্থে গণনীয় পার্থক্যের জন্য খুব ভাল উদাহরণ।

আমার চিন্তাভাবনাগুলি তখন ছিল: "হ্যাঁ, আমি যদি উত্তরটি জানতাম তবে তা অবশ্যই গণনাযোগ্য হবে But তবে কীভাবে এটি সন্ধান করব?" কৌতুক বিভ্রম থেকে নিজেকে পরিত্রাণ খাসি আপনি খুঁজে বের করতে হবে যে এই সম্পত্তি আছে বা নেই। এই কারণে অবশ্যই (পড়া: এই প্রোগ্রামটিতে), একটি টুরিং মেশিন দ্বারা সম্পন্ন করা যাবে না (যতদিন চেয়ে আমরা যে বিষয়ে আছে আমরা আরো জ্ঞান না থাকে যেমন π )।$\pi$$\pi$

Computability জন্য আপনার সংজ্ঞা বিবেচনা করুন: আমরা বলতে আছে (Turing-) গণনীয় যদি এবং কেবল যদি ∃ এম ∈ টি এম : চ এম = চ । এটি আপনাকে কেবল একটি উপযুক্ত টিউরিং মেশিনের অস্তিত্ব দেখাতে হবে , একটি দেবে না । আপনি - আমরা - সেখানে যা করার চেষ্টা করব তা হল টিউরিং মেশিনটি গণনা করা যা প্রয়োজনীয় ফাংশনটি গণনা করে। এটি একটি উপায় কঠিন সমস্যা!$f$$\exists M \in TM : f_M = f$

প্রমাণটির মূল ধারণাটি হ'ল: আমি আপনাকে একটি অসীম শ্রেণির ফাংশন দিচ্ছি, সেগুলি সমস্ত গণনীয় (দেখানোর জন্য; এখানে তুচ্ছ)। আমি তখন প্রমাণ করি যে আপনি যে ফাংশনটির সন্ধান করছেন তা সেই শ্রেণিতে রয়েছে (দেখানোর জন্য; এখানে কেস পার্থক্য)। Qed

Answer 4

হ্যাঁ, ঠিক আছে, এটি গণনাযোগ্য। সমস্যাটি হ'ল আপনার ফাংশনটি সমস্যাগুলির একটি অসীম পরিবারটির সমাধানের সমাধান করছে না, যেভাবে থামানো সমস্যার সমাধানের জন্য কোনও ফাংশন গণনা করা হচ্ছে - তাই গণনা সম্পর্কে কোনও সমস্যা নেই। পরিবর্তে, আপনি সীমাবদ্ধ প্রতিনিধিত্ব সহ কিছু একক গাণিতিক সত্যকে ফাংশন-ফর্মের মধ্যে প্রতিনিধিত্ব করছেন - হয় কোনও পূর্ণসংখ্যা, বা সত্য যে ক্রমাগত 1 ক্রিয়া হয়

$\Omega$

অবশ্যই সঠিক অ্যালগরিদম সন্ধান করা একটি কঠিন সমস্যা হতে পারে। তবে সঠিক অ্যালগরিদম সন্ধান করা সাধারণত কঠিন!

Answer 5

কিছুটা পুরাতন পোস্ট করুন, তবে অন্য উত্তর পোস্ট করতে চেয়েছিলেন।

এটি গণনাযোগ্যতার একটি অ-গঠনমূলক প্রমাণ (বা যুক্তি)। এটি কেবলমাত্র বলে যে ফাংশনটি অবশ্যই কিছু অর্থে বিদ্যমান থাকতে পারে যেহেতু আমি এটি গণনাযোগ্য ফাংশনের সেটে (বা মহাবিশ্বের) উপস্থাপন করতে পারি (বা আরও সঠিকভাবে এটি সূচক)। তবে এটি মেশিনটি নিজেই তৈরি করে না (যেমন অ্যালগোরিদম), বা সূচকটি (গণনাযোগ্য মেশিনগুলির একটি কার্যকর গণনা ধরে)। " থ্যাঙ্কস থিং থিং থু থিং" এর ইংরেজি বাক্যাংশটি এই ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলির মতো সবচেয়ে উপযুক্ত বলে মনে হয়:

-- Look, I proved there is water somewhere! 

Now you can be happy, while dying from thirst!

গণিতের ইতিহাসের লোকেরা প্রকৃত বৈধতা (বা বৈধতার পরিসর) এবং এই জাতীয় যুক্তিগুলির অর্থের বিষয়ে বেশ কিছুটা তর্ক করেছিলেন। শেষ ফলাফলটি হ'ল একই ধরণের যুক্তি গোয়েদেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদিতে পুনরায় উপস্থিত হয় এবং এই "বদ্ধ মহাবিশ্ব অনুমান" এর বিরুদ্ধে পরিণত হয় ।

আপনি যদি এই যুক্তিগুলি এত পছন্দ না করেন তবে আমি আপনাকে দোষ দেব না।