কোনও ম্যাট্রিকের সেটের স্প্যানটিতে ক্রমুয়েশন ম্যাট্রিক্স রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য কি বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে?

আমি একটি বহুবর্ষীয় সময়ের অ্যালগরিদম সন্ধান করতে চাই যা নির্ধারিত ম্যাট্রিকের সেটের স্প্যানটিতে ক্রমুয়েশন ম্যাট্রিক্স রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করে।

যদি কেউ জানেন যে এই সমস্যাটি কোনও জটিল জটিল শ্রেণীর কিনা, তবে এটি ঠিক তেমন সহায়ক।

সম্পাদনা: আমি লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের সাথে এই প্রশ্নটি ট্যাগ করেছি, কারণ আমার দৃ strong় সন্দেহ আছে যে যদি এই জাতীয় সমাধানটি বিদ্যমান থাকে তবে এটি এক ধরণের লিনিয়ার প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদম হতে পারে। আমার বিশ্বাস করার কারণটি হ'ল বীরখফ পলিটোপের চূড়ান্ত পয়েন্টগুলি হ'ল যথাক্রমে ক্রমুয়েশন ম্যাট্রিক্স। আপনি যদি কেবলমাত্র বিরখফ পলিটপের শীর্ষে বা সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন কোনও উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটি খুঁজে পেতে পারেন তবে আপনি নিজের ফাংশনটি পলিটোপ এবং আপনার ভেক্টর উপসর্গের ছেদ করতে সীমাবদ্ধ রাখতে পারেন, তবে বহুগুণে এটি সর্বোচ্চ করুন। যদি এই মানটি একটি ক্রমবর্ধমান ম্যাট্রিক্স হয়, তবে আপনি জানতেন যে সেটটিতে একটি অনুচ্ছেদ রয়েছে। সেগুলি এই বিষয়টিতে আমার চিন্তাভাবনা।

সম্পাদনা 2: আরো কিছু চিন্তার পর আমার মনে হচ্ছে যে বিন্যাস ম্যাট্রিক্স ইউক্লিডিয় আদর্শ সঙ্গে Birkhoff Polytope এর অবিকল উপাদান $\sqrt{n}$ , আমরা বীরখফ পলিটোপকে $n \times n$ অনুক্রমের ম্যাট্রিক্সেরউত্তল হাল হিসাবে বিবেচনা করি। সম্ভবত এটিও তাৎপর্যপূর্ণ হতে পারে।

সম্পাদনা 3: আমি সেমিডেফিনাইট প্রোগ্রামিং ট্যাগ যুক্ত করেছি, কারণ আমার পূর্ববর্তী মন্তব্যের পরে, আমি ভাবতে শুরু করেছি যে এটি এখন একটি রৈখিকভাবে সীমাবদ্ধ চতুর্ভুজ অপ্টিমাইজেশান অ্যালগরিদম হওয়ায় একটি সেমিডেফিনাইট প্রোগ্রামিং সমাধান সম্ভব হতে পারে।

— শুভক্ষণ
সূত্র

ইনপুট ম্যাট্রিকগুলিতে কোন ধরণের এন্ট্রি থাকবে?

$\;$

এন্ট্রিগুলি যে কোনও ক্ষেত্রে থাকতে পারে, ম্যাট্রিকগুলি সেটআপ করার ক্ষেত্রে কিছুটা স্বাধীনতা রয়েছে; তবে, আপনি যথেষ্ট পরিমাণে বড় ক্ষেত্র চান (সুতরাং বৈশিষ্ট্য 2 এর ক্ষেত্র উদাহরণের জন্য ভাল হবে না)।

— নিক

একটি সেট ম্যাট্রিক্সের স্প্যান কি তা ব্যাখ্যা করতে পারেন?

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তি

মোহাম্মদ: আমি মনে করি এটি ম্যাট্রিক্সের সেটগুলির একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণ।

— বিবেক বাগেরিয়া

@ ডেভিডরিচর্বি আমি মনে করি যে মোহাম্মদের বিভ্রান্তি এ থেকে এসেছে যে সাধারণত আমরা ম্যাট্রিককে লিনিয়ার মানচিত্রের প্রতিনিধিত্বকারী হিসাবে মনে করি এবং লিনিয়ার মানচিত্রের স্প্যানটি মাঝে মাঝে এর পরিসরের জন্য অন্য শব্দ হিসাবে ব্যবহৃত হয়। তবে এটি এখানে অর্থবোধ করে না, তাই আমি অনুমান করি আমরা ম্যাট্রিককে ভেক্টর স্পেসের উপাদান হিসাবে

— ভাবব

উত্তর:

উপপাদ্য। পোস্টটিতে সমস্যাটি এনপি-হার্ড, সাবসেট-সম থেকে হ্রাস করে।

অবশ্যই এটি অনুসরণ করে যে অপটির দ্বারা অনুরোধ হিসাবে সমস্যাটির বহু-সময়ের অ্যালগরিদম হওয়ার সম্ভাবনা নেই।

এখানে অন্তর্দৃষ্টি পোস্টে সমস্যাটি হচ্ছে

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের সেটটিতে স্পেসে ক্রমুয়েশন ম্যাট্রিক্স রয়েছে কি?

এটি মূলত একই

এমন কি কোনও অনুক্রমের ম্যাট্রিক্স রয়েছে যা (ভেক্টর হিসাবে ম্যাট্রিক্সের চিন্তাভাবনা) প্রদত্ত কিছু লিনিয়ার সীমাবদ্ধতাগুলি পূরণ করে?

এটিও একই রকম the

একটি নিখুঁত মিল আছে (একটি সম্পূর্ণ দ্বিপক্ষীয় গ্রাফে) যার ঘটনা ভেক্টর কিছু প্রদত্ত রৈখিক বাধা সন্তুষ্ট করে?

দ্বিতীয় সমস্যাটির সাবসেট-সমষ্টি হ্রাস করা একটি স্ট্যান্ডার্ড অনুশীলন।

বিস্তারিত প্রমাণ এখানে।

নিম্নলিখিত মধ্যবর্তী সমস্যা সংজ্ঞায়িত করুন:

সমন্বয়-যোগফল:

ইনপুট: সম্পূর্ণ, দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্য প্রান্তের ওজন এবং অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্য টার্গেট । $G=(U,V,E)$ $T$

আউটপুট: নেই ওজন ঠিক একটি নিখুঁত ম্যাচিং ধারণ ? $G$ $T$

লেমা ঘ । সাবসেট-সামের পলি-টাইম ম্যাচিং-সমে হ্রাস পায়।

এটি প্রমাণ করা একটি স্ট্যান্ডার্ড হোমওয়ার্ক অনুশীলন। প্রমাণটি এখানে রয়েছে।

লেমা ২. ম্যাচিং-সামের বহু-সময় পোস্টে সমস্যা হ্রাস করে।

থিম 2. প্রমাণ ফিক্স একটি মানানসই-যোগফল ইনপুট: সম্পূর্ণ দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ অ নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা প্রান্ত ওজন সঙ্গে , এবং লক্ষ্য , যেখানে এবং । প্রত্যেকের জন্য $G=(U,V,E)$ $w:U\times V\rightarrow \mathbb{N}_+$ $T\in \mathbb{N}_+$ $U=\{u_1,\ldots,u_n\}$ $V=\{v_1, \ldots, v_n\}$ , নির্ধারণ মধ্যে ম্যাট্রিক্স হতে যেখানে , এবং $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ $M^{(ij)}$ $\mathbb{R}^{(n+1)\times (n+1)}$ $M^{(ij)}_{ij} = T$ , এবং অন্যান্য সমস্ত এন্ট্রি শূন্য। হ্রাস ম্যাট্রিক্সের নিম্নলিখিত সেট আউটপুট: এটি হ্রাসকে সংজ্ঞায়িত করে। $M^{(ij)}_{n+1,n+1}=w(u_i, v_j)$

{M^{(i j)} : i, j \in {1, \dots, n}} .

$\big\{M^{(ij)} : i,j\in\{1,\ldots,n\}\big\}.$

দাবি করুন। ম্যাট্রিক্সের এই সেট বিঘত ঐ ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত পরিতৃপ্ত রৈখিক সীমাবদ্ধতার সবার জন্য এবং লিনিয়ার সীমাবদ্ধতা $M \in\mathbb{R}^{(n+1)\times(n+1)}$ $M_{h,n+1} = M_{n+1,h} = 0$ $h\le n$

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} M_{i j} w (u_{i}, v_{j}) = T M_{n + 1, n + 1} .

$\textstyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij}\,w(u_i, v_j) = T\, M_{n+1,n+1}.$

( দাবির প্রুফ। পরিদর্শন প্রতিটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা সেট সন্তুষ্ট এই সীমাবদ্ধতার, তাই ঐ ম্যাট্রিক্সের যে রৈখিক সমন্বয় করে। বিপরীতভাবে, যদি সন্তুষ্ট সীমাবদ্ধতার , তারপরে লিনিয়ার সংমিশ্রণের সমান $M^{(ij)}$ $M\in\mathbb{R}^{(n+1) \times (n+1)}$ $M$ ম্যাট্রিক্স, যেখানে এর। বিশেষভাবে নোট করুন যে, বিভিন্ন সংজ্ঞা এবং লিনিয়ার সীমাবদ্ধতার দ্বারা, $M'=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} M^{(ij)}$ $\alpha_{ij} = M_{ij}/M^{(ij)}_{ij} = M_{ij}/T$ এটি দাবি প্রমাণ করে।)

M_{n + 1, n + 1}^{'} = \sum_{i j} α_{i j} w (u_{i}, v_{j}) = \sum_{i j} M_{i j} w (u_{i}, v_{j}) / T = (T M_{n + 1, n + 1}) / T = M_{n + 1, n + 1} .

$\textstyle M'_{n+1,n+1} = \sum_{ij} \alpha_{ij} w(u_i, v_j) = \sum_{ij} M_{ij} w(u_i, v_j)/T = (T\, M_{n+1,n+1})/T = M_{n+1,n+1}.$

এখন আমরা হ্রাস সঠিক দেখায়। অর্থাত , প্রদত্ত গ্রাফ এর একটি ওজন- মিলছে এবং কেবলমাত্র যদি ম্যাট্রিকের সেট একটি ক্রমুয়েশন ম্যাট্রিক্স বিস্তৃত হয়। $G$ $T$

$G$ $T$ $M'$ $M\in\{0,1\}^{(n+1)\times (n+1)}$ $n\times n$ $M_{n+1,n+1} = 1$ $M_{h,n+1}=M_{n+1,h}=0$ $h\le n$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij} w(u_i, v_j)$ $M'$ $T$ $M_{n+1,n+1}=1$ $M$

$M$ $n+1$ $n+1$ $M_{n+1,n+1}$ $M$ $M_{n+1,n+1} = 1$ $n\times n$ $M'$ $G$ $n\times n$ $M'$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij} w(u_i, v_j)$ $T M_{n+1,n+1} = T$ $T$ $~~\Box$

এখানে লেমায় 1 এর বিলম্বিত প্রমাণ:

$(w,T)\in\mathbb{N}^n_+ \times \mathbb{N}_+$ $(G=(U,V,E), T)$ $U=\{u_1, u_2, \ldots, u_{2n}\}$ $V=\{v_1, v_2, \ldots, v_{2n}\}$ $i\in\{1,\ldots,n\}$ $(u_i, v_i)$ $w_i$

$T$ $S=\{i : (u_i, v_i)\in M, i\le n\}$ $M$

$S\subseteq\{1,\ldots,n\}$ $\sum_{i\in S} w_i = T$ $\{(u_i, v_i) : i \in S\}$ $T$ $T$

{(u_{i + n}, v_{i + n}) : i \in S} \cup ⋃_{i \in {1, \dots, n} ∖ S} {(u_{i}, v_{i + n}), (u_{i + n}, v_{i})} .

$\{(u_{i+n}, v_{i+n}) : i\in S\} \cup \bigcup_{i\in\{1,\ldots,n\}\setminus S}\{(u_i, v_{i+n}), (u_{i+n}, v_{i})\}.$

$~~~\Box$

পিএস একদিকে যেমন, এই উত্তর অনুসারে , বহুবর্ষীয়-সীমিত প্রান্তের ওজনগুলির সাথে উদাহরণস্বরূপ ম্যাচিং-সামের সীমাবদ্ধতা পি in ) এন্ট্রি এনপি হার্ড থাকে।

— নিল ইয়াং
সূত্র

দেখে মনে হচ্ছে আপনি স্প্যানের পরিবর্তে ম্যাট্রিকগুলির উত্তল হাল নিয়েছেন। আপনার বর্ণিত ম্যাট্রিকের স্প্যানটি ম্যাট্রিক্সের পূর্ণ স্থান space নাকি আমি কিছু মিস করছি?

— ভেনেসা

@ স্পার্ক, আপনি সঠিক - আমি "স্প্যান" এর ভুল ব্যাখ্যা দিয়েছি। ধন্যবাদ। স্প্যানের সঠিক সংজ্ঞা (ম্যাট্রিকগুলির কোনও রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে) ব্যবহার করার জন্য আমি প্রমাণটি সংশোধন করেছি

— নিল ইয়ং

M^{(i j)}

$M^{(ij)}$

w (u_{i}, v_{j})

$w(u_i,v_j)$

শূন্য দ্বারা বিভাজক সম্পর্কে ভাল পয়েন্ট। আমি এটা ঠিক করব। আমি দুটি হ্রাস আলাদা রেখে দেব যদিও আমার জন্য এটি সেভাবে আরও স্বজ্ঞাত।

— নিল ইয়ং

$O(\sqrt{\log m})$ $m$

$P$ $P$ $-P$ $M$

\forall i^{*}, j^{*} : \sum_{i} M_{i j^{*}} = \sum_{j} M_{i^{*} j} = c

$\forall i^*, j^*: \sum_{i}{M_{ij^*}} = \sum_j{M_{i^*j}} = c$

\forall i, j : - 1 \leq M_{i j} \leq 1

$\forall i,j: -1 \leq M_{ij} \leq 1$

- 1 \leq c \leq 1

$-1 \leq c \leq 1$

যদি এটি সঠিক উপস্থাপনা হয় (নিশ্চিত নয়) তবে আপনি কেবলমাত্র সেই নির্দিষ্ট প্রতিবন্ধকতাগুলি যুক্ত করতে পারেন যা আপনার প্রদত্ত সাবসপেসে এই পলিটোপকে সীমাবদ্ধ করে। এই উপস্থাপনার সাথে লাইনের নীচে এসডিপিটি মানিয়ে নেওয়া শক্ত নয়, তবে স্বরলিপিটি পরিচালনাযোগ্য রাখার জন্য আমি এটির মধ্য দিয়ে যেতে পছন্দ করি না।

আমি নিশ্চিত না যে আপনার সমস্যাটির জন্য আনুমানিক ব্যাস কী করবে: এটি সম্ভবত আপনাকে সিদ্ধান্ত নিতে দেয় যে প্রদত্ত সাবস্পেসটি ক্রমুয়েশন ম্যাট্রিক্সের কাছাকাছি বা সেগুলি থেকে অনেক দূরে, তবে আমি গণনাগুলি কার্যকর করি নি।

$P = \{x: -b \leq Ax \leq b\}$ $A$ $m \times n$

$\alpha^2 = \max \sum_{i = 1}^n{\|v_i\|_2^2}$

বিষযে:

$\forall 1 \leq i \leq m: \|\sum_{j = 1}^n{A_{ij} v_j}\|_2^2 \leq b_i^2$

ডাইমেনশনাল ভেক্টরগুলির উপরে রেঞ্জের উপরে । এটি স্ট্যান্ডার্ড উপায়ে এসডিপি হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং এটি এর ব্যাসের শিথিলকরণ , অর্থাৎ কমপক্ষে ইউক্যালিডিয়ান ব্যাস । $v_i$ $n$ $P$ $\alpha$ $P$

আমি এখন দাবি করি যে । এই প্রদর্শন করার জন্য, আমি আপনি একটি অ্যালগরিদম দেব যে দেওয়া মান , আউটপুট দৈর্ঘ্যের কমপক্ষে । অ্যালগরিদমটি কেবল একটি এলোমেলো প্রক্ষেপণ: একটি এলোমেলো মাত্রিক ভেক্টর যেখানে প্রতিটি একটি আদর্শ গাউসিয়ান। সেট । গাউসিয়ানদের স্ট্যান্ডার্ড বৈশিষ্ট্য দ্বারা: $\alpha \leq O(\sqrt{\log m})\cdot \text{diam}(P)$ $(v_i)_{i=1}^n$ $\alpha$ $x \in P$ $\frac{\alpha}{O(\sqrt{\log m})}$ $n$ $g$ $g_i$ $\tilde{x}_i = g^T v_i$

E ‖ \tilde{x} ‖_{2}^{2} = α^{2}

$\mathbb{E}\ \|\tilde{x}\|_2^2 = \alpha^2$

\forall i \leq m : E | (A \tilde{x})_{i} |^{2} \leq b_{i}^{2} \Rightarrow E {max}_{i = 1}^{m} \frac{| (A \tilde{x})_{i} |}{b_{i}} \leq C \sqrt{\log m} .

$\forall i \leq m: \mathbb{E}\ |(A\tilde{x})_i|^2 \leq b_i^2 \ \ \Rightarrow \ \ \mathbb{E}\ \max_{i=1}^m{\frac{|(A\tilde{x})_i|}{b_i}} \leq C\sqrt{\log m}.$ যেখানে শেষ সীমাটি যথেষ্ট পরিমাণে বৃহত জন্য ধারণ করে (এটি সর্বাধিক সাবগ্যাসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্পর্কে মানক সত্য এবং এটি চেরনফ বাউন্ড ব্যবহার করে প্রমাণিত হতে পারে)।

C

$C$

m

$m$

দুটি সমীকরণ ইতিমধ্যে বোঝাচ্ছে একটি রয়েছে যা এবং । বা, ঘনত্বের সীমা ব্যবহার করে, আপনি স্থির সম্ভাবনার সাথে দেখাতে পারেন যে এবং । $x$ $x \in P$ $\|x\|_2^2 \geq \frac{1}{C\sqrt{\log m}}\alpha$ $\frac{1}{2C\sqrt{\log m}}\tilde{x} \in P$ $\|\tilde{x}\|_2\geq \frac{1}{2}\alpha$

— সাশো নিকোলভ
সূত্র