গাউয়ার্স "বোরেল নির্ধারিত সিদ্ধান্ত গ্রহণ" পদ্ধতির

গওয়ার্স সম্প্রতি একটি সমস্যার রূপরেখা দিয়েছেন , যাকে তিনি "বিযুক্ত বোরেল নির্ধারণী" বলেছেন, যার সমাধান সার্কিটের নিম্ন সীমানা প্রমাণ করার সাথে সম্পর্কিত।

জটিলতা তাত্ত্বিকদের দর্শকদের উপযোগী এমন পদ্ধতির সংক্ষিপ্তসারটি কি আপনি সরবরাহ করতে পারেন?
পরিচিত প্রান্তিককরণগুলি সুনির্দিষ্ট করে প্রমাণিত করার জন্য, এই পদ্ধতির কোনও প্রমাণ করতে কী লাগবে ?

cc.complexity-theory p-vs-np

— মনু
সূত্র

আপনি কি তার ব্লগে গাওয়ার্সকে জিজ্ঞাসা করেছিলেন?

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তি

@ ভিজেএন: আমি অবশ্যই বিশেষজ্ঞ নই, তবে বোরেল নির্ধারণের ক্ষেত্রে যুক্তির বিভিন্ন উপ-ক্ষেত্রগুলির সাথে খুব দৃ ties় সম্পর্ক রয়েছে, তাই এটি সিএসে প্রয়োগ করতে পারে এমন একটি অংশ বলে মনে হয় না। বাস্তবে বোরেল শ্রেণিবিন্যাস এবং বিশ্লেষণী সেটগুলির মধ্যে প্রত্যক্ষ যোগাযোগ রয়েছে, যা তারা নিজেরাই জটিলতা তত্ত্বের সময়ক্রমক্রমের উপপাদ্যের অ্যানালগ।

— কোডি

@ কোডি: আমি ভেবেছিলাম যে বিশ্লেষক সেটগুলি বহুবচনীয় স্তরবিন্যাসের (সময়ের স্তরক্রমের তত্ত্বের চেয়ে) প্রথম স্তরের (প্রথম স্তরের) অ্যানালগ ছিল।

— জোশুয়া গ্রাচো

কারসারি অনুসন্ধানের পরেও টিসিএসের ভিতরে আইডিয়াগুলির অনেক সংযোগ খুঁজে পাওয়া যায়নি তবে জিসিটি পয়েন্টের অংশ হিসাবে পছন্দ করতে পারে। গেম তত্ত্বের ভিত্তিতে এবং সেট / সার্কিটগুলিতে ম্যাপযুক্ত গেম পছন্দগুলির ধরণের মতো কিছু উল্লেখ করা উচিত। একটি রূপরেখা এবং "বিশ্লেষণ গাছ" সহ তার পরীক্ষামূলক "টিডলিস্পেস" তে প্রচুর পরিপূরক পদার্থ রয়েছে।

— vzn

কম্পিউটার সায়েন্স এবং বোরেলের সূক্ষ্ম কাঠামো

— দুপুরাক

আমাকে পদ্ধতির জন্য অনুপ্রেরণা সম্পর্কে আমার বোঝার একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ দিই। সতর্ক হোন যে আমি বোরেল নির্ধারণের ধারণার তুলনায় মোটামুটি নতুন, এবং সেট তত্ত্বের কোনও বিশেষজ্ঞই নই। সব ভুল আমার। এছাড়াও আমি নিশ্চিত নই যে এগুলি পড়া গওয়ার্সের পোস্টগুলি পড়ার চেয়ে অনেক ভাল।

আমি মনে করি গওয়ার্সের মনে যা আছে তা বোরেল নির্ধারণের উপপাদ্যের চূড়ান্ত অ্যানালগ নয়, তবে নিম্নলিখিতগুলির একটি চূড়ান্ত অ্যানালগ রয়েছে: বোরেল নির্ধারণটি জেডএফসি থেকে অনুসরণ করে, যখন বিশ্লেষণমূলক গেমগুলির নির্ধারণের জন্য (প্রয়োজনীয়ভাবে) পরিমাপযোগ্য কার্ডিনালগুলির অস্তিত্ব প্রয়োজন। আমরা কী গেমগুলির বিষয়ে এবং বোরেল নির্ধারণ কী তা সম্পর্কে খুব সংক্ষেপে বর্ণনা করব এবং তারপরে আমি এটিকে নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করার পদ্ধতির সাথে যুক্ত করব। অত্যন্ত উচ্চ-স্তরের ধারণাটি সম্পত্তি হিসাবে বিবেচনা করা হয় "বোরেল নির্ধারণের প্রমাণের একটি চূড়ান্ত এনালগকে কাজ করার অনুমতি দেয়" এমন সম্পত্তি হিসাবে যা পি-পলিকে এনপি থেকে আলাদা করতে পারে।

আমরা এমন খেলাগুলির কথা ভাবি যেখানে দু'জন খেলোয়াড় পূর্ণসংখ্যায় "খেল" হয়। খেলাটি চিরতরে চলে, তাই তারা ক্রম । গেমটি একটি বিজয়ী সেট (অর্থাত ক্রমগুলির একটি সেট) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় । যদি তবে আমি প্লেয়ার জিতি, অন্যথায় প্লেয়ার II জিততে পারে। $x= x_1, x_2, \ldots$ $A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$ $x \in A$

গেমটি নির্ধারিত হয় যদি খেলোয়াড় আমি বা প্লেয়ার ২ য় খেলোয়াড়ের একটি বিজয়ী কৌশল থাকে: এখন পর্যন্ত খেলার উপর ভিত্তি করে পরবর্তী পদক্ষেপের সিদ্ধান্ত নেওয়ার উপায় যা জয়ের নিশ্চয়তা দেয়। সমস্ত গেমগুলি নির্ধারিত কিনা তা সেট তত্ত্বের ভিত্তির সাথে অন্তরঙ্গ সংযোগ স্থাপনে পরিণত হয় (তারা যদি আপনি পছন্দের অক্ষরে বিশ্বাস করেন তবে)। যাই হোক, কখন আসলে গেম নির্ধারিত হয় এক সহজ উদাহরণ যখন উপর পণ্য টপোলজি খোলা আছে , যা বলছে এর অভিনব উপায় যে সদস্য পদ শুধুমাত্র উপাদানের একটি সসীম সংখ্যার উপর ভিত্তি করে সিদ্ধান্ত নিয়েছে যাবে $A$ $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ $x \in A$ $x$ । উদাহরণস্বরূপ, কোন খেলোয়াড়ের মধ্যে আমি জয়ী সে যদি খেলতে পারে তবে সে যদি প্রথমবারের মতো একটি সংখ্যার খোলার থাকে। নির্ধারিত গেম আরেকটি সহজ উদাহরণ বদ্ধ গেম, অর্থাত গেম কোথায় একটি সসীম subsequence উপর ভিত্তি করে সিদ্ধান্ত নিয়েছে যাবে । বন্ধ গেমগুলি খেলোয়াড়দের উল্টানো ভূমিকাগুলির সাথে খোলা গেমস। $x \not \in A$ $x$

এখন আমরা বোরেল নির্ধারণে আসতে পারি এবং ঠিক পরে আমি এটিকে সার্কিট এবং জটিলতার সাথে বেঁধে রাখার চেষ্টা করব। একটি বোরেল সেট এমন একটি সেট যা বারবার গণনাযোগ্য সংখ্যক ইউনিয়ন এবং ছেদগুলি প্রয়োগ করে খোলা এবং বন্ধ সেট থেকে প্রাপ্ত হতে পারে। আপনার উন্মুক্ত এবং বদ্ধ সেটগুলি আপনার প্রাথমিক সেট হিসাবে এবং প্রতিটি স্তরের "ছোট" (= গণনাযোগ্য) সংখ্যক সাধারণ ক্রিয়াকলাপের কয়েকটি স্তরের ব্যবহার করে বেসিক সেট থেকে প্রাপ্ত বোরেল সেটগুলি ভাবা উচিত। দেখা যাচ্ছে যে আপনি জেডএফসিতে প্রমাণ করতে পারবেন যে বোরেল সেটগুলি নির্ধারিত, এবং একটি সুনির্দিষ্ট ধারণা রয়েছে যাতে এটি আপনি সবচেয়ে ভাল করতে পারেন।

গাওয়ার্স এখানে যে উপমাটি আঁকছেন বলে মনে করি তা হল বোরেল সেটগুলি ছোট সার্কিটের মতো। সসীম বিশ্বে আমরা হাইপারকিউব দ্বারা "মহাবিশ্ব" প্রতিস্থাপন করি । আমাদের মৌলিক সেট ঘনক্ষেত্র এর মতকে হয়ে নিন: জন্য ; এই লিটারেল হয় সমতুল্য এবং $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ $\{0,1\}^n$ $\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$ $b \in \{0,1\}$ $x_i$ $\bar{x}_i$ । আপনি যেমন এবং সেটের ইউনিয়ন এবং ছেদগুলি হিসাবে আক্ষরিক এর ও ওআর লিখতে পারেন। সুতরাং, বুলিয়ান ফাংশনগুলির জন্য , ইউনিয়নগুলির বাইরে উত্পাদন করতে সক্ষম এবং মৌলিক সেটগুলির ছেদগুলি জন্য একটি আকারের সার্কিট থাকার সমতুল্য । $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ $f^{-1}(1)$ $s$ $s$ $f$

আমি বিশ্লেষণী সেট সম্পর্কে একটি শব্দ নিক্ষেপ করা যাক। একটি বিশ্লেষণমূলক সেট একটি Borel সেটের একটি অভিক্ষেপ: যদি একটি Borel সেট হয় তাহলে বিশ্লেষণমূলক হয়। বোরেল সেট এবং ছোট সার্কিট জটিলতার ফাংশনগুলির মধ্যে আমাদের চিঠিপত্রের দ্বারা বিশ্লেষণী সেটগুলি এনপি / পলির মতো। $S \subseteq X \times Y$ $T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

এখন তিনি বড় সার্কিট জটিলতার কার্যাবলী থেকে ছোট সার্কিট জটিলতার ক্রিয়াকলাপগুলি পৃথক করার জন্য একটি সম্পত্তি (রাজবরোভ-রুডিচ অর্থে) নিয়ে আসা বোরেল দৃ determin়তার প্রমাণ থেকে অনুপ্রেরণা আঁকেন। অবশ্যই আশা করা যায় যে সম্পত্তি প্রাকৃতিক প্রমাণ বাধা এড়ায়।

বোরেল নির্ধারণের মার্টিনের প্রমাণটি একটি ধারণাগতভাবে খুব ঝরঝরে দৃষ্টিভঙ্গি ব্যবহার করে: মার্টিন দেখায় যে প্রতিটি বোরেল গেম একটি মানচিত্রের আওতায় খোলা (আসলে ক্লোপেন) গেমের চিত্র যাতে $\pi$ $\pi$ বিজয়ী কৌশলগুলি সংরক্ষণ করে - আসুন একে "লিফট" বলি। সুতরাং মার্টিন যা দেখায় তা হ'ল প্রতিটি বোরেল গেমটি এমন একটি গেমের প্রতিচ্ছবি যেখানে বিজয়ী সেটটি একটি বেসিক সেট। যেহেতু উন্মুক্ত গেমগুলি সহজেই নির্ধারিত হতে দেখা যায়, এটি বোরেল নির্ধারণকে প্রমাণ করে। প্রমাণটি প্ররোচনামূলক, সাথে বেস কেসটি দেখায় যে বন্ধ গেমগুলি তোলা যায়। গুরুত্বপূর্ণ অংশটি হ'ল প্রবর্তনের প্রতিটি পদক্ষেপ মহাবিশ্বকে "ফুঁক দেয়": বোরেল সেট নির্মাণের এক স্তর থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য একটি মহাবিশ্বের উপর একটি গেমের জন্য একটি খেলা উত্তোলন করা প্রয়োজন যা মূলত আসল গেমের মহাবিশ্বের শক্তি সেট is । আকর্ষণীয়ভাবে, এটি অনিবার্য: বোরেল সেটগুলিকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য আরও স্তরের প্রয়োজন কেবল কেবল বৃহত্তর মহাবিশ্বের উপরের গেমগুলিতে তোলা যেতে পারে। বিশ্লেষণী সেটগুলিতে এমন বিশাল ইউনিভার্স প্রয়োজন যা তাদের অস্তিত্বের জন্য বৃহত কার্ডিনাল অ্যাক্সিয়ামগুলির প্রয়োজন হয়।

এ থেকে অনুপ্রেরণা আঁকতে, গোয়ারস এমন একটি গেমটি তৈরি করে যাতে খেলোয়াড় প্রথম এবং খেলোয়াড়কে যৌথভাবে কিছু নির্দিষ্ট করতে হবে ; খেলোয়াড় আমি জিতেছি যদি , অন্যথায় প্লেয়ার II জিততে পারে। খেলোয়াড় আমি স্থানাঙ্কের প্রথমার্ধ এবং দ্বিতীয়ার্ধের দ্বিতীয়টি নির্দিষ্ট করতে পারি। স্বজ্ঞা এখন যে সহজ সংশ্লিষ্ট গেম , অর্থাত্ ছোট সার্কিট জটিলতা সঙ্গে, একটি অপেক্ষাকৃত ছোট মহাবিশ্ব করার জন্য একটি মার্টিন-শৈলী লিফট অনুমতি থাকবে, ঠিক Borel গেম না। অন্যদিকে এলোমেলো জন্য দ্বিগুণ ক্ষতিকারক আকারের মহাবিশ্বের প্রয়োজন হবে এবং আশা করা যায় যে এনপি-হার্ড উচিত, কারণ তারা বিশ্লেষণমূলক খেলাগুলির সাথে মিল রাখে। $x$ $f(x) = 1$ $f$ $f$ $f$ $f$

মার্টিন-স্টাইলের লিফট কী তা সম্পর্কে আমাকে আরও কিছুটা কংক্রিট হতে দিন তবে প্রযুক্তিগত সংজ্ঞাগুলির জন্য গওয়ার্সের পোস্টগুলি পরীক্ষা করে দেখুন। একটি মার্টিন-স্টাইল (গাওয়ার্সের পরিভাষায়, "রামসে") লিফট এমন কিছু গেমের জন্য লিফট যা কিছু স্থানাঙ্ক দ্বারা সমন্বয় করে, যেখানে মহাবিশ্ব এবং সম্ভাব্য চেয়ে বড় , তবে এখন বিজয়ী শর্তটি খুব সহজ: প্লেয়ার I বা II জিতবে কিনা তা একক স্থানাঙ্কের মানের ভিত্তিতে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয় । মার্টিনের প্রমাণ হিসাবে, একটি লিফ্ট অবশ্যই বিজয়ী কৌশলগুলি সংরক্ষণ করে। $y \in U$ $U$ $2^n$ $y$

প্রাকৃতিক প্রমাণ বাধা এড়তে পারে এই আশা এই সম্পত্তিটির "মার্টিন স্টাইলে একটি ছোট মহাবিশ্বে লিফট রয়েছে" এই অনুমিতির উপর ভিত্তি করে সম্ভবত গণনা করা সহজ নয়। তবে এই মুহুর্তে এটি পরিষ্কার নয় যে প্যারিটি ফাংশনটির একটি ছোট মহাবিশ্বের তুলনা রয়েছে। আমি উদ্বিগ্ন যে বোরেল সেটগুলির উপযুক্ত উপমাটি AC0 এ ফাংশন হতে পারে : সমতা জন্য একটি ছোট লিফ্ট সন্ধান করা কমপক্ষে সেই উদ্বেগকে বিশ্রামে রাখবে। $f$

— সাশো নিকোলভ
সূত্র

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

ধন্যবাদ @ জোশ! স্পষ্টতই এই উপমাটি প্রমাণের পিছনে একটি স্বজ্ঞাত ছিল যে সমতা AC0 তে নেই।

— সাশো নিকোলভ