গ্রাফ আইসোমরফিজম সমস্যার জন্য একটি কোপা-বহু-কালীন অ্যালগরিদমের ফলাফল

গ্রাফ Isomorphism সমস্যা (জি আই) তর্কসাপেক্ষে একটি জন্য শ্রেষ্ঠ পরিচিত প্রার্থী দ্বারা NP-মধ্যবর্তী সমস্যা। সব থেকে বহুল পরিচিত অ্যালগরিদম রান সময়ের সাথে সাথে উপ-সূচকীয় আলগোরিদিম । জানা গেছে যে শ্রেণিবিন্যাসের পতন না হলে জিআই সম্পূর্ণ নয় । $2^{O(\sqrt{n \log n})}$ $\mathsf{NP}$

গ্রাফ আইসোমরফিজম সমস্যার জন্য আধ-বহু-কালীন অ্যালগরিদমের জটিলতা তাত্ত্বিক পরিণতি কী হবে?
জিআই-র জন্য একটি আধা-বহু-কালীন অ্যালগরিদম জটিলতা তত্ত্বের কোনও বিখ্যাত অনুমানকে খণ্ডন করবে?

টুর্নামেন্টসের সমস্যা হিসাবে ন্যূনতম ডমিনেটিং সেট, গ্রুপ আইসোমর্ফিজম সমস্যা, এবং টুর্নামেন্ট আইসোমর্ফিজম সমস্যার মতো অন্যান্য অনুরূপ সমস্যার মধ্যে কোয়াশি-পলিনোমিয়াল টাইম ( কিউপি ) অ্যালগোরিদম রয়েছে। পরবর্তী দুটি সমস্যা হ'ল বহু-কালীন সময়ে জিআই-তে হ্রাসযোগ্য।

আমরা কী দক্ষতার সাথে জিআই-তে টুর্নামেন্টসের সমস্যা ন্যূনতম আধিপত্য সেট কমিয়ে দিতে পারি?
জিআই কিউপি'র পক্ষে শক্ত হয়ে পড়েছে এমন কোন অনুমানের রায় দেওয়া হচ্ছে?

আপডেট (২০১-12-১২-১)) : বাবাই জিআইয়ের জন্য তাঁর কোসিপোলিওনামিয়াল-টাইম অ্যালগরিদমের জন্য আরএক্সিবের একটি প্রাথমিক খসড়া কাগজ পোস্ট করেছেন ।

আপডেট (2017-01-04) : বাবাই দাবিটি প্রত্যাহার করে নিল যে অ্যালগরিদমটি ক্যাসিপোলিমনোমিয়াল সময়ে রয়েছে, নতুন বিশ্লেষণ অনুসারে অ্যালগরিদমটি সুস্পষ্ট এক্সটেনশিয়াল সময়ে রয়েছে টিল্ডে q স্ক্রিট যা ভিতরে। $\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))$ $2^{n^{o(1)}}$

আপডেট (2017-01-09) : বাবাই আপত্তিজনক পদ্ধতিটিকে আরও দক্ষতার সাথে প্রতিস্থাপন করে কোয়াশিপলিনোমিয়াল সময় দাবি পুনরুদ্ধার করে।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি
সূত্র

আমি মনে করি অনেক লোকের মনে হয় এটির বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে এবং এএফএইকে এই জাতীয় অ্যালগরিদমের কোনও জটিলতা তাত্ত্বিক পরিণতি হবে না।

— হকের বেনেট

এটি আপনি যা চেয়েছিলেন তা পুরোপুরি নয়, তবে এটি আমার পক্ষে সবচেয়ে ভাল: গ্রুপ আইসোমর্ফিিজমের একটি প্রাকৃতিক এবং সহজ পরিমাণ-বহু-কাল-অ্যালগরিদম রয়েছে তবে জিআই থেকে কোনও হ্রাস পাওয়ার সম্ভাবনা নেই গ্রুপআইএসো: eccc.hpi-web.de/report/2010/117 । আপনি যা জিজ্ঞাসা করছেন তার চেয়ে একটি আনুষ্ঠানিকভাবে সহজ প্রশ্ন, তবে এখনও বিস্তৃত উন্মুক্ত, এটি প্রমাণ করে যে জিআই থেকে গ্রুপআইএসওতে পলি-টাইম হ্রাস নেই।

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— জোশুয়া গ্রাচো

দুই বছর পরে আমি বিশ্বাস করি আমাদের একটি উত্তর আছে। লাসজলো বাবাই প্রমাণ করেছেন যে জিআইয়ের একটি আধিক্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে। সূত্র: lucatrevisan.wordpress.com/2015/11/03/…

— ব্যবহারকারী 3415207

@ ব্যবহারকারী 3415207 বাবাই কোসিপোলিওনামিয়াল রানটাইমের দাবি ফিরিয়ে নিয়েছেন । সম্ভবত বিশ্লেষণে একটি ত্রুটি ছিল।

— রাফেল

@ রাফেল ... এবং বাবাই তার দাবিটি পুনরুদ্ধার করলেন (আপনার একই লিঙ্কটি)।

— ড্যানি

উত্তর:

আমি যতদূর বলতে পারি, জিআই কিউপি-তে থাকা নিছক সত্যের (ব্ল্যাক বক্স হিসাবে) পরিণতি সম্পর্কে আপনি যদি সহজভাবে জিজ্ঞাসা করেন তবে আমি মনে করি উত্তরটি খুব কম। আমি যে জিনিসটি ভাবতে পারি, এটি কোন উপপাদ্য নয় বরং গবেষণার দিকনির্দেশগুলির একটি পরিণতি, গ্রুপ আইসোমর্ফিজমের কাছে। যেহেতু গ্রুপআইএসও জিআই-তে হ্রাস পেয়েছে এবং আমরা এমনকি গ্রুপআইসো পি-তে রয়েছে তাও জানি না, গ্রুপআইসোকে পি-তে রাখা জি-তে পি-তে রাখার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ বাধা হিসাবে দেখা যেতে পারে (যদি আপনি মনে করেন যে পরবর্তী ঘটনাটি হতে পারে)।

তবে, গ্রুপআইসোর জন্য তুচ্ছ আলগোরিদিম যেহেতু is, যখন জিআইয়ের জটিলতা il টিল্ডে q স্ক্রিট at এ ছিল, তখন আমাদের দীর্ঘ ছিল গ্রুপআইও পিআই-তে জিআই স্থাপনের তাত্ক্ষণিকভাবে প্রাসঙ্গিক বাধা হয়ে ওঠার আগে জিআইয়ের জটিলতার উন্নতি করার উপায় But তবে জিআই যদি কিউপি তে থাকে, তবে গ্রুপআইও জিআই-তে আরও উন্নতির ক্ষেত্রে আরও প্রাসঙ্গিক বাধা হয়ে দাঁড়ায়। (অবশ্যই, কোয়াসিপাল-বহুত্ববস্থায় সূচকটির সূচকটি এখনও একটি সম্ভাব্য প্রাসঙ্গিক ফাঁক, তবে জিআই যখন কিউপি তে থাকে তখন ব্যবধানটি অনেক ছোট হয়)) $n^{\log n + O(1)}$ $2^{\tilde O(\sqrt{n})}$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

এটি প্রদর্শিত হয় যে আমরা প্রজেক্টিভ প্লেনগুলির আইসোমরফিজম ( ) পরীক্ষার অনেক দুর্বল উপরের গণ্ডিতে উন্নতি করতে সক্ষম নই । দেখুন cstheory.stackexchange.com/questions/34773/…

n^{O (\log \log n)}

$n^{O(\log \log n)}$

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

@ মোহাম্মদআল-তুর্কিস্তানি: হ্যাঁ, তবে তারপরে আমার একই যুক্তি প্রযোজ্য: জিআই যদি বিস্মৃতিতে "উপায়" অবলম্বন করে থাকে তবে প্রজপ্ল্যানেইও পিআই-তে জিআই স্থাপনের ক্ষেত্রে বাধা হওয়ার থেকে খুব দূরে G একবার জিআই সময় নে কিছু জন্য ,, তারপরে প্রোজপ্লেনআইস একটি প্রাসঙ্গিক বাধা হয়ে উঠবে। সুতরাং, এই মুহুর্তে, দেখে মনে হবে গ্রুপিও আরও তাত্ক্ষণিক বাধা - সম্ভবত কোনও দিন প্রোজপ্ল্যানেও হবেন ...

n^{O (\log \log n)^{c}}

$n^{O(\log \log n)^c}$

c

$c$

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া গ্রাচো আপনি কি আমার সাথে একমত হবেন যে গ্রুপ ও কালার আইসোমর্ফিজম সমস্যাগুলিতে ফ্রান্সোইস লে গ্যাল এবং ডেভিড জে রোজেনবাউমের গৃহীত পদ্ধতির অর্থ কী? বা কমপক্ষে যে তারা লাসল্লা বাবাইয়ের ফলাফল সম্পর্কে প্রাথমিক ধারণা অর্জনের পরে উঠে আসতে পারে এমন কিছু প্রশ্নের চিকিত্সা করে?

— টমাস ক্লিম্পেল

@ থমাসক্লিম্পেল: আমি সম্মত হই যে তাদের কাগজগুলি বুদ্ধিমান হয়েছে, যদিও আমি এখনও তাদের অন্তর্দৃষ্টি থেকে কীভাবে সুবিধা নেব তা দেখিনি (বাবাইয়ের বেশিরভাগ প্রমাণ বোঝার পরেও)।

— জোশুয়া গ্রাচো

আপনি কি বিশ্বাস করেন না যে জিআই শেষ পর্যন্ত সীমাবদ্ধ শ্রেণিতে যেমন জিআই স্থাপন করবে ?

β_{k} P

$\beta_k P$

— মোহাম্মদ আল-তুর্কিস্তানি

শেষ প্রশ্নটি সম্পর্কিত: সময়ক্রমক্রমের উপপাদ্যটি তাত্ক্ষণিকভাবে বোঝায় যে কিউপি বহুবর্ষকালীন বহু-ওয়ান বা টিউরিং হ্রাসের অধীনে সম্পূর্ণ সমস্যা নেই। (অন্যদিকে, সংরক্ষণ যে সমস্যা এবং অধীনে QP-কঠিন আপাতদৃষ্টিতে বহুপদী কমানোর।) সুতরাং, অভিমানী Babai এর ফলাফলের সঠিক, জি আই হয় না QP হার্ড। $\varnothing$ $\Sigma^*$

— এমিল জেবেক মনিকাকে সমর্থন করেন
সূত্র

গ্রাফ আইসোমরফিজম সমস্যার জন্য আধ-বহু-কালীন অ্যালগরিদমের জটিলতা তাত্ত্বিক পরিণতি কী হবে?

প্রাইমালিটি টেস্টিংয়ের জন্য নির্ধারক বহুবর্ষের সময় অ্যালগরিদমের পরিণতিগুলির সাথে কমবেশি অনুরূপ, লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের জন্য ডিটারমিনিস্টিক পলিনোমিয়াল টাইম অ্যালগরিদম এবং অন্য ক্ষেত্রে যেখানে কার্যত দক্ষ (এলোমেলোভাবে) অ্যালগরিদম (বিরল রোগগত উদাহরণ সহ যেখানে অ্যালগোরিদম অক্ষম হয়ে পড়েছিল) তা জানা ছিল এবং একটি দীর্ঘ সময়ের জন্য ব্যবহারে। এটি অনুমানকে নিশ্চিত করে যে বিরল রোগতাত্ত্বিক উদাহরণগুলির সমস্যাগুলি কাটিয়ে ওঠার জন্য তাত্ত্বিক তাত্ত্বিক অ্যালগরিদমের অস্তিত্বের জন্য ব্যবহারিক দক্ষতা একটি ভাল সূচক।

জিআই-র জন্য একটি আধা-বহু-কালীন অ্যালগরিদম জটিলতা তত্ত্বের কোনও বিখ্যাত অনুমানকে খণ্ডন করবে?

না, অনুমানগুলি বরং বিপরীত সাইটে চলে যায়, জিআই পি-তে রয়েছে G

আমরা কী দক্ষতার সাথে জিআই-তে টুর্নামেন্টস সমস্যাটিতে ন্যূনতম আধিপত্য সেটকে হ্রাস করতে পারি?

ন্যূনতম ডমিনেটিং সেট কোনও আইসোর্ফিজম সমস্যা নয়, সুতরাং এটি জিআই-এর কাছে হ্রাস হওয়ার আশা করা উচিত এমন কোনও কারণ নেই।

জিআই কিউপি'র পক্ষে শক্ত হয়ে পড়েছে এমন কোন অনুমানের রায় দেওয়া হচ্ছে?

এমনকি জিআই-তে স্ট্রিং আইসোমরফিজম সমস্যাটি কীভাবে হ্রাস করা যায় তা আমরা জানি না এবং এটি অন্তত একটি আইসোমরফিজম সমস্যা। বাবাইয়ের প্রমাণ থেকে প্রমাণিত হয়েছিল যে স্ট্রিং আইসোমরফিজম কিউপিতে ছিল, তাই ... এবং কিউপি'র পক্ষে এমনকি বোঝা কী বোঝাচ্ছে? বহুপদী সময় হ্রাস অধীন?

অন গ্রুপ এবং রঙিন আইসোমর্ফিজম সমস্যাগুলি থেকে ফ্রান্সোইস লে গ্যাল এবং ডেভিড জে রোজেনবাউমের পরিচিতি থেকে

আইসোমরফিজম পরীক্ষার সমস্যার জটিলতা উভয়ই অধ্যয়নের যোগ্য কারণ এগুলি মৌলিক গণনাগত প্রশ্ন এবং কারণ তাদের মধ্যে অনেকগুলি পি তে রয়েছে বলে জানা যায় না, তবে তবুও এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার চেয়ে সহজ বলে মনে হয়। এগুলির মধ্যে সবচেয়ে ভারীভাবে অধ্যয়ন করা হচ্ছে গ্রাফ আইসোমরফিজম সমস্যা।

আমি বিশ্বাস করি যে আমি জানতাম যে সীমাবদ্ধ কাঠামোর সমস্ত আইসোমরফিজম পরীক্ষার সমস্যাগুলি গ্রাফ আইসোমরফিজম সমস্যায় হ্রাস করা যেতে পারে। অতএব আমি বিশ্বাস করি যে গ্রাফ আইসোমর্ফিজম হ'ল এই সমস্তকে শাসন করার জন্য "সঠিক সাধারণ" আইসোমর্ফিজম সমস্যা। বাবাইয়ের কাগজে ব্যবহৃত স্ট্রিং আইসোমর্ফিজম সমস্যাটি প্রকাশ পেয়েছে যে আমার বিশ্বাসটি পুরোপুরি ন্যায়সঙ্গত হয়নি, কারণ স্ট্রিং আইসোমর্ফিজম সমস্যাটি গ্রাফ আইসোর্ফিজম সমস্যাটিতে হ্রাস করা যায় কিনা তা এখনও জানা যায় না। সুতরাং গ্রাফ সমস্যা এবং গ্রুপ সমস্যা $\mathsf{GI}^*$ $\mathsf{GrI}^*$ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে (উপরের কাগজটিতে, তবে লেখকরা কেন ঠিক আগেই কেউ তা করেননি তা ভাবছেন), যা স্ট্রিং আইসোমরফিজম সমস্যা থেকে হারিয়ে যাওয়া টুকরো যুক্ত করে। (এবং বর্ণের আইসোমর্ফিজম সমস্যাটি স্ট্রিং আইসোমর্ফিজম সমস্যাটির আলাদা একটি নাম color

যেহেতু অ্যালগরিদমটি স্ট্রিং সমস্যার (যেমন ) একটি বহু-কালীন অ্যালগরিদম ছিল, ফলস্বরূপ ফলাফলটি বেশিরভাগ ধরণের সসীম কাঠামোর জন্য হওয়ার আশা করা উচিত। এই জাতীয় আইসোমরফিজম পরীক্ষার একটি অ্যাপ্লিকেশন হ'ল নির্ধারিত ব্যাপ্তির মধ্যে নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমস্ত ধরণের নন-আইসোমর্ফিক কাঠামোগুলি তালিকাভুক্ত করা। ঠিক আছে, আসলে অ্যাপ্লিকেশনটি ক্যানোনাইজেশনের জন্য অ্যালগরিদমগুলির সাথে আরও ভালভাবে কাজ করে (দুটি প্রদত্ত কাঠামোর নিছক আইসোমরফিজম পরীক্ষার বিপরীতে), তবে অতিরিক্ত ধীরগতির ফলে এই সমস্যাগুলির জন্য আবদ্ধ মূল বহুপদী বা আধা-বহুবর্ষের সময় পরিবর্তন হবে না । $\mathsf{GI}^*$

সম্পাদনা: বাবাইয়ের ফলাফল প্রত্যাহারের প্রসঙ্গে এই উত্তরটি দেওয়া হয়েছিল, তিনি কোনও সিদ্ধান্ত দেওয়ার আগেই। এটি সুপারিশ করে যে স্ট্রিং আইসোমরফিজম সমস্যা দ্বারা প্রস্তাবিত গ্রাফ আইসোমর্ফিজম সমস্যার সামান্য সাধারণীকরণই সত্যই গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা। এখানে অন্তর্নিহিত প্রত্যাশাটি হ'ল গ্রাফ আইসোমরফিজম সমস্যার জন্য যে কোনও যুক্তিসঙ্গত অ্যালগরিদম সাধারণীকরণ গ্রাফ আইসোমরফিজম সমস্যার জন্য একই ধরণের অ্যালগোরিদমকে নিয়ে যাবে। জেনারালাইজড সমস্যাটি হ'ল সেট-স্টেবিলাইজার সমস্যা , গ্রুপ ছেদ সমস্যা , কোসেট ছেদ সমস্যা, সেট ট্রান্সপোর্টার সমস্যা , ... এর প্রত্যাশার পিছনে ধারণাটি হ'ল সাধারণীকরণ সমস্যা পুনরাবৃত্তির অংশে ঘটবেযে কোনও যুক্তিসঙ্গত অ্যালগরিদম, তাই এটি যেভাবেই মোকাবেলা করতে হবে। (এবং সাধারণ সমস্যা হ'ল গ্রাফ আইসোমর্ফিজমের সমতুল্য বহুবর্ষের সময় এটি বেশ সম্ভব))

এখন জোশুয়া গ্রাচোর মন্তব্যগুলি ইঙ্গিত দেয় যে আমি স্ট্রিং আইসোমরফিজম সমস্যা থেকে হারিয়ে যাওয়া টুকরোগুলির ধারণাগত গুরুত্ব ব্যাখ্যা করতে সফল হই নি was অসীম কাঠামোর জন্য, এটি উপলব্ধি করা সহজ হতে পারে যে একটি বৈধ আইসোমর্ফিজম কেবলমাত্র প্রদত্ত কাঠামো সংরক্ষণ করা উচিত নয়, তবে এটি যথাযথ ক্রিয়াকলাপেরও অন্তর্ভুক্ত (উদাহরণস্বরূপ ক্রমাগত ফাংশনগুলির বিভাগ)। সীমাবদ্ধ কাঠামোর জন্য, অভিন্ন ঘটনাটি বেশিরভাগই ভাগফলের কাঠামোর জন্য ঘটে যেখানে উপযুক্ত বিভাগের ফাংশন প্রদত্ত ভাগফলকের সাথে সামঞ্জস্য করা উচিত। জনসন স্টাফগুলি এই জাতীয় ভাগের একটি আদর্শ উদাহরণ, উদাহরণস্বরূপ পার্টিশন লজিক কিছু বেস সেটের দুটি উপাদান সাবসেটের উপর কাজ করে। আরও মনে রাখবেন যে আইসোমর্ফিজমের জন্য অনুমোদিত বিভাগটি সীমাবদ্ধ করা প্রায়শই আইসোর্ফিজম পরীক্ষার সমস্যাটিকে সহজ করে তোলে,

গ্রাফ আইসোমর্ফিজমের সাধারণীকরণের সমস্যাটি কোথায় থামবে। কেন এতদূর সাধারণীকরণ করা যায় না যে ক্রমশক্তি গ্রুপ আইসোমরফিজম সমস্যাটি ঘিরে আছে? এই প্রশ্নটি সত্যই শক্ত, কারণ গ্রাফ আইসোমর্ফিবাদের জন্য অনেক অ-তুচ্ছ ফলাফল সম্ভবত গ্রন্থ বিভাজনকেও সমুন্নতকরণের গ্রুপ আইসোর্ফিজমে নিয়ে যেতে পারে। তবে এখানে গণনার ক্রিয়াকলাপ গ্রুপ তত্ত্বটিকে নিজস্ব হিসাবে একটি বিষয় হিসাবে বিবেচনা করা আরও যুক্তিসঙ্গত বলে মনে হয়, এমনকি যদি গ্রাফ আইসোমরফিজম সমস্যার সাথে সত্যই এর ঘনিষ্ঠ সংযোগ থাকে।

— টমাস ক্লিম্পেল
সূত্র

প্রথমত, আমি যতদূর বুঝতে পেরেছি, স্ট্রিং iso = color iso; "কৃত্রিম সীমাবদ্ধতা" বলতে কী বোঝ? দ্বিতীয়ত, জিআই-তে হ্রাস করা সমস্ত সসীম কাঠামোর আইসোমর্ফিিজম সম্পর্কে সুপরিচিত ফলাফল হ'ল প্রথম-আদেশের যুক্তিতে সুনির্দিষ্ট কাঠামোগুলি সম্পর্কে সুনির্দিষ্ট। স্ট্রিং isomorphism / color isomorphism or শ্রেণীর মধ্যে পড়ে না, যেহেতু এটি কেবল দুটি স্ট্রিংকে প্রথম-ক্রমের কাঠামো হিসাবে আইসোমর্ফিক বলে কিনা তা জিজ্ঞাসা করে না, তবে দুটি স্ট্রিংয়ের মধ্যে প্রথম অর্ডার আইসোমরফিজম রয়েছে কিনা যেখানে আইসোমরফিজম একটি নির্দিষ্ট উপগোষ্ঠীর মধ্যে রয়েছে? $S_n$ ।

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া গ্রাচো রঙ আইসো এর জন্য, রঙগুলি কেবল স্বেচ্ছাসেবী সংখ্যা (wlog সীমাবদ্ধ [এন]]। স্ট্রিং আইসোর জন্য, স্ট্রিংগুলি একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ বর্ণমালার উপরে দেওয়া হয়। আমি ভেবেছিলাম এটি বাইনারি বর্ণমালা, তবে আমি এটি ভুলভাবে লিখেছি। আমি কেবল মনে রেখেছিলাম যে রঙ আইসোটি স্ট্রিং আইসোর জন্য কেবল একটি আলাদা নাম কিনা তা নিয়ে আমি প্রাথমিকভাবে বিভ্রান্ত ছিলাম। সুতরাং লাস্লো তার দাবি ফিরিয়ে নেওয়ার পরে যখন আমি সেই কাগজটি পড়ার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলাম তখন আমার কাছে এটির মত পার্থক্য মনে হয়েছিল। সম্ভবত এটি একটি পার্থক্য, কারণ "একটি সীমাবদ্ধ বর্ণমালা" যোগাযোগ করে "আপনার প্রিয় সীমাবদ্ধ বর্ণমালা ঠিক করে দেয়, এতে কোনও তফাত হবে না"। কোনটা সত্য.

— টমাস ক্লিম্পেল

এমনকি যদি তারা এই পার্থক্য তৈরি করে, আপনি যে দুটি সমস্যা বর্ণনা করেছেন তা সমতুল্য: একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ বর্ণমালার উপরে, থেকে রঙগুলি এনকোড করতে কেবল দৈর্ঘ্যের সাবট্রিং ings ব্যবহার করুন এবং আপনার গ্রুপটি পরিবর্তন করুন যাতে এটি কেবল এগুলি চালিয়ে যায় সামগ্রিকভাবে সাবস্ট্রিংগুলি।

\log n

$\log n$

[n]

$[n]$

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া গ্রাচো এটির অর্থ হ'ল আমি এর দ্বারা কোনও পার্থক্য তৈরি করব না "। যা সত্য I পথে আন্দ্রেয়াস ব্লাস এবং ইউরি গুরিভিচ, যারা ধারণাগত বিষয়গুলিতেও মনোনিবেশ করার চেষ্টা করেন।আমি খুশি যে বাবাই এখন তার অ্যালগরিদম স্থির করেছেন, যাতে গ্রাফ আইসোমর্ফিিজম এবং স্ট্রিং আইসোমরফিজম বহুবর্ষের সমতুল্য কিনা তা খতিয়ে দেখার কোনও বাধ্যবাধকতা (বা চাপ) অনুভব করতে পারি না। । (আমি সেই উত্তরটি কেন লিখেছিলাম সেই প্রসঙ্গেই))

— টমাস ক্লিম্পেল

আপনি কেন জিআই-তে অগ্রগতি ড্যারানডমাইজেশন ফলাফলের সাথে তুলনা করছেন তা নিয়ে আমি বিভ্রান্ত।

— সাশো নিকোলভ