আনবাউন্ডেড ভগ্নাংশ হাইপারট্রি প্রস্থ সহ সিএসপিগুলি

সোডা ২০০ 2006-এ, মার্টিন গ্রোহ এবং ডি- নিল মার্ক্সের কাগজটি "ভগ্নাংশের প্রান্তের মাধ্যমে সীমাবদ্ধতা সমাধান" ( এসিএম উদ্ধৃতি ) দেখিয়েছে যে সীমানা ভগ্নাংশ হাইপারট্রি প্রস্থ সহ হাইপারগ্রাফ শ্রেণীর জন্য , সিএসপি ( ) । $\acute{\rm a}$ $H$ $H$ $\in PTIME$

সংজ্ঞা ইত্যাদি

স্ট্যান্ডার্ড গাছের পচন এবং গাছের প্রশস্ততার দুর্দান্ত জরিপের জন্য এখানে দেখুন (সময়ের আগে ধন্যবাদ, জেফই!)।

$H$ একটি হাইপারগ্রাফ করা যাক ।

তারপরে একটি হাইপারগ্রাফ $H$ এবং ম্যাপিংয়ের জন্য $\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty)$ ,

$B(\gamma) =$ ( $v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1$ }}

অতিরিক্তভাবে, ওজন ( $\gamma$ ) = $\sum_{e \in E}\gamma(e)$ ।

তারপরে একটি ভগ্নাংশ হাইপারট্রি পচন ট্রিপল , যেখানে: $H$ $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$

$(T, (B_t)_{t \in V(T)})$ একটি গাছ পচানি হয় $H$ , এবং
প্রতিটি জন্য থেকে $(\gamma_t)_{t \in V(T)}$ ম্যাপিংয়ের একটি পরিবার । $E(H)$ $[0, \infty)$ $t \in V(T), B_t \subseteq B(\gamma_t)$

তারপর আমরা বলতে প্রস্থ এর হয় {ওজন }। $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$ $\max$ $(\gamma_t), t \in V(T)$

অবশেষে, এর ভগ্ন hypertree প্রস্থ , fhw ( ), সব সম্ভব ভগ্ন hypertree decompositions উপর প্রস্থ সর্বনিম্ন হয় । $H$ $H$ $H$

প্রশ্ন

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, যদি কোনও সিএসপির অন্তর্নিহিত গ্রাফের ভগ্নাংশ হাইপারট্রি প্রস্থকে একটি ধ্রুবক দ্বারা আবদ্ধ করা হয়, তবে সিএসপি সমাধানের জন্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে। যাইহোক, এটি লিঙ্কযুক্ত কাগজের শেষে একটি উন্মুক্ত সমস্যা হিসাবে সিএসপি দৃষ্টান্তের সীমাহীন হাইপারট্রি প্রস্থের কোনও বহু-কালীন দ্রবণীয় পরিবার ছিল কিনা তা খোলার সমস্যা হিসাবে ছেড়ে গেছে। (আমার এও উল্লেখ করা উচিত , অনুমানের অধীনে বাউন্ডেড বনাম আনবাউন্ডেড ট্রিউইথ ( এসিএম উদ্ধৃতি ) এর ক্ষেত্রে এই প্রশ্নটি সম্পূর্ণ সমাধান করা হয়েছে ।) যেহেতু প্রথম লিঙ্কযুক্ত কাগজটি থেকে কিছু সময় হয়েছে, প্লাস আমি এই উপ-ক্ষেত্রের সাধারণ অবস্থা সম্পর্কে তুলনামূলকভাবে অসচেতন, আমার প্রশ্নটি হ'ল: $FPT \ne W[1]$

সীমাহীন ভগ্নাংশ হাইপারট্রি প্রস্থ সহ গ্রাফগুলিতে সিএসপিগুলির (ইন) ট্র্যাকটেবিলিটি সম্পর্কে কি কিছু জানা যায়?

— ড্যানিয়েল আপন
সূত্র

আপনি দুটি অনুচ্ছেদের সাথে যুক্ত করেছেন, উভয় অনুমানের সাথে। আমি মনে করি আপনি গ্রোহের 2007 অনুমান বোঝাচ্ছেন।

এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয়েছিল ২০০৮:

উপপাদ্য 5. সিএসপি (সি , _) এনপিতে রয়েছে তবে পি বা এনপি-সম্পূর্ণ নয় (পি = এনপি ব্যতীত)। , সেট সি নির্ধারিত বহুবর্ষীয় সময়ে সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে। $_0$ $_0$

ম্যানুয়েল Bodirsky এবং মার্টিন Grohe, কনস্ট্রেইন্ট অর্থাৎ সন্তুষ্টি জটিলতা মধ্যে অ dichotomies , ICALP 2008. ডোই: 10.1007 / 978-3-540-70583-3_16 ( পিডিএফ )

ধারণাটি হ'ল ক্ল্যাঙ্কের আকারের আকারগুলিতে গর্ত ছড়িয়ে দেওয়া, একই বিলম্বিত তির্যক কৌশল দ্বারা লডনার তার উপপাদ্যের জন্য প্রবর্তন করেছিলেন। নোট করুন যে সেট সি ইচ্ছামত বৃহত রয়েছে এবং একটি ক্লিকের ভগ্নাংশ হাইপারট্রি প্রস্থটি । সুতরাং ফর্মের সিএসপি (এ, _) অন্তর্বর্তী জটিলতার সিএসপি রাখা সম্ভব, যেখানে এ-এর সীমাহীন ভগ্নাংশ হাইপারট্রি প্রস্থ রয়েছে। এটি গ্রোহের অনুমানকে নেতিবাচক উত্তর দেয়। $_0$ $n$ $n/2$

একই সম্মেলনে চেন, থারলি এবং ওয়েয়ারের একটি অনুরূপ ফলাফল সহ একটি কাগজ ছিল, তবে এর জন্য দৃ strong় এমবেডিং প্রয়োজন যাতে প্রযুক্তিগতভাবে অনুমানের জন্য সঠিক ফর্মটি ছিল না।

আইজিয়া চেন, মার্ক Thurley, এবং মার্ক Weyer, প্ররোচক Subgraph Isomorphisms জটিলতা বোঝা , ICALP 2008. ডোই: 10.1007 / 978-3-540-70575-8_48 ( পিডিএফ )

অবশেষে, সিএসপি দৃষ্টান্তগুলির যে কোনও শ্রেণীর নিকৃষ্টতম ক্ষেত্রে ভগ্নাংশ হাইপারট্রি প্রস্থের সাথে উপস্থাপনে রূপান্তরিত হতে পারে। অনেক ক্ষেত্রে এই রূপান্তরটি বহুবর্ষীয় আকারে আবদ্ধ থাকে এবং বহুপক্ষীয় সময়ে করা যায়। এর অর্থ হ'ল আনবাউন্ডেড ভগ্নাংশ হাইপারট্রি প্রস্থ এমনকি মডিউলো হোমোমর্ফিক সমতুল্যতা সহ সিএসপি উত্পন্ন করা সহজ। এই সিএসপিগুলি সিএসপি (এ, _) ফর্ম হতে চলেছে না যেহেতু লক্ষ্য কাঠামোগুলি বিশেষ, তবে তারা কেবলমাত্র উত্স কাঠামোকে সীমাবদ্ধ করে সংজ্ঞায়িত সিএসপিগুলি এত আকর্ষণীয় নয় কেন এটি একটি পরিষ্কার কারণ দেয়: এটি প্রায়শই ন্যায় উপস্থাপনা পরিবর্তন করে কোনও সিএসপি উদাহরণের গাছের মতো কাঠামোটি আড়াল করা খুব সহজ যাতে উত্সের কাঠামোর বিশাল প্রস্থ থাকে। (এটি আমার থিসিসের chapter অধ্যায়ে আলোচনা করা হয়েছে ।)

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

মহান প্রতিক্রিয়ার জন্য ধন্যবাদ. একটি দ্রুত ফলো-আপ প্রশ্ন: "অন্য দিক থেকে দেখা হোমোর্ফিজম এবং সংবিধান সন্তুষ্টি সমস্যার জটিলতার" আমার পাঠটি হ'ল সিএসপি (সি, _) ফর্মের সিএসপিগুলির জন্য একটি পি বনাম এনপি-সি ডিকোটমির উপস্থিতি রয়েছে for সীমাবদ্ধ আধ্যাত্মিকতার অ হাইপারগ্রাফ, আমি কি বিশ্বাস করে সঠিক? বা আরও বেশি কথা - এই কাগজটির 6.1 .1 কোরের কোন লুকানো অনুমান / ধারণা অনুমান করা যায় যা সম্পর্কে আমি অবগত নই, আছে কি? বা আরও বলা যায়, সেখানে দ্বৈতত্ত্বটি কি কেবল পি বনাম নয়-পি? (দুঃখিত যদি এটি সুস্পষ্ট হয়।)

— ড্যানিয়েল আপন

@ ড্যানিয়েল: এই কাগজটি ডিকোটমিজ সম্পর্কে খুব বেশি ছিল না তবে ট্র্যাটেবল কাঠামো-সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রে বাউন্ড প্রস্থের হিসাবে নির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত করা হয়েছিল। বেঁধে দেওয়া প্রস্থটি ট্র্যাকটেবল বোঝার জন্য পরিচিত ছিল, তবে গ্রোহের কাগজের মূল অংশটি অন্য দিকে। আনবাউন্ড করা প্রস্থটি বোঝায় বৃহত আকারের গ্রিড অপ্রাপ্তবয়স্কদের এম্বেড করা, যা পরে CLIQUE এর মতো এনপি-হার্ড সমস্যা এনকোড করতে ব্যবহার করতে পারে। সিএসপিগুলির জন্য ফেডার / ভার্দি ডিকোটোমি অনুমানটি সিএসপি (_, বি) ধরণের বিধিনিষেধের জন্য, যা পি বা এনপি-সম্পূর্ণ হিসাবে বিশ্বাস করা হয়।

— অ্যান্ড্রেস সালামন

@ ড্যানিয়েল: যাইহোক, প্রথমবার যখন এটি পড়েছিলাম তখন অবশ্যই এই জিনিসটি আমার কাছে স্পষ্ট ছিল না। আমার আগের মন্তব্যে গ্রোহের কাগজের চটজলদি সারসংক্ষেপ ডেভ কোহেনের কাছে অনেক .ণী।

— আন্দ্রেস সালামন