আমার আগের দাবী 2গ + + 6 একাউন্টে আকারের কাটা নেয়নিএন2/4ইতিমধ্যে গ্রাফ উপস্থিত রয়েছে। নিম্নলিখিত নির্মাণ ফল মনে হচ্ছে (emperically - আমি একটি কঠোর প্রমাণ জন্য math.stackexchange.com এ একটি প্রশ্ন তৈরি করেছেন) একটিহে(12c+6n2/4লগ গ )ভগ্নাংশ।O(1logc)
বিভিন্ন সংযোগ বিচ্ছিন্ন, ভিন্ন আকারের সম্পূর্ণ গ্রাফগুলির ইউনিয়নগুলিতে অ্যালগরিদম খারাপভাবে সম্পাদন করে। আমরা সম্পূর্ণ গ্রাফ বোঝাতে এন যেমন ছেদচিহ্ন কে এন । কে এন- তে অ্যালগরিদমের আচরণটি বিবেচনা করুন : এটি বার বার একটি স্বেচ্ছাসেবী প্রান্ত যোগ করে যা এস তে এস - তে এখনও নেই - এই জাতীয় সমস্ত অনুভূমিকগুলি অভিন্ন এবং সুতরাং আদেশটি কোনও ব্যাপার নয়। অ্যালগরিদম | দ্বারা এসের সাথে এখনও যোগ করা হয়নি এমন শীর্ষের সংখ্যা নির্ধারণ করা । এস | = কে , এই মুহুর্তে কাটার আকার কে ( এন - কে ) ।nKnKnSSS|S¯|=kk(n−k)
যদি আমরা 0 এবং 1 এর মধ্যে x 1 ধ্রুবক সহ কয়েকটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন কে x i এন গ্রাফগুলিতে অ্যালগরিদমটি চালিত করি তবে কী ঘটবে তা বিবেচনা করুন, যদি k i i তম পূর্ণ গ্রাফে এস তে এখনও উপাদানগুলির সংখ্যা নয় , তবে অ্যালগোরিদম বারবার যুক্ত হবে সর্বাধিক কে i সহ সম্পূর্ণ গ্রাফ থেকে এস-এর একটি বিন্দু, নির্বিচারে বন্ধনগুলি ভেঙে। এটি এসকে শীর্ষবৃত্তগুলিকে 'বৃত্তাকার' ভিত্তিক সংযোজন প্ররোচিত করবে : অ্যালগরিদম সর্বোচ্চ k = k i সহ সমস্ত সম্পূর্ণ গ্রাফ থেকে একটি শীর্ষবিন্দু যুক্ত করবে , তারপরে i সহ সমস্ত সম্পূর্ণ গ্রাফ থেকেKxinxikiSiSkiSk=ki কে = k - 1 ( k দিয়ে আমি পূর্ববর্তী রাউন্ডের পরে আপডেট করেছি), এবং আরও অনেক কিছু। একবার একটি সম্পূর্ণ গ্রাফেরএকটি রাউন্ডে এসের সাথে একটি ভার্টেক্স যুক্ত হয়ে যায়, এটি তখন থেকে প্রতিটি রাউন্ডের জন্য এটি করবে।ki=k−1kiS
আসুন c সম্পূর্ণ গ্রাফ সংখ্যা হতে হবে। যাক 0 < এক্স আমি ≤ 1 সঙ্গে 0 ≤ আমি ≤ গ - 1 আকার জন্য পরিবর্তক হতে আমি -th সম্পূর্ণ গ্রাফ। আমরা বড় থেকে ছোট এবং সেট এইসব আকার সংশোধনকারীদের অর্ডার এক্স 0 = 1 । আমাদের কাছে এখন যদি এস- তে ঠিক k উপাদান যুক্ত না করে সি ′ গ্রাফ থাকে , তবে সেই সময় কাটার আকার ∑ c ′ - 1 i = 0 k হয় (c0<xi≤10≤i≤c−1ix0=1c′kS x হয় i n - k ) = k n ∑ c ′ - 1 i = 0 ( x i ) - c ′ k 2 । প্রান্তের মোট সংখ্যা | E | = ∑ সি - ১ আই = ০ এক্স আই এন ( এক্স আই এন - ১ )∑c′−1i=0k(xin−k)=kn∑c′−1i=0(xi)−c′k22 ≈এন22 ∑ সি - 1 আই = 0 এক্স 2 আই ।|E|=∑c−1i=0xin(xin−1)2≈n22∑c−1i=0x2i
লক্ষ্য করুন ট এন Σ গ ' - 1 আমি = 0 এক্স আমি - গ ' ট 2 একটি দ্বিঘাত ফাংশন ট তাই সর্বোচ্চ হয়েছে। আমাদের তাই স্থানীয়ভাবে বেশিরভাগ সর্বাধিক কাট থাকবে। উদাহরণস্বরূপ, সি = 1 হলে আমাদের সর্বাধিক কাটা কে = এন হয়kn∑c′−1i=0xi−c′k2kc=12 আকারেরএন2k=n2ঘ । আমরা বাছাই করতে যাচ্ছিএক্স1, যাতেএক্স1=1/2-ε, যা দ্বিতীয় সম্পূর্ণ গ্রাফ মানে এই স্থানীয়ভাবে সর্বোচ্চ কাটা আকার পরিবর্তন করা হবে নাট=ঢn24x1x1=1/2−εঘ । আমরা তখন একটি নতুন স্থানীয়ভাবে সর্বোচ্চ কাটা পেতেট=3/8এন-ε'এবং তাই আমরা বাছাইএক্স2=3/8এন-ε"(সঙ্গেε,ε',ε"ছোট ধ্রুবক)। আমরা উপেক্ষা করা হবেεমুহূর্ত জন্য গুলি এবং মাত্র অনুমান আমরা বাছাই করতে পারেনএক্স1=1/2- আমরা নিশ্চিত করা উচিতএক্স1এন=ঢk=n2k=3/8n−ε′x2=3/8n−ε′′ε,ε′,ε′′εx1=1/22−1x1n=n2−1, but this will not affect the final results if nn is large enough.
We wish to find the local maxima of our cuts. We differentiate kn∑c′−1i=0(xi)−c′k2kn∑c′−1i=0(xi)−c′k2 to kk, yielding n∑c′−1i=0(xi)−2c′kn∑c′−1i=0(xi)−2c′k. Equating to 00 gives k=n2c′∑c′−1i=0xik=n2c′∑c′−1i=0xi, which gives a cut of size n24c′(∑c′−1i=0xi)2n24c′(∑c′−1i=0xi)2.
Let kiki be the kk determined in the previous paragraph if c′=ic′=i. We will ensure that the formula holds by demanding that xin<kixin<ki - all complete graphs i′i′ with i′>ii′>i are then smaller than the kiki of this locally maximal cut and hence do not increase the size of the cut. This means we have cc cuts at these kiki that are larger than all other cuts found by the algorithm.
Filling in xin<kixin<ki, we get the recurrence xi=12c′∑c′−1i=0xixi=12c′∑c′−1i=0xi (plus some small εε) with x0=1x0=1. Solving this yields xi=(2ii)4ixi=(2ii)4i: see my question on math.stackexchange.com for the derivation by @Daniel Fisher. Plugging this into n24c′(∑c′−1i=0xi)2n24c′(∑c′−1i=0xi)2 and using our insight into the recurrence gives us cuts of size n24c′(2c′(2c′c′)4c′)2=n2c′((2c′c′)4c′)2n24c′(2c′(2c′c′)4c′)2=n2c′((2c′c′)4c′)2. Using properties of this central binomial coefficient, we have limc′→∞c′((2c′c′)4c′)2=1πlimc′→∞c′((2c′c′)4c′)2=1π (also see my question on math.stackexchange.com).
The number of edges is approximately n22∑c−1i=0x2i=n22∑c−1i=0((2ii)4i)2n22∑c−1i=0x2i=n22∑c−1i=0((2ii)4i)2. By known properties we have 1√4i≤(2ii)4i14i√≤(2ii)4i. Filing in gives at least n22∑c−1i=0(1√4i)2=n28∑c−1i=01in22∑c−1i=0(14i√)2=n28∑c−1i=01i which is asymptotically n28logcn28logc as cc goes to infinity.
We therefore have δ(S,ˉS)|E|δ(S,S¯)|E| is asymptotically equal to 8πlogc8πlogc as cc goes to infinity, showing that the algorithm can return cuts that are arbitrarily low fractions of |E||E|.