কোনও ম্যাট্রিক্সের কার্নেলটিতে কোনও-শূন্য ভেক্টর রয়েছে কিনা তার সিদ্ধান্তগুলি -1, 0 বা 1

একটি প্রদত্ত দ্বারা বাইনারি ম্যাট্রিক্স (এন্ট্রি বা ), সমস্যা যদি অস্তিত্ব আছে দুই বাইনারি ভেক্টর নির্ধারণ করা হয় যেমন যে (সমস্ত অপারেশন উপর সঞ্চালিত )। এই সমস্যাটি কি এনপি-হার্ড? $m$ $n$ $M$ $0$ $1$ $v_1 \ne v_2$ $Mv_1 = Mv_2$ $\mathbb{Z}$

এটি সাক্ষাত্কারে দুটি ভেক্টর দিতে পারে বলে এটি এনপিতে স্পষ্ট।

সমতুল্যভাবে: প্রদত্ত , একটি নন-জিরো ভেক্টর হয় যেমন যে ? $M$ $v\in \{-1,0,1\}^n$ $Mv=0$

সমতুল্য: প্রদত্ত ভেক্টর ওভার , দুটি আলাদা উপসেট কি যেমন ? $n$ $X=\{x_1,\dots,x_n\}$ $\{0,1\}^m$ $A,B \subseteq X$ $\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x$

cc.complexity-theory np-hardness linear-algebra

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি
সূত্র

যতক্ষণ না আমি প্রশ্নটি ভুল বুঝেছি, এটি কি

মতো একটি শূন্য-

আছে কিনা তা নির্ধারণের সমান নয় ? এবং

এর পদমর্যাদা নির্ধারণ করে এটি সমাধান হচ্ছে না ?

v

$v$

M v = 0

$Mv = 0$

M

$M$

— মুহাম্মাদ

@ মুম না, এটি নির্ধারণের সমতুল্য যে কোনও ননজারো

যেমন

।

v \in {- 1, 0, 1}^{n}

$v \in \{-1, 0, 1\}^n$

M v = 0

$Mv = 0$

— সাশো নিকোলভ

আহ। আমি যে

মিস করেছি

বাইনারি হতে হবে। আমার ভুল.

v_{i}

$v_i$

— মুহুম

0/1-পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিংয়ের সম্ভাব্যতা সমস্যার মতো মনে হয়।

বা

উপরে অপারেশনগুলি কি?

Z

$\mathbb{Z}$

Z_{2}

$\mathbb{Z_2}$

— কাভেহ

সমস্যার সংস্কার: প্রদত্ত

ভেক্টর

ওভার

।

মতো দুটি পৃথক উপসর্গ কি

? আমি মনে করি যে এনপি-হার্ড হওয়ার সম্ভাবনা বেশি থাকে যদি যোগফলগুলি দুটি মডিউল না নেওয়া হয়, তবে অপারেশনগুলি

n

$n$

X = {x_{1}, \dots, x_{n}}

$X = \{ x_1,\dots,x_n \}$

{0, 1}^{m}

$\{ 0,1 \}^m$

A, B \subseteq X

$A,B \subseteq {X}$

\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x

$\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x$

Z

$\mathbb{Z}$

— জন ডি।

উত্তর:

আমি ব্যবহারকারীর 17410 সমতুল্য সূত্র ব্যবহার:

ইনপুট: ভেক্টর উপর , হয় ইনপুট অংশ প্রশ্ন: সেখানে আছেন দুটি ভিন্ন সাব-সেট নির্বাচন যেমন যে $n$ $X = \{ x_1, \dots, x_m \}$ $\{0,1\}^n$ $n$
$A,B \subseteq X$

\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x

$\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x$

কঠোরতার প্রমাণটি অনেকগুলি মধ্যবর্তী হ্রাস জড়িত যা একই "চেইন" অনুসরণ করে স্ট্যান্ডার্ড ইক্যুয়াল সাবসেট এসইএম সমস্যাটির কঠোরতা প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়:

X3C উপসেট সমষ্টি পার্টিশন এমনকি-বিজোড় পার্টিশন সমান উপসেট সমষ্টি $\leq$ $\leq$ $\leq$ $\leq$

(আমি এখনও এটি পরীক্ষা করছি তাই এটি ভুল হতে পারে :)

ধাপ 1

নিম্নলিখিত সমস্যাটি ( 0-1 ভেক্টর সাবসেট সুম ) এনপি-সম্পূর্ণ: , ভেক্টরকে ও একটি টার্গেট যোগ ভেক্টর আছে কিনা তা স্থির করুন মতো প্রুফ : 3-SETS (X3C) দ্বারা যথাযথ কভার থেকে সরাসরি হ্রাস: উপাদানগুলির একটি সেট দেওয়া $X = \{ x_1, \dots, x_m \}$ $x_i$ $\{0,1\}^n$ $t$ $A \subseteq X$

\sum_{x \in A} x = t

$\sum_{x \in A} x = t$

n

$n$

এবং

সংগ্রহ

এরতিনটি উপাদান

সাবটেট করে

আমরা সংশ্লিষ্ট 0-1 ভেক্টর সমষ্টি উদাহরণস্বরূপ সেটিং বিল্ড সরিয়ে

যদি এবং উপাদান শুধুমাত্র যদি

মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয়

;

Y = {y_{1}, . . ., y_{n}}

$Y = \{y_1,...,y_n\}$

C

$C$

m

$m$

C = {C_{1}, . . ., C_{m}}

$C = \{C_1,...,C_m\}$

x_{i} [j] = 1

$x_i[j] = 1$

j

$j$

C_{i}

$C_i$

।

t = [1, 1, . . .1]

$t = [1,1,...1]$

ধাপ 2 ফাইন্ডিং দুই সমান সমষ্টি সাব-সেট নির্বাচন মধ্যে উপর 0-1 ভেক্টর , দুই সমান সমষ্টি সাব-সেট নির্বাচন খোঁজার সমতূল্য বেষ্টিত আকারের উপাদান সঙ্গে ভেক্টর যেখানে স্থির । $A,B$ $m$ $\{0,1\}^n$ $A,B$ $x_1 ... x_m$ $max\{x_i\} = O((mn)^k)$ $k$

উদাহরণস্বরূপ ভেক্টরগুলির সেট:

x1 2 1 0 1
x2 1 2 3 1

0-1 ভেক্টর সমতুল্য:

x1  1 1 0 1   1 0   0 0 0
    1 0 0 0   0 1   0 0 0 
    0 0 0 0   1 1   0 0 0 
              ^ ^
                +-- 0 elsewhere

x2  1 1 1 1   0 0   1 0 0
    0 1 1 0   0 0   0 1 0
    0 0 1 0   0 0   0 0 1
    0 0 0 0   0 0   1 1 1
                    ^ ^ ^
                      +-- 0 elsewhere

$A$ $A$ $B$ $mn$

সুতরাং নিম্নলিখিত সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ।

ধাপ 3

$B = \{ x_1, \dots, x_m \}$ $x_i$ $\{0,1\}^n$ $X$ $B_1, B_2$

\sum_{x \in B_{1}} x = \sum_{x \in B_{2}} x

$\sum_{x \in B_1} x = \sum_{x \in B_2} x$

$X = \{ x_1, \dots, x_m \}$ $t$ $S = \sum x_i$ $X$ $b' = -t + 2S$ $b'' = t + S\;$ $B = X \cup \{b',b''\}$

$\Rightarrow$ $A \subseteq X$ $\sum_{x \in A} x= t$ $B_1 = A \cup \{b'\}$ $B_2 =B \setminus B_1 = X \setminus \{A\} \cup \{b''\}$

\sum_{x \in B_{1}} = b^{'} + \sum_{x \in A} x = t - t + S = 2 S

$\sum_{x \in B_1} = b'+\sum_{x \in A} x = t - t + S = 2S$

\sum_{x \in B_{2}} = b^{″} + \sum_{x \in X ∖ A} x = b^{″} + S - \sum_{x \in A} x = 2 S

$\sum_{x \in B_2} = b'' + \sum_{x \in X\setminus A} x = b'' + S - \sum_{x \in A} x=2S$

$\Leftarrow$ $B_1$ $B_2$ $b', b''$ $\geq 3S$ $b' = -t + 2S \in B_1$

- t + 2 S + \sum_{x \in B_{1} ∖ {b^{'}}} x = t + S + \sum_{x \in B_{2} ∖ {b^{″}}} x

$-t +2S+ \sum_{x \in B_1 \setminus\{b'\}} x = t + S + \sum_{x \in B_2 \setminus\{b''\}} x$

$\sum_{x \in B_1 \setminus\{b'\}} x = t$ $B_1 \setminus\{b'\}$

$B$ $b', b''$

ধাপ 3

$x_1,...,x_2n$ $X_1,X_2$ $X_1$ $x_{2i-1},x_{2i}$ $1 \leq i \leq n$ $X_2$

$X = \{x_1,...,x_m\}$ $m$ $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^{2n+2m}$

       1   2       n
 --------------------
 x_i  b_1 b_2 ... b_n

 becomes:

           1 2 ... 2i ... 2m
  --------------------------
  x'_2i-1  0 0 ...  1 ...  0  b_1 b_2 ... b_n   0   0  ...  0  
  x'_2i    0 0 ...  1 ...  0   0   0  ...  0   b_1 b_2 ... b_n

$2i$ $x'_{2i-1}$ $x'_{2i}$

পদক্ষেপ 4

$A = \{x_1,...,x_{2m}\}$ $2m$ $\{0,1\}^n$ $Y$ $3m$ $\{0,1\}^{2m+n}$

$x_{2i-1}, 1 \leq i \leq m$ $y_{2i-1}$ $\{0,1\}^{2m+n}$

  1 2 ... i i+1 ... m  m+1 m+2 ... m+i ... 2m  2m+1 ... 2m+n
  ------------------------------------------------------
  0 0 ... 2  0  ... 0   0   0       1       0  x_{2i-1}

$x_{2i}, 1 \leq i \leq m-1$ $y_{2i}$ $\{0,1\}^{2m+n}$

  1 2 ... i i+1 ... m  m+1 m+2 ... m+i ... 2m  2m+1 ... 2m+n
  ------------------------------------------------------
  0 0 ... 0  2  ... 0   0   0       1       0  x_{2i}

আমরা উপাদান মানচিত্র $x_{2m}$

  1 2 ...       ... m  m+1 m+2 ...  . 2m  2m+1 ... 2m+n
  ------------------------------------------------------
  2 0 ...       ... 0   0   0          1  x_{2m}

$m$

  1 2 ...       ... m  m+1 m+2 ...  ... 2m  2m+1 ... 2m+n
  ------------------------------------------------------
  4 0 ...       ... 0   0   0            0  0    ... 0
  0 4 ...       ... 0   0   0            0  0    ... 0
  ...
  0 0 ...       ... 4   0   0            0  0    ... 0

$> 1$

$Y$ $Y_1,Y_2$ $X$

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

যাকে আপনি 0-1 ভেক্টর পার্টিশন বলছেন তা নির্ধারণের সমস্যার সমতুল্য কোনও সেট সিস্টেমের সাথে বৈষম্য রয়েছে কিনা। এটি এনপি শক্ত, কারণ এটি উদাহরণস্বরূপ 2-2-সেট-বিভাজন সমস্যাটি ধারণ করে, তাই এই প্রবন্ধে গুরুস্বামীর 9 ম দেখুন cs.cmu.edu/~venkatg/pubs/papers/ss-jl.ps ; আমার কাগজের সাথে বৈষম্যের কঠোরতা সম্পর্কে আরও কিছু আছে paul.rutgers.edu/~anikolov/Files/charikarM.pdf

— সাশো নিকোলভ

| X_{i} \cap {x_{2 j - 1}, x_{2 j}} | = 1

$|X_i \cap \{x_{2j-1}, x_{2j}\}| = 1$

i \in {1, 2}

$i \in \{1, 2\}$

1 \leq j \leq m

$1 \leq j \leq m$

(x_{2 i - 1}, x_{2 i})

$(x_{2i-1},x_{2i})$

(x_{2 i - 1}^{'}, x_{2 i}^{'})

$(x'_{2i-1}, x'_{2i})$

X_{1}

$X_1$

সম্পাদনা: আমার মূল প্রমাণটিতে একটি বাগ ছিল g আমি এখন বিশ্বাস করি যে এটি স্থির।

$m$

$n$

এটি করা মোটামুটি সহজ। প্রতিটি জোড় সংলগ্ন বিট পজিশনের জন্য, নিম্নলিখিত ফর্মের তিনটি ভেক্টর যুক্ত করুন। এখানে শেষ দুটি বিট স্থানাঙ্ক যা কেবল এই তিনটি ভেক্টর-এ শূন্য নয়, এবং নীচে প্রতিটি বিট সুস্পষ্টভাবে দেওয়া হয় নি 0 0

..10 .. 11 ..01 .. 10
..01 .. 01

আমাকে একটি উদাহরণ দিন। আমরা কীভাবে 5 + 3 = 8 কাজ করে তা দেখাতে চাই।

বাইনারিতে এখানে 8 = 5 + 3 রয়েছে:

1000

0101
0011

এই বিট স্ট্রিংগুলি বাইনারিগুলিতে একই যোগফল দেয় তবে ভেক্টর সংযোজন নয়।

এখন, আমাদের 1, 2, 4 জায়গায় বহন রয়েছে, সুতরাং সমীকরণে আমাদের তিনটি ভেক্টরের তিনটি সেট যুক্ত করতে হবে যাতে এই বহনগুলি সম্পাদন করা যায়।

1000 00 00 00
0001 00 00 01
0001 00 00
101010 00 01 00
001010 00 00 01
0100 01 00 00
010000 00 00 00

00 00 00 0101
0011 00 00 00
0010 00 00 11
0100 00 11 00
1000 11 00 00

এই সেটগুলিতে এখন ভেক্টর সংযোজন একই পরিমাণ রয়েছে। পরিমাণগুলি হ'ল:

1222 11 11 11

উভয় ক্ষেত্রেই.

$n$ $n$

..01 .. 01 00
..01 .. 10 00 ..10 ..
11 00
..01 .. 00 01
..01 .. 00 10 ..10
.. 00 11

আপনার সমস্যা আছে যে আপনি দুটি ভিন্ন সেট ভেক্টর সমান যোগফল দিচ্ছেন:

..01 .. 01 00
..01 .. 10 00 ..10
.. 00 11

..01 .. 00 01
..01 .. 00 10 ..10
.. 11 00

$\ldots$ $^{\lfloor \log n \rfloor}$ $n$

..01 .. 11000
..01 .. 00100
..01 .. 00010
..01 .. 00001 ..10
.. 10001 ..10
.. 01110

কাজ করে। আপনি সহজেই যে সম্পর্কটি পরীক্ষা করতে পারেন

11000
00100
00010
00001

10001
01110

এই ছয়টি ভেক্টরের মধ্যে একমাত্র সম্ভাব্য সম্পর্ক কারণ এই ছয়টি সারি দ্বারা তৈরি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক 5 রয়েছে।

— পিটার শোর
সূত্র

একটি ব্যাখ্যা, আপনি বলেছেন "এখন, আমাদের 1, 2, 4 জায়গায় বহন করে"; তবে সমস্যাটিতে আমরা জানি না কোন ভেক্টরগুলি নির্বাচিত হয়েছে তাই আমাদের অবশ্যই প্রতিটি সংলগ্ন বিট পজিশনে ক্যারি গ্যাজেটটি যুক্ত করতে হবে? এবং উদাহরণের প্রথম তালিকায় 7 জন ভেক্টর রয়েছে, এটি কি সঠিক?

— মারজিও ডি বায়াসি

ধরুন সাবসেটের সমস্যার সমাধান রয়েছে। তা: আমাদের 3 + 5 = 8 রয়েছে। এখন, আমরা এই সাক্ষীর সংযোজনটি দেখতে পারি এবং কোথায় বহন করে তা জানতে পারি। এটি আমাদের ভেক্টর সংযোজন সমস্যার সমাধান দেয়। একটি সমস্যার সমাধান থাকে যদি অন্যটি করে তবেই।

— পিটার শোর

2, 3, 5, 7

$2,3,5,7$

8

$8$

পিএস আমি একটি প্রমাণও পেয়েছি যে সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ, তবে এটি আপনার চেয়ে অনেক বেশি দীর্ঘ, তাই আমি এটি বোঝার চেষ্টা করছি ... সহজতর :-)

— মারজিও ডি বিয়াসি

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

এটি প্রশ্নের উত্তর দেয় না তবে এতে কিছু সহায়ক পর্যবেক্ষণ থাকতে পারে। আমি এটিকে মন্তব্য হিসাবে রাখতে চাইনি কারণ আমি দীর্ঘ, খণ্ডিত মন্তব্যগুলি পড়ার জন্য বিরক্তিকর পেয়েছি

প্রশ্নের আমার মন্তব্যে বর্ণিত সমস্যার সংস্কার:

$n$ $X = \{ x_1, \dots, x_n \}$ $\{0,1\}^m$ $m$

$A,B \subseteq X$

\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x

$\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x$

$X,A,B$ $\mathbb{N}$

আমি বাইনারি ভেক্টরগুলির 2 টি সাবসেটের সন্ধানের কারণে আমি এই সমস্যাকে 2SUBSET-BINARY-VECTOR-SUM বলার প্রস্তাব দিই।

কিছু পর্যবেক্ষণ:

$X$ $x_i,x_j \in X$ $x_i = x_j$ $A = \{x_i\}, B = \{x_j\}$
$X$ $0 \in X$ $A \subseteq X \setminus \{ 0 \}$ $B = A \cup \{ 0 \}$
$A \subset B$ $B$ $A$
$A,B$ $A \subset B$ $X$
$A,B$ $A \cap B \neq \emptyset$

$X$ $A \cup B = X$ $A$ $B$ $S(n,k)$ $n$ $k$ $S(n,3)+S(n,2)$ সম্ভাব্য সমাধান, সুতরাং নিষ্ঠুর শক্তি এখানে সম্ভাব্য নয়।

$\mathbb{N}^m$ $m=1$ $A,B$

$\{1,2,3,5\}$ $A=\{1,2\} , B = \{3\}$ $m>1$ $A,B$

— জন ডি।
সূত্র