গ্রাফগুলিতে আকর্ষণীয় ফাংশন যা দক্ষতার সাথে সর্বাধিকতর করা যায়।

10

বলুন যে, আমি একজন ভরযুক্ত গ্রাফ আছে যেমন যে তৌল ফাংশন - দয়া করে মনে রাখবেন নেতিবাচক ওজন অনুমতি দেওয়া হয়। $G = (V,E,w)$ $w:E\rightarrow [-1,1]$

বলুন যে উল্লম্ব এর কোনও উপসেটের একটি বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করে । $f:2^V\rightarrow \mathbb{R}$ $S \subset V$

প্রশ্ন: এর কয়েকটি আকর্ষণীয় উদাহরণ কী কী যার জন্য সর্বাধিক সমস্যা: সময়ে সম্পাদন করা যায়? $f$ $\arg\max_{S \subseteq V}f(S)$

উদাহরণস্বরূপ, গ্রাফ কাট ফাংশন

f (S) = \sum_{(u, v) \in E : u \in S, v \notin S} w ((u, v))

$f(S) = \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not\in S}w((u,v))$ উপসর্গগুলির একটি আকর্ষণীয় সম্পত্তি শীর্ষে, তবে দক্ষতার সাথে সর্বাধিকতর করা যায় না। প্রান্ত ঘনত্ব ফাংশন হ'ল একটি আকর্ষণীয় সম্পত্তির অন্য উদাহরণ যা হায়, দক্ষতার সাথে সর্বাধিকতর করা যায় না। আমি ফাংশন যে সমানভাবে আকর্ষণীয় খুঁজছি, কিন্তু করতে পারেন দক্ষতার বড় হবে না।

আমি "আকর্ষণীয়" এর সংজ্ঞাটি কিছুটা অস্পষ্ট হতে দেব, তবে আমি চাই যে সর্বোচ্চকরণের সমস্যাটি তুচ্ছ-তুচ্ছ হোক। উদাহরণস্বরূপ এমনটি হওয়া উচিত নয় যে আপনি গ্রাফের প্রান্তগুলি পরীক্ষা না করেই উত্তরটি নির্ধারণ করতে পারবেন (তাই ধ্রুবক ক্রিয়াকলাপগুলি, এবং কার্ডিনালিটির কার্যকারিতা আকর্ষণীয় নয়)। এ ক্ষেত্রেও হওয়া উচিত নয় যে $f$ কেবলমাত্র একটি বহুগুণীয় আকারের ডোমেনের সাথে ডোমেনে প্যাড করে কিছু অন্যান্য ক্রিয়াকলাপটি এনকোড করছে $2^V$ (যেমন আমি চাই না যে এখানে কোনও ছোট ডোমেন $X$ এবং কিছু ফাংশন $m:2^S\rightarrow X$ গ্রাফটি দেখার আগে জানা ছিল যেমন আগ্রহের ফাংশনটি $g:X\rightarrow \mathbb{R}$ , এবং $f(S) = g(m(S))$ যদি এটি হয় তবে "সর্বোচ্চকরণ" সমস্যাটি আসলে সমস্ত ইনপুটগুলিতে ফাংশনটি মূল্যায়নের প্রশ্ন is

সম্পাদনা: তার সত্যিকারের যে কখনও কখনও কম সমস্যার সহজ যদি আপনি প্রান্ত ওজন উপেক্ষা (যদিও কাটা ফাংশন কমানোর না, যেহেতু আমি নেতিবাচক প্রান্ত ওজন অনুমতি) হয়। তবে আমি সর্বাধিক সমস্যার মধ্যে আগ্রহী। যদিও এই সেটিংটিতে এটি প্রাকৃতিক ওজনযুক্ত সমস্যাগুলির মধ্যে পরিণত হয় না।

ds.algorithms graph-theory co.combinatorics

— হারুন রথ
সূত্র

আপনি যেমন ফাংশন একটি উদাহরণ আছে?

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

না, তাই প্রশ্ন। :-)

— অ্যারন রথ

আহ, ঠিক আছে. আমার ধারণা যে কোনও ফাংশন যা দক্ষতার সাথে সমস্ত গ্রাফের জন্য সর্বাধিকতর করা যেতে পারে তা অবশ্যই আগ্রহী হতে হবে না। তবে আকর্ষণীয় ফাংশন থাকতে পারে যা গ্রাফের সীমিত সেটগুলির জন্য দক্ষতার সাথে সর্বাধিকতর করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য, কিছু আকর্ষণীয় ফাংশন দক্ষতার সাথে সর্বাধিকতর করা যেতে পারে, অন্য আকর্ষণীয় ফাংশনগুলিতে এখনও একটি দক্ষ অ্যালগরিদম নেই

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

আমি গ্রাফের সীমিত ক্লাসগুলির ফলাফলগুলি সম্পর্কে উত্তরগুলি দেখতে পেরে খুশি হব যদি আমরা কোনও গ্রাফের মধ্যে সর্বাধিকীকরণযোগ্য কোনও আকর্ষণীয় ফাংশন সম্পর্কে চিন্তা করতে না পারি।

— অ্যারন রথ

এটি সিডব্লিউ হওয়া উচিত নয়? আমরা নির্বিচারে অনেকগুলি উদাহরণ উত্পন্ন করতে পারি এবং সেগুলি "আকর্ষণীয়" বিষয়বস্তু কিনা whether

— Jukka Suomela

5

যখনই প্রান্তের সংখ্যা গণনা করে বুলিয়ান প্রিনিকেটকে সন্তুষ্ট করে আপনার এবং , তবে আপনি যা লিখেছেন তা কেবল একটি বুলিয়ান 2-সিএসপি। উদ্দেশ্য ফাংশনটি ভেরিয়েবলগুলিতে সমস্ত কার্যভারের চেয়ে সন্তুষ্ট ধারাগুলির সংখ্যা সর্বাধিক করতে বলে। এটি এনপি-হার্ড হিসাবে পরিচিত এবং সঠিক কঠোরতার প্রান্তটি ইউজিসি ধরেও পরিচিত (রাঘবেন্দ্র'০ দেখুন)। $f(S)$ $(u,v)$ $u\in S$ $v\in S$

অনেকগুলি প্রাকৃতিক ইতিবাচক উদাহরণ রয়েছে যখন আপনি প্রান্তগুলির সাবসেটগুলি সর্বাধিকতর করতে চান, উদাহরণস্বরূপ, সর্বাধিক মিল এটি ক্ষেত্রে বহুবর্ষীয় সময়ের সমস্যার একটি উদাহরণ।

— মরটিজ
সূত্র

এটি একটি দুর্দান্ত পর্যবেক্ষণ যা এই ধরণের অনেক প্রাকৃতিক সমস্যাকে বাতিল করে।

— অ্যারন রথ

2

ডোমেটিক পার্টিশন / দুর্বল 2-রঙিন।

(এই ক্ষেত্রে যদি প্রতিটি এর এর প্রতিবেশী এবং এর বিপরীতে থাকে। অন্যথায় সহ একটি সমাধান সর্বদা উপস্থিত থাকে কোনও বিচ্ছিন্ন নোড নেই এবং এটি বহুপদী সময়ে সহজেই পাওয়া যায়)) $f(S) = 1$ $v \in S$ $V \setminus S$ $f(S) = 0$ $f(S) = 1$

— জুক্কা সুমেলা
সূত্র

1

সর্বনিম্ন কাটা (বিশেষত, ভার্টেক্স কাটা)।

(এই ক্ষেত্রে ভালো কিছু হবে: 0 যদি সেটে নোড অপসারণ পার্টিশন নেই অন্তত দুই উপাদান, এবং অন্যথায় তারপর বাড়ায়। ন্যূনতম কাটা খোঁজার সমতূল্য , যা বহুপক্ষীয় সময়ে করা যেতে পারে)) $f$ $S$ $G$ $|V| - |S|$ $f$

আপনি ন্যূনতম প্রান্ত কাটার সাথে অনুরূপ একটি অনুরূপ ফাংশনও সংজ্ঞায়িত করতে পারেন।

(উদাহরণস্বরূপ, 0 হলে বা ; অন্যথায় এটা , যেখানে প্রান্ত এক শেষবিন্দু আছে সেট এবং অন্যান্য শেষবিন্দু ।) $f(S)$ $S = \emptyset$ $S = V$ $|E| - |X|$ $X$ $S$ $V \setminus S$

— জুক্কা সুমেলা
সূত্র

ঠিক আছে, তবে এটি ছদ্মবেশে একটি মিনিমাইজেশন সমস্যা, আপনি যখন প্রান্তের ওজনগুলি উপেক্ষা করেন তখন এটি আরও সহজ হতে থাকে। (মনে রাখবেন যে আপনি যদি অ্যাকাউন্টের প্রান্তের ওজন গ্রহণ করেন তবে যেহেতু আমি উল্লেখ করেছি যে আমাদের নেতিবাচক ওজন থাকতে পারে, তবে ন্যূনতম কাটাও একটি কঠিন সমস্যা)। আমি এই পয়েন্টটি জোর দেওয়ার জন্য প্রশ্নটি সম্পাদনা করার চেষ্টা করব।

— অ্যারন রথ

1

সর্বাধিক স্বাধীন সেট।

(এখানে = বিভিন্ন নোডের সংখ্যা যে অন্য কোন নোড সংলগ্ন নয় বিভিন্ন নোডের মধ্যে + NUMBER যে একটি নোড সংলগ্ন হয় । Iff একটি সর্বোচ্চ স্বাধীন সেট আমরা আছে ।) $f(S)$ $S$ $S$ $V \setminus S$ $S$ $S$ $f(S) = |V|$

— জুক্কা সুমেলা
সূত্র

বহুপুত্র সময়ে আপনি সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেটটি কীভাবে খুঁজে পাবেন?

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

1

@ ইয়ারোস্লাভ: লোভের সাথে।

— Jukka Suomela

@ ইয়ারোস্লাভ: ইঙ্গিত - সর্বাধিক এবং সর্বাধিকের মধ্যে পার্থক্য বিশাল। ;-)

— রস স্নাইডার