আমি লিনিয়ার যুক্তি থেকে আসা কয়েকটি সম্ভাব্য উত্তর সম্পর্কে ভাবতে পারি।
সহজতমটি হল অ্যাফাইন ল্যাম্বদা-ক্যালকুলাস: কেবল ল্যাম্বডা-পদ বিবেচনা করুন যেখানে প্রতিটি পরিবর্তনশীল একবারে প্রদর্শিত হবে। এই শর্তটি হ্রাস দ্বারা সংরক্ষণ করা হয় এবং এটি তাত্ক্ষণিকভাবে দেখা যায় যে প্রতিটি হ্রাস পদক্ষেপের সাথে অ্যাফাইন শর্তগুলির আকার কঠোরভাবে হ্রাস পায়। অতএব, টাইপযুক্ত অ্যাফাইন ল্যাম্বদা-ক্যালকুলাস দৃ .়ভাবে স্বাভাবিক হচ্ছে।
আরও আকর্ষণীয় উদাহরণগুলি (অভিব্যক্তির দিক দিয়ে) তথাকথিত "হালকা" ল্যাম্বদা-ক্যালকুলি দ্বারা দেওয়া হয়েছে, "হালকা লিনিয়ার লজিক" (তথ্য ও গণনা 143, 1998)-এ গিরার্ড দ্বারা প্রবর্তিত লিনিয়ার লজিকের সাবসিস্টেমগুলি থেকে উদ্ভূত হয়েছিল লেফন্টের "সফট লিনিয়ার লজিক" হিসাবে (তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান 318, 2004)। সাহিত্যে এরকম বেশ কয়েকটি ক্যালকুলি রয়েছে, সম্ভবত একটি ভাল রেফারেন্স হ'ল টেরুইয়ের "হালকা অ্যাফাইন ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস এবং বহুবর্ষীয় সময়ের শক্তিশালী নরমালাইজেশন" (ম্যাথমেটিক্যাল লজিক 46, 2007 এর সংরক্ষণাগার)। সেই কাগজে, টেরুই হালকা অ্যাফাইন যুক্তি থেকে প্রাপ্ত ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাস সংজ্ঞায়িত করে এবং এর জন্য একটি দৃ normal় স্বাভাবিককরণের প্রমাণ দেয়। কাগজে প্রকারের উল্লেখ থাকলেও এগুলি সাধারণীকরণের প্রমাণে ব্যবহৃত হয় না। এগুলি হালকা অ্যাফাইন ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাসের মূল সম্পত্তির একটি ঝরঝরে সূত্র গঠনের জন্য দরকারী, যেমন একটি নির্দিষ্ট ধরণের শর্তাদি হ'ল পলটাইম ফাংশনকে উপস্থাপন করে। অন্যান্য "হালকা" ল্যাম্বডা-ক্যালকুলি ব্যবহার করে (তেরুয়ের কাগজে আরও উল্লেখ রয়েছে) অনুরূপ ফলাফল প্রাথমিক গণনার জন্য পরিচিত।
পার্শ্ব নোট হিসাবে, এটি পর্যবেক্ষণ করা আকর্ষণীয় যে, প্রুফ-তাত্ত্বিক শর্তে, অ্যাফাইন ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাস সংকোচনের নিয়ম ছাড়াই স্বজ্ঞাত যুক্তির সাথে মিল রাখে। গ্রিশিন পর্যবেক্ষণ করেছেন (লিনিয়ার যুক্তি প্রবর্তনের আগে) যে সংকোচনের অনুপস্থিতিতে, নিষ্পাপ সেট তত্ত্ব (যেমন, সীমাহীন বোঝা সহ) সামঞ্জস্যপূর্ণ (যেমন, রাসেলের প্যারাডক্স একটি বৈপরীত্য দেয় না)। কারণটি হ'ল সংকোচনের ছাড়াই নির্দল সেট-তত্ত্বের কাট-নির্মূলকরণ কোনও সরল আকার-হ্রাস যুক্তি দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে (আমি উপরে যেটি দিয়েছি) যা সূত্রগুলির জটিলতার উপর নির্ভর করে না। কারি-হাওয়ার্ডের চিঠিপত্রের মাধ্যমে এটি ঠিক টাইপড অ্যাফাইন ল্যাম্বদা-ক্যালকুলাসের স্বাভাবিকীকরণ। এটি রৈখিক যুক্তিতে রাসেলের প্যারাডক্সটি অনুবাদ করে এবং "টুইট" করার মাধ্যমে ঘাতক পদ্ধতিগুলি যাতে কোনও দ্বন্দ্ব হতে পারে না যে গিরার্ড হালকা রৈখিক যুক্তি নিয়ে এসেছিল। আমি উপরে উল্লিখিত হিসাবে, গণনার পদে হালকা রৈখিক যুক্তি বহুপদী সময় গণনাযোগ্য ফাংশন একটি বৈশিষ্ট্য দেয়। প্রুফ-তাত্ত্বিক পদগুলিতে, হালকা রৈখিক যুক্তিতে একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ নিখরচায়িত সেট তত্ত্বকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যে সম্ভবত মোট ফাংশনগুলি হ'ল বহুত্ব-কালীন গণনীয় ফাংশন (এটি সম্পর্কে টেরুইয়ের আরও একটি কাগজ রয়েছে, "হালকা অ্যাফাইন সেট থিওরি: একটি নিষ্পাপ) বহুবর্ষীয় সময়ের তত্ত্ব সেট করুন ", স্টুডিয়া লোগিকা 77, 2004)।