কোনও প্রকার সিস্টেম ছাড়াই কীভাবে ল্যাম্বদা ক্যালকুলাসকে শক্তিশালী স্বাভাবিক করা যায়?


9

ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসের মতো এমন কোনও ব্যবস্থা আছে যা এর উপরে কোনও টাইপ সিস্টেম যুক্ত করার প্রয়োজন ছাড়াই শক্তিশালী নরমালাইজিং হয়?


5
প্রশ্নটি কিছুটা ফোকাসবিহীন: "অনুরূপ" বলতে কী বোঝ? সসীম রাষ্ট্রের অটোমেটা কি একই রকম? -calculus গণনার একজন সার্বজনীন মডেল তাই কিছু যে হয় এটি 'অনুরূপ' সম্ভবত বৈশিষ্ট্যটিকে অ সসীম হবে গণনার ফরম হয়। λ
মার্টিন বার্গার

উত্তর:


22

আমি লিনিয়ার যুক্তি থেকে আসা কয়েকটি সম্ভাব্য উত্তর সম্পর্কে ভাবতে পারি।

সহজতমটি হল অ্যাফাইন ল্যাম্বদা-ক্যালকুলাস: কেবল ল্যাম্বডা-পদ বিবেচনা করুন যেখানে প্রতিটি পরিবর্তনশীল একবারে প্রদর্শিত হবে। এই শর্তটি হ্রাস দ্বারা সংরক্ষণ করা হয় এবং এটি তাত্ক্ষণিকভাবে দেখা যায় যে প্রতিটি হ্রাস পদক্ষেপের সাথে অ্যাফাইন শর্তগুলির আকার কঠোরভাবে হ্রাস পায়। অতএব, টাইপযুক্ত অ্যাফাইন ল্যাম্বদা-ক্যালকুলাস দৃ .়ভাবে স্বাভাবিক হচ্ছে।

আরও আকর্ষণীয় উদাহরণগুলি (অভিব্যক্তির দিক দিয়ে) তথাকথিত "হালকা" ল্যাম্বদা-ক্যালকুলি দ্বারা দেওয়া হয়েছে, "হালকা লিনিয়ার লজিক" (তথ্য ও গণনা 143, 1998)-এ গিরার্ড দ্বারা প্রবর্তিত লিনিয়ার লজিকের সাবসিস্টেমগুলি থেকে উদ্ভূত হয়েছিল লেফন্টের "সফট লিনিয়ার লজিক" হিসাবে (তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান 318, 2004)। সাহিত্যে এরকম বেশ কয়েকটি ক্যালকুলি রয়েছে, সম্ভবত একটি ভাল রেফারেন্স হ'ল টেরুইয়ের "হালকা অ্যাফাইন ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস এবং বহুবর্ষীয় সময়ের শক্তিশালী নরমালাইজেশন" (ম্যাথমেটিক্যাল লজিক 46, 2007 এর সংরক্ষণাগার)। সেই কাগজে, টেরুই হালকা অ্যাফাইন যুক্তি থেকে প্রাপ্ত ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাস সংজ্ঞায়িত করে এবং এর জন্য একটি দৃ normal় স্বাভাবিককরণের প্রমাণ দেয়। কাগজে প্রকারের উল্লেখ থাকলেও এগুলি সাধারণীকরণের প্রমাণে ব্যবহৃত হয় না। এগুলি হালকা অ্যাফাইন ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাসের মূল সম্পত্তির একটি ঝরঝরে সূত্র গঠনের জন্য দরকারী, যেমন একটি নির্দিষ্ট ধরণের শর্তাদি হ'ল পলটাইম ফাংশনকে উপস্থাপন করে। অন্যান্য "হালকা" ল্যাম্বডা-ক্যালকুলি ব্যবহার করে (তেরুয়ের কাগজে আরও উল্লেখ রয়েছে) অনুরূপ ফলাফল প্রাথমিক গণনার জন্য পরিচিত।

পার্শ্ব নোট হিসাবে, এটি পর্যবেক্ষণ করা আকর্ষণীয় যে, প্রুফ-তাত্ত্বিক শর্তে, অ্যাফাইন ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাস সংকোচনের নিয়ম ছাড়াই স্বজ্ঞাত যুক্তির সাথে মিল রাখে। গ্রিশিন পর্যবেক্ষণ করেছেন (লিনিয়ার যুক্তি প্রবর্তনের আগে) যে সংকোচনের অনুপস্থিতিতে, নিষ্পাপ সেট তত্ত্ব (যেমন, সীমাহীন বোঝা সহ) সামঞ্জস্যপূর্ণ (যেমন, রাসেলের প্যারাডক্স একটি বৈপরীত্য দেয় না)। কারণটি হ'ল সংকোচনের ছাড়াই নির্দল সেট-তত্ত্বের কাট-নির্মূলকরণ কোনও সরল আকার-হ্রাস যুক্তি দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে (আমি উপরে যেটি দিয়েছি) যা সূত্রগুলির জটিলতার উপর নির্ভর করে না। কারি-হাওয়ার্ডের চিঠিপত্রের মাধ্যমে এটি ঠিক টাইপড অ্যাফাইন ল্যাম্বদা-ক্যালকুলাসের স্বাভাবিকীকরণ। এটি রৈখিক যুক্তিতে রাসেলের প্যারাডক্সটি অনুবাদ করে এবং "টুইট" করার মাধ্যমে ঘাতক পদ্ধতিগুলি যাতে কোনও দ্বন্দ্ব হতে পারে না যে গিরার্ড হালকা রৈখিক যুক্তি নিয়ে এসেছিল। আমি উপরে উল্লিখিত হিসাবে, গণনার পদে হালকা রৈখিক যুক্তি বহুপদী সময় গণনাযোগ্য ফাংশন একটি বৈশিষ্ট্য দেয়। প্রুফ-তাত্ত্বিক পদগুলিতে, হালকা রৈখিক যুক্তিতে একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ নিখরচায়িত সেট তত্ত্বকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যে সম্ভবত মোট ফাংশনগুলি হ'ল বহুত্ব-কালীন গণনীয় ফাংশন (এটি সম্পর্কে টেরুইয়ের আরও একটি কাগজ রয়েছে, "হালকা অ্যাফাইন সেট থিওরি: একটি নিষ্পাপ) বহুবর্ষীয় সময়ের তত্ত্ব সেট করুন ", স্টুডিয়া লোগিকা 77, 2004)।


আমি বলব যে টেরুইয়ের লাইট এফাইন ল্যাম্বা ক্যালকুলাস টাইপ করা হয়েছে, এফাইন ভেরিয়েবল ব্যবহারের উপর বিধিনিষেধের কারণে, অপারেটরদের স্তরবদ্ধ করা হোক এবং একরকমের একাকীত্ব! এই নিষেধাজ্ঞাগুলি অনানুষ্ঠানিকভাবে প্রবর্তিত হয়েছে কেবল এটি। জিরার্ডের এলএলএলও টাইপ করা আছে।
মার্টিন বার্গার

@ মার্টিন: আমি একমত নই হালকা অ্যাফাইন শর্তে আরোপিত কাঠামোগত বাধাগুলি টাইপিং সিস্টেমের চেয়ে আলাদা প্রকৃতির। সর্বাধিক পার্থক্য হ'ল টাইপিং অগত্যা প্ররোচিত হয় যেখানে ভাল গঠন (অর্থাত্ স্তরবিন্যাস, অ্যাফাইন ব্যবহার ইত্যাদি) কোনও পদটির সংযুক্তি হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, আপনি যখন কোনও শব্দ টাইপ করেন তখন আপনাকে সাধারণত তার সাবটার্মগুলি টাইপ করতে হয়, অন্যদিকে একটি স্তরিত পদটির একটি subterm স্তরিত করার প্রয়োজন হয় না।
দামিয়ানো মাজাজা

দুঃখিত, জিরার্ডের এলএলএল সম্পর্কে আরও একটি বিষয়: সিস্টেমটি স্পষ্টতই টাইপ করা হয়েছে কারণ এতে সূত্রগুলি জড়িত। যাইহোক, আমি আমার উত্তরে যেমন উল্লেখ করেছি, এলএলএল কাটা-নির্মূলকরণে সূত্রগুলি মোটেই কোনও ভূমিকা রাখে না। প্রকৃতপক্ষে, সূত্রগুলির স্বেচ্ছাসেবী ফিক্সপয়েন্টগুলি যুক্ত করা যেতে পারে (রাসেলের প্যারাডক্সিকাল সূত্র সহ, যা তার নিজের অবহেলার সমতুল্য!) এলএলএল বেমানান না হয়ে। এর কারণ হ'ল কাট-নির্মূলকরণ "বিশুদ্ধ কাঠামোগত" কারণে স্বতন্ত্রভাবে যে আপনি আপনার প্রমাণগুলির সাথে প্রকারগুলি সংযুক্ত করতে পারেন (প্রযুক্তিগতভাবে, এলএলএল-র জন্য কাট-নির্মূলের উপপাদ্যটি টাইপযুক্ত প্রুফ নেটগুলিতে প্রমাণিত হতে পারে) of
দামিয়ানো মাজাজা

ঠিক আছে, আপনি যদি টাইপিং সিস্টেম হওয়ার শর্ত হিসাবে প্ররোচিত হন। এটি একটি আকর্ষণীয় দৃষ্টিভঙ্গি যা আমি আগে এসে পৌঁছে নি।
মার্টিন বার্গার

... এবং এটি একটি দৃষ্টিভঙ্গি আমি বলব যে এটি বিভ্রান্তিকর। উদাহরণস্বরূপ, সাবটিপিংয়ের সাথে জড়িত সিস্টেমগুলিতে (আরও সাধারণভাবে, যখন রেনল্ডস অর্থে ধরণের বহিরাগত ব্যাখ্যা বিবেচনা করা হয়) টাইপিংয়ের ক্ষেত্রে একটি কেন্দ্রিক দৃষ্টিভঙ্গি গ্রহণ করা খুব স্বাভাবিক। সাহিত্যে বেশ কয়েকটি উদাহরণ রয়েছে (যদিও আমি মনে করি এটি অপ্রস্তুত)।
নোয়ম জিলবার্গার

12

চার্চ এবং রোজারের মূল কাগজ, "রূপান্তরগুলির কিছু সম্পত্তি" এমন কিছু বর্ণনা করে যা আপনি যা খুঁজছেন তার একটি উদাহরণ হতে পারে।

আপনি যদি কঠোর ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস ব্যবহার করেন , যেখানে প্রতিটি ঘটনায় আপনার কাছে উপস্থিত থাকে তবে কোনও ধরণের সিস্টেম ছাড়াই নিম্নলিখিত সম্পত্তিটি ধরে রাখে (এটি চার্চ এবং রোজারের কাগজে থিওরেম 2) রয়েছে:λএক্সএমএক্সএম

যদি বি এর একটি সাধারণ রূপ একজন, তারপর একটি সংখ্যা আছে মি হ্রাস যে কোনও ক্রম থেকে শুরু একজন পরিচালিত হবে বি [মডুলো আলফা সমতুল্যতা] সর্বোপরি মি হ্রাস।

এইভাবে, যদিও আপনি (টাইপযুক্ত) কড়া ল্যাম্বদা ক্যালকুলাসে অ-টার্মিনেটিং পদগুলি লিখতে পারেন, একটি সাধারণ ফর্মযুক্ত প্রতিটি পদ দৃ strongly়রূপে স্বাভাবিক হয়; অর্থাত্ হ্রাসের প্রতিটি ক্রম সেই অনন্য স্বাভাবিক ফর্মে পৌঁছে যাবে।


1
কিছু মতবিরোধ হয় মিউপসংহারে উপস্থিত হয় না।
আন্দ্রেজ বাউর

ধন্যবাদ, এবার প্রায় উপপাদ্য বিবৃতি সমাপ্ত। আমি যে অংশটি [মোডুলো আলফা সমতুল্য] হিসাবে লিখেছি সেটি মূলত "(রুল আই-এর প্রয়োগগুলির মধ্যে)" যার অর্থ একই জিনিস যা আমি নিয়মটি সঠিকভাবে স্মরণ না করে তা না হলে।
রব সিমন্স

10

নিল জোন্স এবং নিনা বোহরের একটি মজাদার বিষয় এখানে:

শিরোনামহীন কল-বাই-মান সমাপ্তি λ-calculus

এটি দেখায় যে কীভাবে আকার-পরিবর্তন বিশ্লেষণ (এক ধরণের নিয়ন্ত্রণ প্রবাহ বিশ্লেষণ যা অসীম লুপগুলি সনাক্ত করে) কীভাবে টাইপ করা যায় নাλ-terms। এটি অনুশীলনে বেশ সুন্দর, তবে অবশ্যই এটি সীমাবদ্ধλসংজ্ঞায়িত ধ্রুবক ছাড়াই শর্তাদি (যদিও পদ্ধতিটি আরও সাধারণ ব্যবহারে প্রসারিত হতে পারে)।

টাইপিংয়ের সুবিধাটি অবশ্যই কম জটিলতার ব্যয় এবং পদ্ধতির মড্যুলারিটি উভয়ই: সাধারণভাবে সমাপ্তির বিশ্লেষণগুলি খুব অ-মডুলার হয় তবে টাইপিংটি "টুকরা-টু-পিস" করা যায়।


এটা সত্যিই আকর্ষণীয়!
মাইয়াভিক্টর
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.