ন্যূনতম টিএসপি সফরের সহ-এনপি-পূর্ণতা?

এই সমস্যাটি আমার সাম্প্রতিক ব্লগ পোস্ট থেকে প্রকাশিত হয়েছে , ধরুন আপনাকে একটি টিএসপি ট্যুর দেওয়া হয়েছে, এটি কোনও ন্যূনতম কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য এটি সহ-এনপি-সম্পূর্ণ?

আরও স্পষ্টভাবে নীচের সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ:

দৃষ্টান্ত: ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার এবং একটি সাধারণ চক্র সি দিয়ে ভরযুক্ত প্রান্তগুলি সহ একটি সম্পূর্ণ গ্রাফ জি দেওয়া হয়েছে যা জি এর সমস্ত নোডগুলি পরিদর্শন করে visits

প্রশ্ন: জি এর সমস্ত নোড ঘুরে এমন কোনও সাধারণ চক্র ডি আছে যে জিতে ডি এর সমস্ত প্রান্তের মোট ওজন জি এর সি এর সমস্ত প্রান্তের মোট ওজনের চেয়ে কঠোরভাবে কম?

np-hardness

— ল্যান্স ফোর্ট্নো
সূত্র

এটি এনপি-সম্পূর্ণ কিনা তা প্রমাণ করার জন্য সম্ভাব্য হ্রাসের স্কেচ।

অনানুষ্ঠানিকভাবে এটি পরিবর্তিত 3 এসএটি সূত্র থেকে শুরু হয় যা 3SAT এএসপি-সম্পূর্ণ (অন্য একটি সমাধান সমস্যা) দেখানোর জন্য ব্যবহৃত হয়, এবং হ্রাসের মানক শৃঙ্খলা 3SAT => প্রত্যাহারকৃত হামিকেল => বিহীন হামিকেল => টিএসপি "অনুসরণ করে"

একটি 3SAT সূত্র দিয়ে শুরু করুন সঙ্গে ভেরিয়েবল এবং caluses $\varphi$ $n$ $x_1,...x_n$ $m$ ; $C_1,...,C_m$
এটি একটি নতুন সূত্রে ট্র্যাসফর্ম করুন একটি নতুন পরিবর্তনশীল যোগ ...; $\varphi'$ $t$
... এবং প্রতিটি ধারা থেকে প্রসারিত করা হচ্ছে $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$ ; $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
থেকে বিল্ড হিরে গঠন গ্রাফ প্রমাণ করতে হবে যে নির্দেশ হ্যামিল্টনিয়ান চক্র দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হয়েছে ব্যবহৃত; অনুমান করা প্রতিটি দফা নোড মিলা মধ্যে ; $\varphi'$ $G = \{V,E\}$ $C_j$ $N_j$ $G$
গ্রাফ পরিবর্তন করুন $G$ প্রতিটি নোডের প্রতিস্থাপন তিনটি লিঙ্ক নোড সঙ্গে এবং প্রান্ত মান UNDIRECTED হ্যামিল্টনিয়ান চক্রের দ্বারা NP-সম্পূর্ণতার প্রমাণ করার জন্য ব্যবহৃত হ্রাস অনুযায়ী সংশোধন নির্দেশ হ্যামিল্টনিয়ান চক্র থেকে অর্থাত্ $G' = \{V',E'\}$ $u$ $u_1, u_2, u_3$ $u_1$ হল আগত প্রান্তগুলির জন্য ব্যবহৃত নোড, বহির্গামী প্রান্তগুলির জন্য ব্যবহৃত নোড; $u_3$
উপর UNDIRECTED হ্যামিল্টনিয়ান চক্র উদাহরণস্বরূপ রূপান্তর $G'$ একটি টিএসপি ক্ষেত্রটিকেই যা সব প্রান্ত ওজন , Diamond (অনন্য) প্রান্ত "পজিটিভ" নিয়োগ করা যাচ্ছে ব্যতীত যা ওজন (নীচের চিত্রে লাল প্রান্ত); অবশেষে প্রান্তগুলিকে সম্পূর্ণ করতে যুক্ত করা হয়েছে ওজন । $T$ $G'$ $w = 1$ $t$ $w = 2$ $G'$ $w = 3$

স্পষ্টত টিএসপি উদাহরণস্বরূপ একটি সহজ চক্র আছে ভিজিট সব নোড যার পরিতৃপ্ত নিয়োগ সাথে সঙ্গতিপূর্ণ যা $T$ $\varphi'$ (এবং এই সফর সহজে বহুপদী সময় নির্মাণ করা যেতে পারে), কিন্তু এটা মোট ওজন হয়েছে (কারণ এটি নির্ধারিত প্রান্তটি সাথে ওজনযুক্ত যা ব্যবহার করে) uses আরেকটি সহজ চক্র আছে একটি নিম্ন মোট ওজন সঙ্গে ভিজিট সব নোড $t = true$ $|V'|+1$ $t = true$ $T$ $|V'|$ যদি এবং কেবলমাত্র ওজন এর প্রান্তটি ; কিন্তু এই সত্য হতে পারে যদি এবং কেবল যদি মূল সূত্র Satisfiable হয়। $2$ অ্যাসাইনমেন্টের সাথে মিল রেখে ব্যবহৃত হয় না; বা equivalently যদি এবং কেবল যদি সেখানে আরেকটি পরিতৃপ্ত নিয়োগ হয় যা $t = true$ $\varphi'$ $t = false$ $\varphi$

আমি এটি সম্পর্কে আরও চিন্তা করব, এবং আমি একটি আনুষ্ঠানিক প্রমাণ লিখব (যদি এটি ভুল হিসাবে দেখা না যায় :-)। উপরের এক বা একাধিক অনুচ্ছেদ সম্পর্কে আপনার আরও বিশদ বিবরণ প্রয়োজন কিনা তা আমাকে জানান।

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

ডোমোটরপ দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে একটি আকর্ষণীয় পরিণতি হ'ল নিম্নলিখিত সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ: গ্রাফ এবং এতে একটি হ্যামিলটনীয় পথ দেওয়া হয়েছে, $G$ একটি হ্যামিল্টনিয়ান চক্র আছে? $G$

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

সুতরাং আপনি মূলত দেখান যে এটিতে কোনও গ্রাফ এবং এইচ-পাথ দেওয়া হয়েছে, এটির এইচ-চক্র রয়েছে কিনা তা ঠিক করে এনপিসি ঠিক আছে?

— ডমোটরপ

দুর্দান্ত লাগছে। লেখার চেষ্টা করার জন্য ধন্যবাদ। আমার প্রশ্নকে সরাসরি সম্বোধন করার জন্য কয়েকটি পরিবর্তন: গ্রাফের প্রান্তগুলি 1 টি ওজন করা উচিত that বিশেষ প্রান্ত ব্যতীত যা 2 ওজন হওয়া উচিত এবং প্রান্তগুলি ওজন হওয়া উচিত

— ল্যান্স ফোর্টনো

আপনি যদি

থেকে সেই নির্দিষ্ট প্রান্তটি মুছে

তবে

G

$G$

এইচ-পাথ হয়ে যায় এবং

একটি এইচ-চক্র হিসাবে থাকবে, সুতরাং আপনি মূলত আমি যা লিখেছি তা দেখাতে হবে, তাই না? আমার কাছে এই বক্তব্যটি মূল প্রশ্নের চেয়ে আরও আকর্ষণীয় দেখায়।

H_{1}

$H_1$

H_{2}

$H_2$

— ডোমোটরপ

@ ডমোটরপ: ঠিক বলেছেন! :)

— মারজিও দে বিয়াসি

arxiv.org/pdf/1403.3431.pdf মার্জিও ডি বায়াসি লিখেছেন

— টি ....

পাপাদিমিট্রিও এবং স্টিগলিটজ (1977) এই সমস্যার এনপি-সম্পূর্ণতা দেখিয়েছে।

— মার্কাস রিট
সূত্র

আউচ ... আমার কিছুটা "পুনর্নির্মাণের চাকা" অনুভূতি রয়েছে :-) কাগজটি সিয়াম পেওয়ালের পিছনে রয়েছে, প্রমাণটি কি আমার মতো?

— মারজিও ডি বায়াসি

আমার কাছে কাগজে অ্যাক্সেস নেই, তবে আপনি প্রমাণগুলি তাদের বইয়ের অনুচ্ছেদ 19.9 এও খুঁজে পেতে পারেন যা আরও অ্যাক্সেসযোগ্য হতে পারে।

— মার্কাস রিট

G

$G$

G^{'}

$G'$

G

$G$

@ মারজিও ডি বায়াসি আমার মনে হয় কাগজ আপডেট করা ভাল। আপনার বিকল্প প্রমাণ এখনও আকর্ষণীয়।

— মার্কাস রিট