গণনায় প্রকৃত সংখ্যাগুলি কীভাবে নির্দিষ্ট করা হয়?

Question

এটি একটি প্রাথমিক প্রশ্ন হতে পারে তবে আমি ন্যাশ ভারসাম্য গণনা এবং লিনিয়ার ডিজেনার্সি পরীক্ষার মতো বিষয়গুলি সম্পর্কিত কাগজপত্রগুলি পড়তে এবং বুঝতে চেষ্টা করেছি এবং আসল সংখ্যা কীভাবে ইনপুট হিসাবে নির্দিষ্ট করা হবে সে সম্পর্কে আমি অনিশ্চিত হয়ে পড়েছি। উদাহরণস্বরূপ, যখন এলডিটির নির্দিষ্ট বহুত্বীয় সীমানা রয়েছে বলে উল্লেখ করা হয়, আসল সংখ্যাগুলি যখন ইনপুট হিসাবে বিবেচিত হয় তখন কীভাবে নির্দিষ্ট করা হয়?

Comments

: আপনি সুদের এখানে আলোচনা হতে পারে en.wikipedia.org/wiki/Computable_number

— জোসেফ Malkevitch

কারও এই নিবন্ধগুলি নিখরচায় লো-লোডযোগ্য ই-বুকের সাথে রাখা উচিত put

— দিলোয়ার

Answer 1

কাভেহের আপনার গৃহীত উত্তরের সাথে আমি একমত নই। লিনিয়ার প্রোগ্রামিং এবং ন্যাশ ভারসাম্যের জন্য, ভাসমান পয়েন্টটি গ্রহণযোগ্য হতে পারে। তবে ভাসমান পয়েন্ট সংখ্যা এবং গণনা জ্যামিতি খুব খারাপভাবে মিশ্রিত হয়: রাউন্ডফ ত্রুটিটি অ্যালগোরিদমের সংযুক্তি অনুমানগুলি অবৈধ করে দেয়, প্রায়শই তাদের ক্রাশ করে। আরও নির্দিষ্টভাবে, প্রচুর গণ্য জ্যামিতি অ্যালগোরিদম আদিম পরীক্ষার উপর নির্ভর করে যা প্রদত্ত মানটি ধনাত্মক, নেতিবাচক বা শূন্য কিনা তা পরীক্ষা করে। যদি সেই মানটি শূন্যের খুব কাছাকাছি থাকে এবং ভাসমান পয়েন্ট রাউন্ডঅফের কারণে এটি ভুল চিহ্ন হতে পারে তবে খারাপ জিনিস ঘটতে পারে।

পরিবর্তে, ইনপুটগুলি প্রায়শই পূর্ণসংখ্যার স্থানাঙ্ক থাকে বলে ধরে নেওয়া হয় এবং মধ্যবর্তী ফলাফলগুলি প্রায়শই হুবহু উপস্থাপন করা হয়, হয় অতিরিক্ত প্রবাহ এড়াতে পর্যাপ্ত উচ্চ নির্ভুলতার সাথে যুক্তিযুক্ত সংখ্যা হিসাবে বা বীজগণিত সংখ্যা হিসাবে। এই সংখ্যার সাথে ভাসমান পয়েন্ট আনুমানিকতাগুলি গণনাগুলিকে গতি বাড়ানোর জন্য ব্যবহৃত হতে পারে তবে কেবলমাত্র এমন পরিস্থিতিতে যেখানে সংখ্যাটি শূন্য থেকে অনেক দূরে থাকার নিশ্চয়তা দেওয়া যেতে পারে যে সাইন টেস্টগুলি সঠিক উত্তর দেবে।

কম্পিউটেশনাল জ্যামিতির বেশিরভাগ তাত্ত্বিক অ্যালগোরিদম কাগজগুলিতে, এই বিষয়টিটি ধরে নেওয়া হয় যে ইনপুটগুলি হুবহু প্রকৃত সংখ্যা এবং আদিমরা ইনপুট মানগুলিতে নিম্ন-ডিগ্রি পলিনোমিয়ালের শিকড়গুলির লক্ষণগুলির সঠিক পরীক্ষা। তবে আপনি যদি জ্যামিতিক অ্যালগরিদমগুলি বাস্তবায়ন করছেন তবে এগুলি সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে।

Comments

আমি কাভেহের উত্তরের অংশটি পছন্দ করেছি যেখানে তিনি পরামর্শ দিয়েছিলেন যে সেখানে গণনার বিকল্প মডেল রয়েছে, কারণ এটি মনে হয়েছিল যে আমি যে পত্রিকায় দেখছিলাম তাতে আমি যা পড়েছি তার সাথে সামঞ্জস্য রয়েছে। এটি বলেছিল, আমি উত্তরটি সত্যিই জানতাম না ... আমি আপাতত কাভেহের উত্তর অ-গ্রহণ করেছি। আমি আসলে সন্দেহ করেছিলাম যে বীজগণিত সংখ্যার সাথে এর কিছু থাকতে পারে। যাইহোক, আমার প্রশ্নটিতে সময় দেওয়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ ... আমি উত্তরটি গ্রহণ করার আগে আমি আরও চিন্তা করব এবং আরও পড়ব।

— ফিলিপ হোয়াইট

আমি এটি বলিনি যে এটি সিজির পক্ষে একটি ভাল মডেল, আমার বক্তব্যটি ছিল লেখকরা ইনপুটগুলি আসল সংখ্যা বলেও যখন তারা সত্যিকারের আসল সংখ্যা নয় । আমি আপনার সাথে একমত যে আমার অন্যদের মধ্যে সিজি অন্তর্ভুক্ত করা উচিত ছিল না। আমি খুব কম সংখ্যক সিজি পেপার পড়েছি, তাত্ত্বিক সিজি পেপারগুলিতে কি বিএসএস মডেলটি সুপ্রতিষ্ঠিত?

— কাভেহ

আমার অজ্ঞতা ক্ষমা করুন, তবে বিএসএস কী দাঁড়াবে?

— ফিলিপ হোয়াইট

বিএসএস মডেল একটি তাত্ত্বিক মডেল যা ধরে নেয় যে স্বেচ্ছাসেবী আসল সংখ্যাগুলি উপলব্ধ। সিজিতে যা করা হয় তাতে এমন একটি মডেলের বাস্তব বাস্তবায়ন জড়িত যা সাধারণত বীজগণিত সংখ্যায় সীমাবদ্ধ থাকে। এছাড়াও সিজি বাস্তবায়নগুলি প্রতি অপারেশন ইউনিট ব্যয় থেকে অনেক দূরে। সুতরাং তারা একই জিনিস না। উদাহরণস্বরূপ দেখুন এলইডিএ

— ডেভিড

@ কাভাহ: না জ্যামিতিক অ্যালগোরিদমগুলি কেবলমাত্র যুক্তিযুক্ত ইনপুট নয়, স্বেচ্ছাসেবক রিয়েল ইনপুট জন্য, সত্যিকারের র্যাম মডেলটিতে সঠিক হতে ডিজাইন করা হয়েছে। বিশেষত, জ্যামিতিক অ্যালগরিদম রয়েছে যা সঠিকভাবে প্রয়োগ করা যায় না , কারণ তারা আদিম ব্যবহার করে যা বাস্তব র‌্যামের উপর তুচ্ছ হয় তবে যার জন্য কোনও কার্যকর অ্যালগরিদম (বাস্তববাদী) পূর্ণসংখ্যার র‌্যামের জন্য পরিচিত হয় না। বর্গমূলের সমস্যার সমষ্টিটির সর্বোত্তম উদাহরণ: দুটি সেট এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার দেওয়া, কি ? $S$$T$$\sum_{s\in S} \sqrt{s} > \sum_{t\in T}\sqrt{t}$

— জেফি

Answer 2

মডার্ন এক্সট্যাক্ট রিয়েল এরিমেটিক ইন দ্য ইন্টারভাল ডোমেন অফ রোলের অন্দ্রেজ বাউরের আলাপের দিকেও আপনার নজর থাকতে পারে , যা তত্ত্ব ও অনুশীলনে উভয়ই আসল সংখ্যার উপর ভিত্তি করে গণনা নির্দিষ্টকরণের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতির কয়েকটি জরিপ করে।

Answer 3

এটি আপনার প্রশ্নের সরাসরি উত্তর নয়, রাফেলের আরও প্রতিক্রিয়া । সম্প্রতি বেশ কয়েকটি কাজ হয়েছে সিন্ডাকশন ব্যবহার করে আসল নম্বর গণনা নির্দিষ্ট করে। এখানে বিষয় সম্পর্কে কিছু নিবন্ধ দেওয়া হয়েছে।

• সঠিক রিয়েল নাম্বার গণনার জন্য সমন্বয় , আলরিখ বার্গার এবং টাই হউ: কম্পিউটারের সিস্টেমের ভলিউম 43, নম্বর 3-4, 394-409, ডিওআই: 10.1007 / s00224-007-9017-6

• নির্ভুল রিয়েল এথমেটিক, মিলাদ নিকি, কম্পিউটার বিজ্ঞানে যৌক্তিক পদ্ধতিতে সমন্বয়মূলক আনুষ্ঠানিক যুক্তি , 4 (3: 6): 1-40, 2008।

• ডুসকো পাভলভিক এবং মার্টিন এসকার্ডো, এলআইএসএস 1998 দ্বারা কন্ডাক্টিব ফর্মে ক্যালকুলাস ।

তারা বাস্তব সংখ্যার গণনার সম্পূর্ণ বর্ণালীটি খুব কমই কভার করে, তবে বিভিন্ন সমস্যা থেকে দূরে সরিয়ে অগ্রগতি হচ্ছে।

Comments

চমৎকার ধারণা কিন্তু যেহেতু আপনি শুধুমাত্র countably অনেক coinductive সংজ্ঞা থাকতে পারে, এই পদ্ধতির পুরো ঢেকে না পারেন, । আমি কি কিছু উপেক্ষা? অথবা আমি ভুল বুঝেছি এবং লক্ষ্যটি হ'ল কমপক্ষে আরও কয়েকটি সংখ্যার হুবহু প্রতিনিধিত্ব করা? $\mathbb{R}$

— রাফেল

ভাল যুক্তি. সমন্বিত পদ্ধতির সীমাবদ্ধতা কী তা আমি নিশ্চিত নই। পদ্ধতিটি তার শৈশবকালীন।

— ডেভ ক্লার্ক

Answer 4

আসল সংখ্যার তুলনায় গণনার জটিলতা ব্লুম, কাকার, শুব এবং সমালে বিবেচনা করে । এখানে বইটির আংশিক বিবরণ দেওয়া হল:

গিওডেল, টুরিং, চার্চ এবং ক্লিনের কাজের মধ্যে গণনার শাস্ত্রীয় তত্ত্বটির উত্স রয়েছে এবং এটি তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের জন্য একটি ব্যতিক্রমী সাফল্য কাঠামো ছিল। এই বইটির থিসিসটি হ'ল এটি আধুনিক বৈজ্ঞানিক গণনার জন্য অপর্যাপ্ত ভিত্তি সরবরাহ করে যেখানে বেশিরভাগ অ্যালগরিদমগুলি আসল সংখ্যার অ্যালগোরিদম। এই বইয়ের লক্ষ্য গণনার একটি আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব বিকাশ যা শাস্ত্রীয় তত্ত্বের প্রধান থিমগুলিকে একীভূত করে এবং যা গণিত, সংখ্যা বিশ্লেষণ এবং বৈজ্ঞানিক কম্পিউটিংয়ের সমস্যার ক্ষেত্রে আরও সরাসরি প্রযোজ্য। পথে, লেখকরা যেমন মৌলিক সমস্যাগুলি বিবেচনা করেন: ম্যান্ডেলব্রোটটি কি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য? সহজ চতুষ্কোণ মানচিত্রের জন্য, জুলিয়া কি একটি হোলিং সেট সেট করেছে? নিউটনের আসল জটিলতা কী ' এর পদ্ধতি? একটি দীর্ঘমেয়াদী পদক্ষেপে ন্যাপস্যাক সমস্যা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য কি অ্যালগরিদম আছে? হিলবার্ট নুলস্টেলেনস্যাটজ কি অন্তরায়? চার ডিগ্রি পলিনোমিয়াল ইন্ট্রাক্টেবলের প্রকৃত শূন্যের অবস্থান নির্ধারণের সমস্যাটি কি? লিনিয়ার প্রোগ্রামিং বাস্তবের উপর নির্ভরযোগ্য?

আপনি এসিএম সাইন্ট নিউজে এই বইটির একটি পর্যালোচনা পেতে পারেন ।

Comments

এই বইটি খুব আকর্ষণীয় দেখাচ্ছে, আপনাকে ধন্যবাদ।

— ফিলিপ হোয়াইট

আপনাকে স্বাগতম.

— এমএস দৌস্তি

এটা লক্ষ্য করার মতো যে, রিয়েলসের তুলনায় বিএসএসের মডেলটি বিতর্কিত, কারণগুলি ডেভিড এপস্টিনের উপরের মন্তব্যে উল্লেখ করেছেন তার মতোই। উদাহরণস্বরূপ: বিএসএস অ্যাক্সিয়ম যে x <y এক সময় পদক্ষেপ নেয় কিনা তা নির্ধারণ করে চলেছে স্বেচ্ছাসেবী বাস্তব ও x এর জন্য । বিপরীতে, টাইপ টু এফ্যাকটিভিটি (টিটিই) এর মতো পদ্ধতির মেশিনগুলি সংজ্ঞায়িত করে যা বাস্তবগুলির কাছে ইনপুট আনুমানিক হিসাবে গ্রহণ করে এবং বাস্তবগুলির উপর ফাংশনগুলিতে গণনাযোগ্য আনুমানিকতা আউটপুট দেয়। যত বেশি সময় ব্যয় হয় ততই ভাল ইনপুট এবং আউটপুট আনুমানিকতা হয়ে উঠতে পারে। এই পদ্ধতিটি আমার কাছে আরও বাস্তববাদী বোধ করে।

— অ্যারন স্টার্লিং

@ অ্যারন স্টার্লিং: আপনি কি টাইপ টু কার্যকরতার জন্য একটি ভাল রেফারেন্স জানেন?

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া গ্রাচো: দুঃখিত আমি এর আগে তাড়াতাড়ি পেলাম না। কাভাহ বইটির সাথে লিঙ্কটি টিটিইর "নীলসেন এবং চুয়াং"। তবে এটি এতোটাই স্বরলিপিযুক্ত যে এটি কোনও নৈমিত্তিক পাঠকের কাছে মনে হয় আরকান। পরিবর্তে আমি ভাস্কো ব্র্যাটকার নীচের টিউটোরিয়াল স্লাইডগুলি প্রস্তাব করব: cca-net.de/vasco/cca/tutorial.pdf

— অ্যারন স্টার্লিং

Answer 5

মন্তব্যের ভিত্তিতে সম্পাদিত / সংশোধন করা হয়েছে

লেখকেরা যখন লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের আসল সংখ্যার ইনপুট সম্পর্কে কথা বলেন, ন্যাশ ভারসাম্য গণনা, ... বেশিরভাগ গবেষণাপত্রে (যেসব কাগজপত্র আসল সংখ্যার তুলনায় গণনা / জটিলতার বিষয় নয়) তারা সত্যিকারের সংখ্যাকে বোঝায় না। এগুলি যুক্তিযুক্ত সংখ্যা এবং সংখ্যা যা তাদের ম্যানিপুলেশনগুলির কারণে (বীজগণিত সংখ্যার) কারণে উত্পন্ন হয়। সুতরাং আপনি এগুলিকে সীমাবদ্ধ স্ট্রিং দ্বারা উপস্থাপিত হিসাবে ভাবতে পারেন।

অন্যদিকে, যদি কাগজ বিশ্লেষণে গণনাযোগ্যতা এবং জটিলতায় থাকে তবে তারা গণনার সাধারণ মডেলটি ব্যবহার করছে না, এবং বাস্তব সংখ্যার তুলনায় গণনা / জটিলতার বিভিন্ন বিবিধ মডেল রয়েছে।

যদি কাগজটি প্রকৃত সংখ্যাগুলির তুলনায় গণনার কোনও মডেল নির্দিষ্ট করে না, আপনি নিরাপদে ধরে নিতে পারেন যে এটি প্রথম কেস, অর্থাত্ এগুলি কেবল যুক্তিযুক্ত সংখ্যা।

গণনা জ্যামিতি পৃথক। সিজি-র বেশিরভাগ কাগজে, লেখকরা কোন মডেলটি নির্দিষ্ট করেন না যা তার সম্মানের সাথে একটি অ্যালগরিদমের যথার্থতা এবং জটিলতা নিয়ে আলোচনা করা হয়, তবে এটি বিএসএস (ওরফে রিয়েল-র‌্যাম) মডেল হিসাবে ধরে নেওয়া যেতে পারে।

মডেলটি বাস্তবসম্মত নয় এবং তাই বাস্তবায়নটি সরাসরি-সামনের নয়। (এটি একটি কারণ যা সিসিএ-তে কিছু লোক কো-ফ্রেডম্যান / টিটিই / ডোমেন তাত্ত্বিক মডেলগুলিকে পছন্দ করে তবে এই মডেলগুলির সমস্যা হ'ল তারা অনুশীলনে ভাসমান-বিন্দু গণনার তুলনায় তত দ্রুত নয়)) এর সঠিকতা এবং জটিলতা বিএসএস মডেলটিতে অ্যালগরিদম অগত্যা বাস্তবায়িত অ্যালগরিদমের যথার্থতায় স্থানান্তরিত করে না।

ওয়েহরাউচের বইটিতে বিভিন্ন মডেলের (বিভাগ 9.8) মধ্যে একটি তুলনা রয়েছে। এটি কেবল তিনটি পৃষ্ঠা এবং পড়া মূল্যবান।

(তৃতীয় উপায়ও রয়েছে, যা সিজির পক্ষে আরও উপযুক্ত হতে পারে, আপনি এই কাগজটি একবার দেখে নিতে পারেন:

চি ইয়াপ, " ইসিজি অনুসারে রিয়েল গণনার তত্ত্ব "

যেখানে ইসিজি হ'ল জ্যামিতিক গণনা ))

Comments

আমি মনে করি যে কাগজটিতে আমি প্রাথমিকভাবে আগ্রহী একটি মডেল নির্দিষ্ট করে, এতে এই বাক্যটি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, "আমরা এখন আমাদের গণনার মডেলটি আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করি।" কাগজটিকে "সন্তুষ্টিজনিত সমস্যার জন্য লোয়ার সীমা" বলা হয় এবং এখানে লিনিয়ার সিদ্ধান্ত গাছ এবং ক্যোয়ারী বহুপদী সম্পর্কে কিছু আলোচনা হয় বলে মনে হয়। সুতরাং, আমি মনে করি যে এটিই আমি সেখানে উত্তর খুঁজছিলাম ... ধন্যবাদ। আমি কাগজটি আবার পড়ব এবং আমি এটি বুঝতে পারি কিনা তা দেখুন।

— ফিলিপ হোয়াইট

আমি একমত নই এটি গণনা জ্যামিতির জন্য ভুল মডেল। নীচে আমার আরও বিস্তারিত উত্তর দেখুন।

— ডেভিড এপস্টিন

@ কাভেঃ আমার ধারণা আপনার উচিত উচিৎ যে এগুলি যুক্তিযুক্ত সংখ্যা, ভাসমান-পয়েন্ট সংখ্যা নয়। সুনির্দিষ্ট স্ট্রিং দ্বারা যথাযথ যুক্তিযুক্ত সংখ্যাগুলি উপস্থাপন করা সহজ, এবং অনেকগুলি অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে (যেমন লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের সাথে সম্পর্কিত) মধ্যবর্তী ফলাফলগুলিও যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা হবে যদি আপনার ইনপুটগুলি যুক্তিযুক্ত সংখ্যা হয়। (অবশ্যই, ডেভিড এপস্টিন যেভাবে বলেছিলেন, কমপ্যাক্ট জিওম। এই অর্থে একটি উল্লেখযোগ্য ব্যতিক্রম যে মধ্যবর্তী ফলাফলগুলি সাধারণত যুক্তিযুক্ত হয় না।)

— জুলকা সুমোলা

@ জুক্কা: আপনি ঠিক বলেছেন, আমি ভাসমান-পয়েন্টটি যুক্তিযুক্ত সাথে প্রতিস্থাপন করব।

— কাভেহ

নাঃ। আমি যখন "আসল সংখ্যা" লিখি তখন আমার সত্যিকার অর্থে "আসল সংখ্যা" হয় এবং এর মাধ্যমে আমি সত্যিকার অর্থে সত্যিকারের আসল সংখ্যাটি বোঝায় । সত্যিই। বিশেষত, @ ফিলিপ সম্পর্কিত কাগজে, আমাকে ধরে নিতে হবে অ্যালগোরিদমগুলি নির্বিচারে আসল ইনপুটটির জন্য কাজ করে , যাতে আমি অ-মানক বিশ্লেষণ থেকে ফলাফল প্রয়োগ করতে পারি।

— জেফি

Answer 6

তারা হয় না এবং তারা সাধারণভাবে করতে পারে না। আমরা আমাদের গণনার মডেলগুলির সাহায্যে কেবলমাত্র একটি গণনাযোগ্য ইনপুট (এবং আউটপুট এবং ফাংশন) চিকিত্সা করতে পারি। বিশেষত, কোনও ইনপুট সীমাবদ্ধ হতে হয় তবে সমস্ত আসল সংখ্যার সীমাবদ্ধ প্রতিনিধিত্ব থাকে না।

আপনি অনুমান করতে পারেন, আপনি অনুমান করতে পারেন এমন একধরণের ওরাকল যা অনুরোধের ভিত্তিতে একটি নির্দিষ্ট আসল সংখ্যার পরবর্তী অঙ্ক দেয় (স্ট্রিমের মতো)। অন্যথায় আপনাকে (নির্বিচারে সুনির্দিষ্ট) আনুমানিকতার সাথে বাঁচতে হবে।

Comments

যদি এটি সত্য হয় তবে এলডিটি কীভাবে আসল সংখ্যাগুলি মোকাবেলা করতে পারে? আমি "আর-লিনিয়ার ডিসিশন ট্রি" সম্পর্কে কিছু পড়েছি তবে কাগজে তারা কী বলছে তা সত্যিই বুঝতে পারিনি, "লিনিয়ার স্যাটিসিফাইবিলিটি সমস্যাগুলির জন্য লোয়ার সীমা"।

— ফিলিপ হোয়াইট

আমি বাজি ধরছি তারা হয় না পারে তারা ট্যুরিং মেশিন (বা সমতুল্য সংযুক্তি) ব্যবহার করে না। অন্যান্য উত্তরগুলি যা আমার মতো কঠোর / সাধারণ নয়, সেগুলি সম্পর্কে এই বিষয়ে কিছুটা আলোকপাত করা উচিত।

— রাফেল