সমক্ষেত্রে সমান রঙিন সাবট্রায়ঞ্জল প্রতিরোধের ন্যূনতম পরিমাণে রঙ

13

ইন Bundeswettberweb Infomatik 2010/2011, সেখানে একটি আকর্ষণীয় সমস্যা ছিল:

স্থির জন্য একটি ন্যূনতম এবং একটি মানচিত্র , কোন ট্রিপল আছে যেমন যে সঙ্গে $n$ $k$ $\varphi: \{(i,j)|i\leq j \leq n\}\rightarrow \{1,\ldots,k\}$ $(i,j),(i+l,j),(i+l,j+l)$ । $\varphi(i,j)=\varphi(i+l,j)=\varphi(i+l,j+l)$

যথা: আমরা ত্রিভুজের জন্য ন্যূনতম পরিমাণের সন্ধান করছি, যেমন কোনও অভিন্ন বর্ণের সমান্তরাল উপ-ত্রিভুজ নেই (নিম্নোক্ত চিত্রটি একটি অকার্যকর রঙ দেখায় কারণ হাইলাইট করা উল্লম্বগুলি এই জাতীয় রঙের সমান্তরাল সাবট্রাইঙ্গল গঠন করে):

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ উদাহরণ

$k$ $n=1000$ $27$ $n=1000$ $15$

$n$ $2$ $n\in\{2,3,4\}$ $3$ $5\leq n \leq 17$ $n=17$

$n>17$ $n=17$

$3$ $n=18$ $10$

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ 18 নোডের জন্য 3 রঙের সাথে সমাধান

$3$ $n=19$ $n \geq 19$

graph-theory sat combinatorics

— তালিকা
সূত্র

আকর্ষণীয় প্রশ্ন। আপনি কেন বলেন যে আমরা বহু-কালীন অ্যালগরিদম আশা করতে পারি না?

— সাশো নিকোলভ

@ সাশোনিকোলভ এটি কেবল একটি অনুমান কারণ এটি বৈধ প্রান্তিক রঙ (আরও সীমাবদ্ধতার তুলনায় আরও শক্ত) সন্ধানের চেয়ে কঠিন বলে মনে হচ্ছে এবং ভার্টেক্স রঙিন ইতিমধ্যে একটি খুব কঠিন সমস্যা।

— তালিকাভুক্ত

10

কেবল একটি বর্ধিত মন্তব্য:

একরঙা আয়তক্ষেত্র ছাড়াই 18x18 (এবং 12x21) গ্রিডের 4- কালারিংয়ের জন্য আপনি স্টেইনবাচ এবং পোস্টহফের ব্যবহৃত পদ্ধতির দিকে নজর দিতে পারেন :

বার্ন্ড স্টেইনবাচ এবং ক্রিশ্চিয়ান পোস্টহফ, শেষ ওপেন চার-বর্ণযুক্ত আয়তক্ষেত্রমুক্ত গ্রিডের সমাধান অত্যন্ত চূড়ান্ত জটিল একাধিক-মূল্যবান সমস্যা । একাধিক মূল্যবান যুক্তিতে 2013 সালের আইইইই 43 তম আন্তর্জাতিক সিম্পোজিয়ামের কার্যক্রমে (আইএসএমভিএল '13)

$c$ $n \times m$

একটি পার্শ্ব নোট: আমি একরঙা আয়তক্ষেত্রহীন 4-রঙিন সমস্যায় কয়েক সপ্তাহের সিপিইউ চক্র ব্যয় করেছি কিন্তু আমি একটি ভুল আংশিক ফলাফল (একটি ভুল পূর্ববর্তী বিশ্লেষণ যা সম্ভব 1-রঙের সাব-কনফিগারেশনের সংখ্যাকে সীমাবদ্ধ করেছিল) থেকে শুরু করেছি এবং আমি ব্যবহার করেছি এসটিপি বাধ্যতা সমাধানকারী ; আপনি যদি প্রতিসাম্যগুলি ভাঙ্গার সীমাবদ্ধতাগুলি যুক্ত করেন (উদাহরণস্বরূপ ত্রিভুজটির কোনও পাশের রঙের উপর ক্রম) এবং কেবলমাত্র 1-রঙ ব্যবহার করে সম্ভাব্য কনফিগারেশনগুলির বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করেন তবে আপনি দুর্দান্ত উন্নতি অর্জন করতে পারেন।

সম্পাদনা: এটি n = 19 (min 1 মিনিট) এর জন্য একটি STP প্রোগ্রামের ফলাফল

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

n = 19

$n=19$

4

$n \leq 22$ $n=22$ $n=23$ $n=23$ $n=23$

$n=19$ $n=23$

$n=22$

ছবিটি তৈরি করার জন্য এবং আমাকে সমস্যাটি সম্পর্কে জানানোর জন্য মারজিওকে অনেক ধন্যবাদ! :-)

— Juho
সূত্র