"কি আমার সেটটিতে একটি গ্রাফের একটি স্বয়ংচালিত পি ক্রমশক্তি?" দ্বারা NP-সম্পূর্ণ?

Question

মনে করুন আমাদের কাছে গ্রাফের একটি সেট এস (সীমাবদ্ধ গ্রাফ, তবে সেগুলির একটি অসীম সংখ্যা) এবং এসের উপর কাজ করে এমন এক অনুক্রমের গ্রুপ পি P

দৃষ্টান্ত: পি তে একটি ক্রমবর্ধমান পি।

প্রশ্ন: এস-তে কোনও গ্রাফ আছে যা অটোমরফিজম পি স্বীকার করে?

এই সমস্যাটি কি কিছু সেট এস-এর জন্য এনপি-সম্পূর্ণ?

এটি সহজেই পরীক্ষা করা যায় যে কোনও গ্রাফ ক্রমশক্তি পি (যেমন শংসাপত্র) স্বীকার করে। তবুও, এস এর উদাহরণগুলি খুঁজে পাওয়া সহজ যেখানে সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ নয়, যেমন এস সম্পূর্ণ গ্রাফের সেট, যেখানে উত্তর সর্বদা হ্যাঁ।

দ্রষ্টব্য: তারা আসলে কী ধরণের গ্রাফ হয় সে বিষয়ে আমি সত্যিই আগ্রহী নই; আপনি যদি পছন্দ করেন তবে এগুলি অ-সরল, নির্দেশিত, রঙিন ইত্যাদি হতে পারে

সংযোজন: আমি বর্তমানে যে সমস্যাটি দেখছি তা হ'ল শ্রেণীবদ্ধকরণ যা আইসোটোপিজমগুলি লাতিন স্কোয়ারগুলির অটোপোমিজম (যা একটি বিশেষ ধরণের গ্রাফ অটোমোর্ফিজম হিসাবেও ব্যাখ্যা করা যেতে পারে)।

একটি লাতিন বর্গক্ষেত্র দেওয়া (i, j) নীচে আমরা একটি গ্রাফ তৈরি করতে পারি:

• শীর্ষস্থানীয় সেটটি ম্যাট্রিক্সে কোষের সেট (i, j) এবং
• স্বতন্ত্র (আই, জে) এবং (আই ', জ') এর মধ্যে একটি প্রান্ত থাকে যখনই আমি = আমি 'বা জে = জ' বা এল (আই, জে) = এল (আই ', জ')।

এই জাতীয় গ্রাফটিকে লাতিন বর্গক্ষেত্র গ্রাফ বলা হয় (উদাহরণস্বরূপ বেইলি এবং ক্যামেরনের এই নিবন্ধটি দেখুন http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdf )। আমরা লাতিন বর্গ গ্রাফের একটি অটোপোরিজম হিসাবে লাতিন বর্গের একটি অটোপোটিজমকে ব্যাখ্যা করতে পারি। সুতরাং এস ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের গ্রাফগুলির সেট হয়ে যান ল্যাটিনের অর্ডার n এর স্কোয়ার থেকে তৈরি। সুতরাং আমি যে প্রশ্নটিতে আগ্রহী তা হ'ল:

একটি ক্রমাঙ্কন পি দেওয়া, পি এস এর গ্রাফগুলির একটি (বা আরও) এর একটি স্বশাসন?

আমার অনুভূতিটি হ'ল সাধারণভাবে উত্তর দেওয়া একটি কঠিন প্রশ্ন - আমি বর্তমানে এই বিষয়ে 30+ পৃষ্ঠার একটি পেপার লিখছি (2 সহ-লেখক সহ)। প্রকৃতপক্ষে বেশিরভাগ সময় এটি সহজ (বেশিরভাগ সময় এটি "না"), তবে কিছু কঠিন মামলা রয়েছে।

সুতরাং আমি সিদ্ধান্তগুলির সমস্যাগুলি খুঁজে পেতে আগ্রহী যা "প্রতিসম শ্রেণিবিন্যাস" সম্পর্কিত। তাদের আসলে লাতিন স্কোয়ারের সাথে সম্পর্কিত হওয়ার দরকার নেই, আমি কেবল লাতিন স্কোয়ারগুলির প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য এই কৌশলগুলি ব্যবহার করার আশা করছি।

Comments

আমি সমস্যাটি সঠিকভাবে বুঝতে পারছি কিনা তা নিশ্চিত নই। আপনি কি এস এবং পি এর একটি উদাহরণ দিতে পারেন (এবং পি উপর এস এর গ্রুপ ক্রিয়া)? একটি সমস্যা যা সমস্যাটিকে নিরঙ্কুশ করে তোলে (সমস্ত-হ্যাঁ বা সমস্ত-নয়) সমস্যাটি বুঝতে সহায়তা করবে।

— Tsuyoshi Ito

সম্পূর্ণ গ্রাফের উদাহরণে, আমি কী বুঝতে পারি না যে কে পয়েন্টগুলিতে একটি অনুচ্ছেদ কীভাবে n পয়েন্টগুলিতে সম্পূর্ণ গ্রাফের উপর কাজ করে, যেখানে k ≠ n (বিশেষত যদি কে> এন) থাকে।

— Tsuyoshi Ito

আমি সমস্যাটি বুঝতে পেরে নিজেকে বোকা বানিয়েছি, তবে আমি এখন সিদ্ধান্ত নিয়েছি যে আমি তা করি না। এস গ্রুপের নির্ধারিত পরিবারটি কী পরিবারের P গ্রাফগুলিতে কাজ করে, বা কেবল P পরিবারের গ্রাফগুলিতে সম্ভবত কাজ করে?

— নিল ডি বৌদ্রাপ

এখানে একটি সমস্যা হ'ল আমাদের একটি সেট বাছাই করা দরকার যার জন্য সদস্যপদ পরীক্ষা এনপি-তে রয়েছে। $S$

— এমিল

আমি উত্তরে আরও কিছুটা পটভূমি যুক্ত করেছি। প্রকৃতপক্ষে, সাধারণভাবে, গ্রুপটি এস-তে কাজ করে কিনা তা নিয়ে আমি সত্যিই মাথা ঘামাই না, যতক্ষণ আমরা উত্তর দিতে পারি "এই অনুচ্ছেদটি কি সেই গ্রাফের একটি স্বশাস্ত্র?" লাতিন স্কোয়ারের ক্ষেত্রে, আমরা এটিকে একটি গ্রুপ ক্রিয়া হিসাবে ব্যাখ্যা করতে পারি।

— ডগলাস এস স্টোনস

Answer 1

যে কোনও ভাষা নিন (এতে বাইনারি স্ট্রিং রয়েছে)। সেট আঁকো নিম্নরূপ গ্রাফ এর:$L$$S$

• সাথে প্রতিটি স্ট্রিং , আমরা গ্রাফ আছে মধ্যে , নোড সেট দিয়ে এবং নিম্নলিখিত প্রান্ত যদি বিট এর হয় , তারপরে এবং নোডগুলি সংলগ্ন, অন্যথায় এবং সংলগ্ন। অন্য কোন প্রান্ত নেই।$x \in L$$|x| = n$$G_x = (V_x,E_x)$$S$$V_x = \{1,2,...,3n\}$$i$$x$$0$$3i-2$$3i-1$$3i-2$$3i$

এখন দিন একটি বিন্যাস হতে । ধরে নিন যে এর কিছু গ্রাফের একটি স্বশাসন । যে, কিছু জন্য একটি । যাক । আসুন নিম্নলিখিত দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন:$p$$\{1,2,...,3n\}$$p$$S$$p$$G_y$$y \in L$$i \in \{1,2,...,n\}$

• $p(3i-2) = 3i-1$ , , । তারপর আমরা বিট থাকতে হবে এর করার সমান ।$p(3i-1) = 3i-2$$p(3i) = 3i$$i$$y$$0$
• $p(3i-2) = 3i$ , , । তারপর আমরা বিট থাকতে হবে এর করার সমান ।$p(3i-1) = 3i-1$$p(3i) = 3i-2$$i$$y$$1$

অত: পর যদি আমরা প্রশ্ন সমাধান করতে পারে "একটি দেওয়া হয় কিছু automorphism , আমরা প্রশ্ন সমাধান করতে পারে" হয় একটি প্রদত্ত STRING " মধ্যে "। তদ্ব্যতীত, আমরা যদি প্রাক্তনটি করতে পারি, বলুন, বহুবর্ষ সময় ইন, আমরা তে বহুবর্ষীয় সময়ে পরবর্তীকালে করতে পারি যেমন.$p$$G \in S$$y$$L$$|p|$$|y|$

এখন আপনি কে আপনার প্রিয় এনপি-হার্ড সমস্যা হতে পারেন। বা থামার সমস্যা ...$L$

Comments

এবং আসল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য: একটি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা হতে দিন এবং আপনার কাছে এমন একটি থাকবে যাতে অটোমোরফিজম সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ। একটি "হ্যাঁ" উত্তরের জন্য শংসাপত্রটি হয় যেমন যে এর automorphism হয় , প্লাস শংসাপত্র । $L$$S$$G_y \in S$$p$$G_y$$y \in L$

— Jukka Suomela

@ যুক্কা: প্রশ্নটি লাতিন বর্গক্ষেত্রের গ্রাফের মূল অনুপ্রেরণার আরও ঘনিষ্ঠ করার একটি উপায় হ'ল গ্রাফের সেট আইসোমরফিজমের আওতায় বন্ধ করা দরকার। এটিও বেশ স্বাভাবিক বাধা। সেট আপনি একটি অবাধ ভাষা থেকে গঠন করা এই খুব নির্দিষ্ট অর্থে isomorphism অধীনে বন্ধ হয়নি এবং একটু অস্বাভাবিক হয়। এই সীমাবদ্ধতা মেটানোর জন্য আপনার নির্মাণকে কীভাবে পরিবর্তন করতে হবে তা আমি দেখতে পাচ্ছি না তবে আমি মনে করি এটি করা সম্ভব হলে এটি খুব আকর্ষণীয় হবে। $S$$S$$L$

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া: আমি মনে করি নির্মাণের পরিবর্তনটি সম্ভব, উদাহরণস্বরূপ: গ্রাফ এবং ক্রম আমরা উভয় প্রশ্নের মধ্যে ব্যবহার করি তা বিচ্ছিন্ন চক্র নিয়ে গঠিত । আরো বিস্তারিত, দৈর্ঘ্যের একটি চক্র রয়েছে iff বিট এর সমান । একইভাবে, থাকুক বা না থাকুক , একটি বিন্যাস নির্মাণ যে দৈর্ঘ্য একটি চক্র রয়েছে iff বিট এর সমান । (আমি কিছু বিশদ অবহেলা করতে পারে, কিন্তু আমি মনে করি যে প্রাথমিক ধারণাটি কাজ করা উচিত ...) 2 আই + এ + 1 আই এক্স এ ওয়াই ∈ এল পি 2 আই + এ + 1 আই ওয়াই $G_x$$2i+a+1$$i$$x$$a$$y \in L$$p$$2i+a+1$$i$$y$$a$

— Jukka Suomela

@ জুক্কা: দুর্দান্ত। আমি নতুন নির্মাণ কাজ লিখিত যেমন বিশ্বাস (অভিমানী আমরা কেবল অনুমতি ঠিক সঙ্গে গ্রাফ কাজ করার জন্য ছেদচিহ্ন, এবং বেশি সুত্রাবলী নকশা ছেদচিহ্ন)। এন $p \in S_n$$n$$n$

— জোশুয়া গ্রাচো

@Joshua: আমি প্রয়োগের সম্ভাবনা অনুমান বেশি গ্রাফ থেকে নোড যদি আমরা ধরে নেই যে ভাষা, ব্যাপার না একটি উপসর্গ মুক্ত কোড ব্যবহার করে? এন $p \in S_n$$n$$L$

— Jukka Suomela