সর্বাধিক বিভেদ সেট: লোভী অ্যালগরিদমের আসল আনুষঙ্গিক উপাদানটি কী?

Question

সর্বাধিক বিচ্ছিন্নতা সেটটি খুঁজে পাওয়ার সমস্যাটি বিবেচনা করুন - প্রদত্ত পরীক্ষার্থীদের একটি সংগ্রহ থেকে অ-ওভারল্যাপিং জ্যামিতিক আকারের সর্বাধিক সেট। এটি একটি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা, তবে অনেক ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত লোভী অ্যালগরিদম একটি ধ্রুবক-ফ্যাক্টর অনুমানের ফলন দেয়:

• প্রত্যেক প্রার্থী আকৃতি এক্স , তার হিসাব গ্রন্থিচ্যুত ছেদ সংখ্যা = এর গ্রন্থিচ্যুত আকার যে ছেদ বৃহত্তম সংখ্যা এক্স ।$DIN(x)$
• সবচেয়ে ছোট ডিআইএন ( ) সহ প্রার্থী আকার নির্বাচন করুন । এটি এবং এটি ছেদ করে এমন সমস্ত আকার সরিয়ে ফেলুন।$\arg \min_{x} DIN(x)$
• আর কোনও প্রার্থী না থাকা পর্যন্ত চালিয়ে যান।

উদাহরণস্বরূপ, উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা থেকে নিম্নলিখিত চিত্রটি বিবেচনা করুন:

গ্রিন ডিস্কটি অন্য 5 টি ডিস্ককে ছেদ করে তবে এর ডিআইএন 3 হয় (3 টি লাল ডিস্কগুলি বিচ্ছিন্ন করে দেওয়া হয়)। শীর্ষ ও নীচেরতম লাল ডিস্কগুলি অন্য 2 টি ডিস্ককে ছেদ করে তবে তারা নিজেরাই ছেদ করে, তাই তাদের ডিআইএন 1 হয় 1. হলুদ ডিস্কগুলির একটি ডিআইএন থাকে 2 লোভী অ্যালগরিদম এইভাবে শীর্ষস্থানীয় বা নীচেরতম লাল ডিস্কটি নির্বাচন করে।

যদি সর্বনিম্ন ডিআইএন কোনও ধ্রুবক দ্বারা আবদ্ধ হতে পারে, তবে লোভী অ্যালগরিদম একটি বহুবর্ষীয় ধ্রুবক-গুণক সমীকরণ।

উদাহরণস্বরূপ, যদি সমস্ত প্রার্থীর আকার ইউনিট ডিস্ক হয়, মারাঠা এট আল (1995) দেখায় যে সর্বাধিক 3 টির একটি ডিআইএন সহ একটি ডিস্ক সর্বদা উপস্থিত থাকে: বাম দিকের ডিস্কটি (সবচেয়ে ছোট x স্থানাঙ্কযুক্ত ডিস্ক) প্রায় 3 টি অন্যান্য বিযুক্ত ডিস্ককে ছেদ করে । অতএব লোভী অ্যালগরিদম একটি 3-প্রায় অনুমান দেয় কারণ এটি সর্বোত্তম দ্রবণে প্রতিটি (সর্বাধিক) 3 টি ডিস্কের জন্য 1 টি ডিস্ক প্রাপ্ত করে।

একইভাবে, যদি সমস্ত প্রার্থীর আকারগুলি সালিশ আকারের ডিস্ক হয়, লোভী অ্যালগরিদম একটি 5-আনুমানিক প্রাপ্তি দেয়, কারণ ক্ষুদ্রতম ডিস্কটি প্রায় 5 টি অন্যান্য বিযুক্ত ডিস্কে ছেদ করে, অর্থাৎ সর্বনিম্ন ডিআইএন সর্বাধিক 5 হয়।

এখন পর্যন্ত এত ভাল, তবে 3 এবং 5 এর এই উপাদানগুলি কি শক্ত? আমি নিশ্চিত না.

উপরের চিত্রটি বিবেচনা করুন। বামতমতম ডিস্ক (সবুজ) নির্বাচন করা হলে আকারের 1 টির একটি বিভেদযুক্ত সেটটি পাওয়া যাবে যা প্রকৃতপক্ষে আকার 3 (লাল) এর সর্বাধিক বিচ্ছিন্ন সেটটির 3-সান্নিধ্য, তবে, লোভী অ্যালগরিদম সবুজ ডিস্কটি নির্বাচন করবে না - এটি নির্বাচন করবে শীর্ষ / নীচের লাল ডিস্ক, যার ডিআইএন 1 এই ক্ষেত্রে লোভী অ্যালগরিদম অনুকূল সমাধানটি সন্ধান করবে।

আমি সাধারণ একটি পাল্টা উদাহরণ খুঁজে পাইনি , যাতে লোভী অ্যালগরিদম ইউনিট ডিস্কের সাথে একটি বিভেদ সেট খুঁজে পায় যখন সর্বাধিক বিভেদ সেট । প্রকৃতপক্ষে, আমি একটি সাধারণ পাল্টা উদাহরণও তৈরি করতে পারি নি যেখানে ন্যূনতম ডিআইএন প্রকৃতপক্ষে 3 is আমি সবচেয়ে ভালভাবে আসতে পেরেছি, যার মধ্যে প্রতিটি ইউনিট ডিস্কটি প্রায় 2 টি অন্যান্য ডিসজয়েন্ট ডিস্ককে ছেদ করে (যেমন সর্বনিম্ন ডিআইএন) 2)। তবে এখানেও লোভী অ্যালগরিদম 2-আনুমানিকের চেয়ে সর্বোত্তম সমাধানটি খুঁজে পায়:n 3 $n$$n$$3n$

আমার প্রশ্নগুলি হ'ল:

• ইউনিট-ডিস্ক সংগ্রহের ক্ষেত্রে আসল সর্বাধিক ন্যূনতম ডিআইএন কী ? সালিশী আকারের ডিস্ক?
• ইউনিট-ডিস্ক সংগ্রহের জন্য লোভী অ্যালগরিদমের আসল অনুমানের কারণটি কী ? স্বেচ্ছাকৃতির আকারের ডিস্কগুলির জন্য? (এই ফ্যাক্টরটি সর্বাধিক সর্বাধিক সর্বাধিক মিনিট ডিআইএন এর চেয়ে বড় তবে এটি আরও ছোট হতে পারে)।

আপডেট: আকৃতি, প্রতিটি K-tuple জন্য , নির্ধারণ = গ্রন্থিচ্যুত আকার বৃহত্তম সংখ্যা তাদের ইউনিয়ন দ্বারা বিভক্ত । বিচ্ছিন্ন আকারের সমস্ত কে- সর্বনিম্ন ডিআইএন হিসাবে সংজ্ঞা । ডি আমি এন ( এক্স 1 , । । । , এক্স ট ) এক্স 1 ∪ । । । ∪ এক্স ট মি আমি এন ডি আমি এন $x_1,...,x_k$$DIN(x_1,...,x_k)$$x_1\cup...\cup x_k$$minDIN_k$

উদাহরণস্বরূপ, নীচে ইউরির উত্তরে , কারণ প্রতিটি বৃত্ত 3 টি অন্যান্য চেনাশোনা ছেদ করে। , কারণ 2 টি বিচ্ছিন্ন চেনাশোনাগুলি নির্বাচন করা সম্ভব, একটি বহিরাগত বৃত্ত থেকে এবং একটি অভ্যন্তরীণ বৃত্ত থেকে, যা কেবলমাত্র 4 টি অন্যান্য বৃত্তকে ছেদ করে। প্রতি , ।$minDIN_1=3$$minDIN_2=4$$k$$minDIN_k\leq k+2$

আমি মনে করি যে লোভী অ্যালগরিদমের আনুমানিক অনুপাতটি by দ্বারা আবদ্ধ হতে পারে , কারণ, সর্বোত্তম সমাধানে প্রতি আকারের জন্য আমাদের অ্যালগরিদম আউটপুটে কমপক্ষে আকার রয়েছে। এটা কি সঠিক?$\frac{minDIN_k}{k}$$minDIN_k$$k$

সম্পাদনা: আমি এখন অসচ্ছল জ্যামিতিতে চমৎকার বই গবেষণা সমস্যা পড়ছি । যদিও আমি এই সঠিক সমস্যাটি খুঁজে পাইনি, এমন একটি সমস্যা পেয়েছি যা সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে। "অনেক প্রতিবেশীর সাথে পাতলা প্যাকিং 2.5" বিভাগে, চেনাশোনা প্যাকিংয়ের উদাহরণ রয়েছে যাতে প্রতিটি চেনাশোনা অন্যান্য 5 টি বৃত্তকে স্পর্শ করে। আমি ভাবছি যদি এই জাতীয় প্যাকিং DIN = 5 দিয়ে চেনাশোনাগুলির একটি কনফিগারেশন অর্জন করতে পারে।

Comments

এটি লক্ষণীয় আকর্ষণীয় হতে পারে যে ডিআইএনকে কম্পিউটিং করা সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেটকে গণনা করার মতোই শক্ত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ডিস্ক গ্রাফগুলির ক্ষেত্রে (ইউনিট ডিস্ক গ্রাফের পরিবর্তে) বিন্যাসে অন্য সমস্ত বস্তুকে ছেদ করে একটি বড় ডিস্ক যুক্ত করা যেতে পারে; এর ডিআইএন গণনা মূল ব্যবস্থাতে সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেট গণনা করার সাথে সম্পর্কিত।

— বার্ট জানসেন

$O(n^6)$

আপনার শেষ প্রশ্নের জন্য - হ্যাঁ, এটি সঠিক।

— ডমোটরপ

Answer 1

ইউনিট-ডিস্ক সংগ্রহের ক্ষেত্রে প্রকৃত সর্বোচ্চ ন্যূনতম ডিআইএন কী?

এটা 3।

Comments

এখানে 2 টি ইউনিট ডিস্ক রয়েছে, এটি 16 টি 2 স্তরে সজ্জিত Each তবে, লোভী অ্যালগরিদম এখনও 16 টি ডিস্ক সহ একটি অনুকূল সমাধান খুঁজে পাবে।

— এরেল সেগাল-হালেভি

হ্যাঁ, এটি প্রশ্নের 1/3 উত্তর দেয় :-)

— ইউরি