অসীম সিকোয়েন্সগুলির বাউন্ডেড-ইনপুট বাইজিকেশন

এখানে আমি একটি ধাঁধা সমাধান করতে সক্ষম হই না। আমি জানতে চাই যে এই সমস্যাটি ইতিমধ্যে জানা আছে বা এর কোনও সহজ সমাধান রয়েছে।

বাইকারটিশিয়ান বদ্ধ শ্রেণির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে একটি বাইজিকেশন th সংজ্ঞা দেওয়া সম্ভব । এন্ড্রেজ বাউয়ার তার ব্লগটিতে " কনস্ট্রাকটিভ রত্ন: জাগল এক্সপেনশনিয়ালস " হিসাবে এর অর্থ কী তার একটি ব্যাখ্যা পোস্ট করেছিলেন । $3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N}$

এই বাইজিকেশনটির একটি আকর্ষণীয় সম্পত্তি রয়েছে: এটি "সীমাবদ্ধ-ইনপুট" যার অর্থ আউটপুটটির প্রতিটি উপাদান কেবল ইনপুটটির সীমিতভাবে অনেকগুলি উপাদানের উপর নির্ভর করে। তবে মনে হচ্ছে যে এই নির্মাণ কেবল এবং is isomorphic হয় যদি এবং উভয়ই অদ্ভুত বা উভয়ই হয়। এই পাতাটি প্রশ্ন খুলবে: $k,l\geq 2$ $k^\mathbb{N}$ $l^\mathbb{N}$ $k$ $l$

থেকে সীমাবদ্ধ-ইনপুট বাইজিকশন কি আছে ? $2^\mathbb{N}$ $3^\mathbb{N}$

সমস্যাটি আরও বিশদে বর্ণনা করার জন্য এখানে একটি সংক্ষিপ্ত নোট: অসীম অনুক্রমের সীমাবদ্ধ-ইনপুট বাইজিকেশন সম্পর্কিত একটি অনুমান ।

সজ্ঞা:

একটি ফাংশন হয় বেষ্টিত-ইনপুট যদি অস্তিত্ব আছে একটি পূর্ণসংখ্যা যেমন যে আউটপুট এর প্রতিটি উপাদানের সর্বাধিক শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে উপাদান ইনপুট এর। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, টি সীমিত ইনপুট হয় যদি প্রতিটি সূচকের জন্য index সূচকগুলি এবং একটি ফাংশন যেমন যে সব উপাদান সমান । $f : \prod_{i \in I} X_i \rightarrow \prod_{j\in J} Y_j$ $k$ $f$ $k$ $f$ $j \in J$ $i_1,\dotsb,i_k \in I$ $f_m : X_{i_1}\times\dotsb\times X_{i_k} \rightarrow Y_j$ $x \in X$ $f(x)_j$ $f_j(x_{i_1},\dotsb,x_{i_k})$

একজন bijection একটি হল বেষ্টিত-ইনপুট bijection যদি এটি একটি বেষ্টিত-ইনপুট ফাংশন। $f$

একজন bijection একটি হল বেষ্টিত-ইনপুট isomorphism যদি এটি এবং এটির বিপরীত বেষ্টিত-ইনপুট হয় ফাংশন। এটিও আকর্ষণীয়। $f$

puzzles ct.category-theory topology

— কলিন ম্যাককুইলান
সূত্র

আপনার নোট থেকে "সীমাবদ্ধ-ইনপুট বাইজেকশন" সংজ্ঞাটি অনুলিপি করা আরও ভাল। আমি সংজ্ঞাটি না পড়ার আগে পর্যন্ত ভুল বুঝেছি।

— Tsuyoshi Ito

সম্পন্ন. আমি এটি উল্লেখ করতে চাই যে প্রশ্নের উত্সাহটি বিভাগ তত্ত্ব শব্দার্থবিদ্যা থেকে আসে, ধাঁধাটি নিজেই সংমিশ্রণমূলক হয়।

— কলিন ম্যাককুইলান

এই সমস্যাটি সম্পর্কে সবচেয়ে বিরক্তিকর জিনিসটি এটি সহজ দেখাচ্ছে! সকল সেট একে অপরের সাথে বেষ্টিত-ইনপুট হয় isomorphic, এবং তাই সব টি সেট রয়েছে। বিদ্যমান প্রমাণগুলিতে ব্যবহৃত আইসোমর্ফিজমের বিভিন্নতা ব্যবহার করে এই দুটি কেন বাউন্ড-ইনপুট আইসোমর্ফিক করা যাবে না তার কোনও কারণ আমি দেখতে পাচ্ছি না, তবে এই ধরনের প্রচেষ্টা ব্যর্থ বলে মনে হচ্ছে। Aghh। (এই ক্ষেত্রে আমার কোনও অভিজ্ঞতা নেই, তাই আমি সম্ভবত এই চিহ্নটি

(2 k)^{N}

$(2k)^{\mathbb{N}}$

(2 k + 1)^{N}

$(2k+1)^{\mathbb{N}}$

— ছাড়তে পারি

আমি সত্যিই এই অনুমানটি পছন্দ করি এবং এটি এখন এক মাস ধরে অপেক্ষা করছে। যে কেউ এটি সমাধান করে বা উভয় দিকেই যথেষ্ট অগ্রগতি করে তাকে আমি অনুগ্রহ দেব।

— অ্যারন স্টার্লিং

চমৎকার প্রশ্ন :-) যাইহোক, এবং between এর মধ্যে "সর্বাধিক" আইসোম্পারিজমটি কী আপনি জানেন?

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

3^{N}

$3^\mathbb{N}$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

উত্তর:

আমি সিএস তত্ত্বের লোক নই। কিন্তু এরগোডিক তত্ত্বে এই ধরণের ম্যাপিং চূড়ান্ত আইসোমর্ফিজম হিসাবে পরিচিত । উদাহরণস্বরূপ লোকেরা বিবেচনা করে যদি একই এনট্রপির দুটি বার্নোল্লি সিকোয়েন্সগুলি চূড়ান্তভাবে isomorphic হয় বা না হয়। উদাহরণস্বরূপ (এটি একতরফা শিফট কারণ মনে হয় আপনি চেয়ে with এর সাথে সংশ্লিষ্ট ): $P^{\mathbb{N}}$ $P^{\mathbb{Z}}$

এ। ডেল জুনকো, "একপেশে বার্নোল্লি শিফটের মধ্যে ফাইনারি কোডগুলি," এরগোডিক থিওরি ডায়নামিকাল সিস্টেমস, খণ্ড। 1, পৃষ্ঠা 285–301, 1981।

পিএস আমি এটিকে একটি মন্তব্য হিসাবে রেখে যাওয়ার ইচ্ছা করি তবে খ্যাতির অভাবে আমি তা করতে পারি না। আমাকে জানাবেন যদি এটি সম্পূর্ণ অফ-টপিক হয় তবে আমি এটি মুছব।

— গন্ডোলার মাঝি
সূত্র

আমি এক পর্যায়ে এই মুহুর্তে যে কোনও হতাশ মন্ত্রীর ধারণাকে স্বাগত জানাই।

— অ্যারন স্টার্লিং

লক্ষ করুন যে সূচকগুলি ℕ বা from থেকে নেওয়া হয়েছে কিনা তা এই প্রশ্নে অপ্রাসঙ্গিক।

— সোসোশি ইটো

আমি এই উত্তরের সম্পূর্ণ অনুগ্রহকে পুরষ্কার দিয়েছি, কারণ, যদি আমি কিছু না করি তবে উত্তরটি সর্বোপরি উত্তেজিত হিসাবে (এবং কমপক্ষে দুটি ভোট পেয়েছিল) হিসাবে অর্ধেক অনুগ্রহ লাভ করবে। যদি কোনও পরবর্তী তারিখে কোনও পূর্ণ বা আংশিক প্রমাণ পোস্ট করে এবং আমি এটি দেখতে পাই তবে আমি সম্ভবত আরও একটি অনুগ্রহ শুরু করব, সমাধানটির প্রতিদান দেওয়ার জন্য।

— অ্যারন স্টার্লিং

আমি মনে করি এবং between এর মধ্যে একটি আইসোমর্ফিজম আকারের একচেটিয়া এবং বিস্তৃত বাইনারি উপসর্গের সংগ্রহ দ্বারা সরবরাহ করা উচিত , উদাহরণস্বরূপ আমরা আমাদের "0", " 10 ", এবং" 11 "। আরও সাধারণভাবে, আমরা "0", "10", "110", ..., "11 ... 10", "11 ... 11" ব্যবহার করতে পারি যেখানে দ্বিতীয়টির শেষের দিকে এবং সর্বশেষে । $k^\mathbb{N}$ $2^\mathbb{N}$ $k$ $k = 3$ $k - 2$ $k - 1$

একচেটিয়া এবং বিস্মৃত প্রকৃতি আমাদের সুস্পষ্ট ফ্যাশনে বিপরীত ( ) সংজ্ঞায়িত করতে দেয় । $2^\mathbb{N} \to k^\mathbb{N}$

ফরোয়ার্ডের দিকের সীমাবদ্ধতা সহজ কারণ প্রতিটি ইনপুট অঙ্কগুলি কমপক্ষে একটি আউটপুট ডিজিট সরবরাহ করে ম বাইনারি অঙ্কটি প্রথম -ারি অঙ্কগুলির চেয়ে সহজেই নির্ধারিত হয় । $i$ $i$ $k$

পিছনের দিকের সীমানাটি কিছুটা কুরুচিপূর্ণ। উপসর্গের সংগ্রহের সাথে আমি প্রতিটি -ারি অঙ্কের উপরে দিয়েছি বেশিরভাগ বাইনারি অঙ্ক থেকে "রিডস" এবং তাই ম -ারি অঙ্কটি প্রথম বাইনারি অঙ্কের চেয়ে বেশি দ্বারা নির্ধারিত হয় । $k$ $k$ $i$ $k$ $k i$

এটি উভয় দিকের সীমানা-ইনপুট নয়। বাউন্ডেড-ইনপুট ফাংশনটির সংজ্ঞা অনুসারে, প্রতিটি ইনপুট ভেরিয়েবল নির্ভর করে এমন ইনপুট ভেরিয়েবলের সংখ্যার উপর আপনার ইউনিফর্ম আবদ্ধ হওয়া দরকার । আপনার ম্যাপিংয়ের সামনের দিকে, i-th আউটপুট ভেরিয়েবলটি প্রথম i ইনপুট ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে, সুতরাং কোনও অভিন্ন বাউন্ড নেই। পিছনের দিকে, i-th আউটপুট ভেরিয়েবল প্রথম কি ইনপুট ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে।

— Tsuyoshi Ito

ডি ওহ। আমি 1.5 তমবারের জন্য প্রশ্নটি পড়তে যাচ্ছি। :(