ক্ষুদ্রতম টুরিং মেশিনটি কোথায় থামবে বা না থাকলে এটি অজানা?

Question

আমি জানি যে থামার সমস্যাটি সাধারণভাবে অনস্বীকার্য তবে কিছু টুরিং মেশিন রয়েছে যা স্পষ্টতই থামে এবং কিছু এমন রয়েছে যা স্পষ্টতই থামে না। সমস্ত সম্ভাব্য টিউরিং মেশিনগুলির মধ্যে সবচেয়ে ক্ষুদ্রতমটি কোনটি যেখানে কারও কাছে প্রমাণ নেই যে এটি বন্ধ রয়েছে কিনা?

Comments

উত্তরটি মেশিনের মডেল (চিহ্নগুলির সংখ্যা ইত্যাদির) উপর নির্ভর করে। ব্যাসি বিভার সম্পর্কিত উইকিপিডিয়া নিবন্ধ অনুসারে 2-প্রতীক 5-সেট মেশিন রয়েছে যা থেমে আছে কিনা তা জানা যায় না।

— কাভেহ

দ্রষ্টব্য যে হারুনের প্রশ্ন একটি প্রদত্ত ভাষার ক্ষয়ক্ষতি সম্পর্কে নয়, তবে সত্যই কোনও প্রমাণের অস্তিত্ব যে নির্দিষ্ট ট্যুরিং মেশিনটি বন্ধ রয়েছে। যে কোনও ট্যুরিং মেশিনের জন্য, "এর" থামার সমস্যাটি (এটি খুব মেশিন খালি ইনপুটটিতে থামায় কিনা) এটি "সিদ্ধান্তগ্রহণযোগ্য": এটি হ্যাঁ বা না, এবং হ্যাঁ} এবং} না {উভয় ভাষাই নির্ধারণযোগ্য। কারও কাছে প্রমাণ রয়েছে যে মেশিনটি থেমেছে বা না, তার থেকে এটি খুব আলাদা different হারুন, আপনি যদি "এর চেয়ে ক্ষুদ্রতম এমন ভাষা যা ডাব্লু on এ থামিয়ে দেয় ," আপনি যদি নিজের প্রশ্নটি সম্পাদনা করতে পারেন? { W | এম W $M$$\{w \mid M$$w\}$

— মিশেল ক্যাডিলহ্যাক

@ MichaëlCadilhac বিরাম সমস্যা সাধারণত হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়, "একটি মেশিন দেওয়া এবং একটি ইনপুট , আছে ইনপুট জন্য স্থগিত ?" নয় "একটি মেশিন দেওয়া , আছে সমস্ত ইনপুট জন্য স্থগিত?" ডব্লিউ এম ডব্লু এম $M$$w$$M$$w$$M$$M$

— ডেভিড রিচার্বি

@ ডেভিডরিচারি: আমার কাছে, থামার সমস্যাটি মেশিনের ভাষা (কোড) যা খালি ইনপুটটিতে থামে। যদি এটি এখানে উদ্দেশ্যযুক্ত অর্থ না হয় তবে আমি মনে করি এটি বিভ্রান্ত করার সম্ভাব্য (ঠিক আছে, আমার) বিভ্রান্তির জন্য নির্দিষ্ট করা উচিত।

— মিশেল ক্যাডিলহ্যাক

সমস্যাটি অধ্যয়নের একাধিক উপায় বৈধ ও আন্তঃসম্পর্কিত এবং সত্যই যা তাদের জিজ্ঞাসাবাদী করেন নি তাদের মধ্যে পার্থক্য করার একটি সূক্ষ্মতা রয়েছে।

— vzn

Answer 1

বৃহত্তম ট্যুরিং মেশিনগুলির জন্য যার থামার সমস্যাটি স্থিতিশীল dec

$TM(2,3), TM(2,2), TM(3,2)$ (যেখানে সঙ্গে টুরিং মেশিনে সেট রাজ্য এবং প্রতীক)।$TM(k,l)$$k$$l$

এর decidability এবং সীমানা উপর এবং এটি নিষ্পত্তির কঠিন কারণ এটা Collatz অনুমান যা একটি খোলা সমস্যা উপর নির্ভর করে।$TM(2,4)$$TM(3,3)$

পি। মিশেল (2004) দ্বারা কোলাটজ-এর মতো ট্যুরিং মেশিন এবং " ছোট্ট টুরিং মেশিন এবং সাধারণ ব্যস্ত বিভার প্রতিযোগিতা " সম্পর্কে ক্লাসেটি সম্পর্কে আমার উত্তরও দেখুন (এটি অনুমান করা হয় যে ও নির্ধারিত)।$TM(4,2)$

কাভের মন্তব্য এবং মোহাম্মদের উত্তর সঠিক, সুতরাং এই জাতীয় ফলাফলগুলিতে ব্যবহৃত স্ট্যান্ডার্ড / অ-মানক টুরিং মেশিনের একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা দেওয়ার জন্য দেখুন টার্বল নেয়ারি এবং ড্যামিয়েন উডস ছোট সার্বজনীন ট্যুরিং মেশিনে কাজ করে, যেমন ছোট সার্বজনীন ট্যুরিং মেশিনের জটিলতা: একটি সমীক্ষা (নিয়ম 110 টিএম টি দুর্বলভাবে সর্বজনীন)।

Comments

টুরিং মেশিনের কোনও নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতার জন্য কী থামানো সমস্যাটি সর্বদা সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য নয়? যেহেতু এ কেবলমাত্র চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি মেশিন রয়েছে , তাই অবশ্যই একটি লুকিং টেবিল তৈরি করা সম্ভব হবে যা সঠিকভাবে বলে যে কোন মেশিনগুলি থামছে এবং কোনগুলি নেই, এবং তাই এখানে অবশ্যই একটি টুরিং মেশিন থাকতে হবে যা এই লকিং টেবিলটি ব্যবহার করে প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিতে। $TM(4, 2)$

— ট্যানার সোয়েট

@ ট্যাননারস্বেট: এখানে আমরা হোল্ডিং সেটটি বা অন্য কথায়, যার জন্য টুরিং মেশিন থাকা থামগুলি স্থিরযোগ্য (মিশেলের কাগজ দেখুন)। এইচ একজন এল টি এম = { x এর | এম  উপর স্থগিত  এক্স $\{\langle M,x \rangle \mid M \text{ halts on } x\}$$HALT_M = \{ x \mid M \text{ halts on } x\}$

— মারজিও ডি বায়াসি

Answer 2

আমি যুক্ত করতে চাই যে এখানে কয়েকটি টিউরিং মেশিন রয়েছে যার জন্য হ্যালটিং সমস্যাটি জেডএফসি থেকে স্বতন্ত্র।

উদাহরণস্বরূপ, একটি টিউরিং মেশিন নিন যা জেডএফসিতে বিপরীতে প্রমাণের সন্ধান করে। তারপরে জেডএফসি যদি সামঞ্জস্যপূর্ণ থাকে তবে এটি থামবে না, তবে আপনি এটি জেডএফসিতে প্রমাণ করতে পারবেন না (গডেলের দ্বিতীয় অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যের কারণে)।

সুতরাং এটি এখনও প্রমাণ খুঁজে না পাওয়া বিষয় নয়, কখনও কখনও প্রমাণ এমনকি অস্তিত্ব নেই।

Comments

ZFC? জেডএফসি মানে কি? আমি শুধু প্রসঙ্গ থেকে এটি বের করতে পারি না।

— অ্যাকাপুলকো

@ অ্যাকাপুলকো lmgtfy.com/?q=zfc&l=1

— সাশো নিকোলভ

হাঃ হাঃ হাঃ! ঠিক আছে. আমি lmgtfy'ed পেয়েছি। Touche। ভাবেন নি যে এটি সূচনা হবে যা তাত্ক্ষণিকভাবে এবং অনন্যসাথে এই বিষয়ের সাথে সম্পর্কিত হবে। কোনও অবস্থাতেই আমি মনে করি না যে সৌজন্য "জেডএফসি (জের্মেলো – ফ্রেইঙ্কেল সেট থিওরি)" যুক্ত করার জন্য এটি প্রথমবারের মতো স্পষ্টকরণ যোগ করার ক্ষেত্রেও দ্বিধাদ্বন্দ্ব এড়ানোর জন্য ব্যাথা দেয়? :)

— আকাপুলকো

@ অ্যাকাপুলকো, দয়া করে ভ্রমণ এবং সহায়তা কেন্দ্র দেখুন । যে কোনও তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানী জেডএফসি বলতে কী বোঝে তাই কোনও ব্যাখ্যা দেওয়ার দরকার নেই।

— কাভেহ

বিশেষত, জেডএফসি-ইন্ডিপেন্ডেন্ট হোল্ডিং সমস্যা নিয়ে সম্প্রতি আবিষ্কার হওয়া সিম্বল মেশিনগুলি এখানে লক্ষ্য করুন ( এখানে 7979 রাজ্য), এখানে এবং এখানে (1919 রাজ্য)। রাজ্যের সংখ্যা আরও কমানো প্রায় নিশ্চিত। $2$

— মাঝামাঝি

Answer 3

ইউনিভার্সাল টুরিং মেশিনটি বন্ধ রয়েছে কিনা তা কারও কাছে প্রমাণ নেই। প্রকৃতপক্ষে, হ্যালটিং সমস্যার অনিশ্চয়তার ফলস্বরূপ এ জাতীয় প্রমাণ অসম্ভব। ক্ষুদ্রতম একটি 2-রাষ্ট্র 3-প্রতীক সার্বজনীন টুরিং হয় মেশিন অ্যালেক্স স্মিথ যার জন্য তিনি $ 25,000 একটি পুরস্কার জিতেছে দ্বারা পাওয়া হয়েছিল।

Comments

নোট, তবে, উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা অনুযায়ী উদ্ধৃত, সর্বজনীনতার প্রমাণ বিতর্কিত হয়। এছাড়াও, এটি ট্যুরিং মেশিনের মানক মডেল নয়: কথিত ইউনিভার্সাল মেশিনটির কোনও থামার অবস্থা নেই তাই কোনও মেশিন যে থামায় তা অনুকরণ করতে পারে না, সর্বজনীন টুরিং মেশিন কী করে তার মানক অর্থে in

— ডেভিড রিচার্বি

@ ডেভিডরিচার্বি: আমি মনে করি যে নিয়মটি ১১০- এর দুর্বল- বহনযোগ্যতা বেশ গ্রহণযোগ্য: এতে ইনপুটটির বাম এবং ডানদিকে দুটি পৃথক শব্দ পুনরাবৃত্তি করা দরকার, এবং থামানো শর্তটি একটি বিশেষ গ্লাইডারের জেনারেশন (যদি এবং কেবল যদি উত্পন্ন হয়) সিমুলেটেড মেশিন থামে)। ম্যাথু কুকের "প্রাথমিক সেলুলার অটোমেটাতে ইউনিভার্সিটি" দেখুন।

— মারজিও ডি বায়াসি

Answer 4

একটি অনর্থক বাক্যযুক্ত কিন্তু যুক্তিসঙ্গত সাধারণ প্রশ্ন যা বেশ কয়েকটি বিশেষ প্রযুক্তিগত উপায়ে অধ্যয়ন করা যেতে পারে। রাষ্ট্র / চিহ্ন দ্বারা পরিমাপ করা অনেক "ছোট" মেশিন রয়েছে যেখানে থামানো অজানা তবে কোনও "ক্ষুদ্রতম" মেশিন সম্ভব না হলে যদি কোনও টিএম এর জটিলতার কিছু ন্যায়সঙ্গত / পরিমাণযোগ্য মেট্রিক উপস্থিত না করে যা উভয় রাজ্য এবং প্রতীক বিবেচনায় নেয় (দৃশ্যত) এখনও পর্যন্ত কেউ এর প্রস্তাব দেয়নি)।

বাস্তবে ব্যাস্ত বিভার সম্পর্কিত এই সমস্যা সম্পর্কিত গবেষণা থেকে জানা যায় যে হাইপারবোলিক বক্ররেখাতে এমন অনেকগুলি "ছোট" মেশিন রয়েছে যেখানে , রাজ্য এবং চিহ্নগুলি ছোট। প্রকৃতপক্ষে এটি সাধারণ পর্যায়ে স্থানান্তর / সিদ্ধান্তগ্রহণযোগ্য এবং অবিঘ্নিত সমস্যার মধ্যে সীমানা বলে মনে হয়।x $x \times y$$x$$y$

এই নতুন কাগজটি ব্যস্ত বিভার প্রতিযোগিতা ২০১৩ থেকে সংখ্যা তত্ত্বের সমস্যাগুলি একটি শীর্ষস্থানীয় কর্তৃপক্ষ কম ওয়াইয়ের জন্য এই জাতীয় অনেকগুলি ঘটনা প্রদর্শন করে এবং কোলাটজ অনুমানের অনুরূপ সাধারণ সংখ্যার তাত্ত্বিক ক্রমের সাথে সংযোগ দেখায়।$x,y$

Comments

প্রতীক এবং রাজ্যগুলিকে বিবেচনা করে কোনও মেট্রিক স্থাপন করা প্রয়োজন নয়। টেপটিতে দুটি চিহ্ন উপস্থিত হয়ে গেলে, এটি স্পষ্ট যে প্রায় থামার সমস্যাটি প্রায় সব সংখ্যক রাজ্যের ক্ষেত্রেই অনস্বীকার্য I যেমনটি আমি মনে করি, কেবল পাঁচটি রাষ্ট্রের সাথে একটি সর্বজনীন টিএম লেখা সম্ভব। যদি আমরা সিদ্ধান্ত গ্রহণের সঠিক সীমানা জানতাম তবে আমি নিশ্চিত যে এই সীমানাকে (# রাজ্য, # চিহ্ন) জোড়গুলির ক্ষেত্রে বর্ণনা করা সহজ হবে।

— ডেভিড রিচার্বি

ব্যস্ত বিভার গবেষণায় সত্যিকারের টিএমএস ছোট ছোট # রাজ্য, চিহ্ন সহ প্রাথমিক সেটআপগুলির জন্য থামছে কিনা তার প্রমাণ খুঁজে পাওয়া যায়; সমাধানযোগ্য কেস রয়েছে। যদি কেউ "ক্ষুদ্রতম" কিছু চায় তবে একটি অবশ্যই একটি সূক্ষ্ম মেট্রিক তৈরি করতে হবে যা "ছোট" পরিমাপ করে। উপরের পিটিটি হ'ল যে মেট্রিকটিতে কেবলমাত্র রাজ্য বা প্রতীকগুলি জড়িত তা জ্ঞাত সীমানাকে উপস্থাপন করা পর্যন্ত উভয়কেই (এবং মেশিনগুলি সর্বজনীন হিসাবে পরিচিত নয় ) প্রতিনিধিত্বমূলক হিসাবে বিভ্রান্তিকর হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। এই গবেষণায় অনিশ্চয়তার সীমারেখার পক্ষে যে কোনও বিষয়ে বিবেচনা করা "সহজ" নয়, এটি তার মৌলিক প্রকৃতি ....

— vzn

কেউ শুধুমাত্র # স্টেট বা শুধুমাত্র # সিম্বলসের উপর ভিত্তি করে মেট্রিকের প্রস্তাব দেয়নি। এবং (# রাজ্য, # চিহ্ন) সীমানা বর্ণনা করার জন্য তুচ্ছ। একটি রাষ্ট্রের জন্য, এটি নির্ধারণযোগ্য। জন্য রাজ্যের এটা সর্বাধিক আকারের বর্ণমালার জন্য নির্ধার্য হয় , যেখানে , , অজানা ধ্রুবক আছে। পাঁচটি রাজ্যের ক্ষেত্রে এটি অনস্বীকার্য (বাদে, সম্ভবত, আকার 1 এর বর্ণমালাগুলির জন্য)। সীমানা বর্ণনা তুচ্ছ; শুধুমাত্র অ তুচ্ছ অংশ মান figuring আউট হয় , , । কে আই কে 2 কে 3 কে 4 কে 2 কে 3 কে $2\leq i\leq 4$$k_i$$k_2$$k_3$$k_4$$k_2$$k_3$$k_4$

— ডেভিড রিচার্বি

কেউ এখনও পর্যন্ত কোনও মেট্রিক প্রস্তাব করেনি। এই অঞ্চলের কোনও গুরুত্বপূর্ণ সীমানা "বর্ণনাকে তুচ্ছ" নয় এবং কেউ আশা করতে পারে যে রিস থেমের মাধ্যমে পরিস্থিতি অসম্ভব হবে। এটি গবেষণার সাথে পরিচিতির অভাব দেখায় এবং উদ্ধৃত রেফ যা সর্বজনীন হিসাবে পরিচিত (এবং সর্বজনীন নয় বলে অনুমান করা হয়েছে ) এর চেয়ে ছোট এমন মেশিনগুলির জন্য ইনপুটগুলি সংশোধন করতে আগ্রহী । আপনার মন্তব্যগুলি সার্বজনীন বনাম নুনউইভারসাল মেশিনের সীমানায় ফোকাস বলে মনে হচ্ছে যা ব্যস্ত বিভারের ডিকিসিবিবেটিস সীমানা যেমন অন্বেষণ করা হচ্ছে যেমন উদ্ধৃত রেফগুলিতে (উপরের দুটি এবং মার্জির)।

— vzn

আমি কেবল স্ট্যাক এক্সচেঞ্জের মন্তব্যে এটিকে বর্ণনা করেছি তা কি বোঝায় না যে এটি বর্ণনা করা তুচ্ছ? আপনার সাথে একটি সার্বজনীন মেশিন বাস্তবায়ন করতে পারে যদি: বিশ্বজনীনতা সম্পর্কে বিন্দু এটি সীমানা জন্য উপরের কোট দেয় রাজ্য এবং প্রতীক, জন্য বিরাম সমস্যা -state, -symbol স্মৃতি পরিষ্কারভাবে undecidable হয়। y x $x$$y$$x$$y$

— ডেভিড রিচার্বি